Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Статика. Кинематика. Динамика
.pdf
ЛЕКЦИЯ 18
Динамика твердого тела
1. Дифференциальные уравнения поступательного, вращательного и
плоскопараллельного движений твердого тела.
2. Тензор инерции.
3. Динамика вращательного и сферического движения твердого тела.
4. Динамические уравнения Эйлера. (Дифференциальные уравнения
сферического движения твердого тела.)
5. Дифференциальные уравнения свободного движения твердого тела.
6. Приближенная теория гироскопа.
Дифференциальные уравнения поступательного,
вращательного и плоскопараллельного движений
твердого тела
Как было показано, твердое тело может совершать поступательное,
вращательное, плоскопараллельное, сферическое и свободное движение.
Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого те-
ла, которые были получены из теоремы о движении центра масс, имеют вид:
m¨x
Применение теоремы об изменении кинетического момента в скаляр-
ной форме к вращающемуся телу позволяет получить дифференциальное
уравнение вращательного движения
При описании плоскопараллельного движения твердого тела из теорем
о движении центра масс и об изменении кинетического момента в относительном движении находим соответствующие дифференциальные уравнения
m¨x
C
n
F
k=1
e
F
,m¨yC=
kx
e
,m¨yC=
kx
J
z
¨ϕ =
=
C
n
=
k=1
n
k=1
n
k=1
n
F
k=1
mz(F
e
F
,JzC¨ϕ =
ky
e
,m¨zC=
ky
e
).
k
n
k=1
n
k=1
mzC(F
e
F
.
kz
e
).
k
102 ЛЕКЦИЯ 18
Прежде чем приступить к изучению других случаев движения твердого
тела, рассмотрим некоторые дополнительные характеристики распределения масс.
Тензор инерции
Рассмотрим выражение кинетического момента
твердого тела в случае его сферического движения.
С учетом формулы Эйлера для скорости точки имеем
n
K
=
O
rk× mkvk=
k=1
где ω — мгновенная угловая скорость сферического движения.
В проекциях на оси системы координат, связанной с движущимся те-
лом,
K
Ox
K
Oy
K
Oz
Так как (y
с массой m
n
=
k=1
= −
= −
2
k
до координатных осей Ox, Oy, Oz,то
k
2
mk(y
k
n
mkykxkωx+
k=1
n
mkzkxkωx−
k=1
2
+ z
), (z
k
+ z
2
k
2
k
+ x
)ωx−
2
k
k=1
k=1
), (x
n
mkxkykωy−
k=1
n
mk(z
k
n
mkzkykωy+
2
2
+ y
) — квадраты расстояний от точки
k
k
2
+ x
2
)ωy−
k
k=1
n
k=1
n
n
k=1
mk(x
rk× m
k
mkxkzkωz,
n
mkykzkωz,
k=1
2
+ y
k
ω × r
2
k
)ωz.
,
k
Jx=
n
k=1
mk(y
2
k
+ z
2
), Jy=
k
n
k=1
mk(z
2
k
+ x
2
), Jz=
k
n
k=1
mk(x
2
k
+ y
k
— осевые моменты инерции.
Введем обозначения:
Jxy=
n
mkxkyk, Jyz=
k=1
n
mkykzk, , Jzx=
k=1
n
k=1
mkzkx
k
— центробежные моменты инерции (Jxy= Jyx, Jyz= Jzy, Jzx= Jxz).
2
)
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 103
Тогда
= Jxωx− Jxyωy− Jxzωz,
K
Ox
K
= −Jyxωx+ Jyωy− Jyzωz,
Oy
K
= −Jzxωx− Jzyωy+ Jzωz.
Oz
В общем случае вектор кинетического момента не совпадает по направлению с вектором угловой скорости. В матричном виде эта связь записывается выражением
⎛
⎞
⎝
K
K
K
Ox
Oy
Oz
⎠
⎛
⎝
=
J
−Jxy−J
x
−J
yxJy
−Jzx−J
zy
−J
⎞⎠⎛
⎞
ω
xz
yz
J
z
⎝
x
⎠
ω
.
y
ω
z
Или как линейное отображение (оператор) в трехмерном векторном
пространстве:
=ω.
K
O
Линейному оператору
матрица
J =
⎛
J
x
⎝
−J
yx
−Jzx−J
соответствует в фиксированном базисе (i,j,k)
⎞
−Jxy−J
Jy−J
zy
xz
⎠
— тензор инерции.
yz
J
z
Матрица J является симметричной и ее элементы определяются моментами инерции твердого тела, характеризующими распределение масс
относительно фиксированной системы координат.
Как известно, при изменении базиса (преобразовании системы координат) матрицу линейного преобразования можно привести к диагональному
виду
, Jη, Jζ— собственные значения линейного оператора, которые
где J
ξ
⎛
J
J
ξ
⎝
0 J
=
00J
00
0
η
ζ
⎞
⎠
,
находятся из уравнения
det(J −λE)=0,E— единичная матрица.
Соответствующие оси Oξ, Oη и Oζ называются главными осями
инерции твердого тела. Если начало координат совпадает с центром масс,
то они называются главными центральными осями инерции.Главной
осью инерции, кроме того, по определению называется ось координат, для
104 ЛЕКЦИЯ 18
которой центробежные моменты инерции, содержащие индекс этой оси,
равны нулю. Например, если J
= Jyz=0,тоOz — главная ось инерции.
xz
Если она проходит через центр масс, то ее называют главной центральной
осью инерции. Из определения центробежных моментов инерции следует:
ось симметрии однородного тела является главной для всех точек данной
оси; для точек, лежащих в плоскости материальной симметрии, главной
является ось, перпендикулярная этой плоскости. Для точек, лежащих на
главных центральных осях инерции тела, главные оси инерции параллельны главным центральным осям инерции.
Для доказательства рассмотрим две системы координат,
где Cx, Cy, Cz — главные центральные оси инерции.
Тогда
n
J
=
xz
k=1
x
z
k
k
J
mk=
yz
n
(xk−a)zkmk= Jxz−a
k=1
n
=
k=1
y
z
mk=
k
k
n
n
k=1
ykzkmk= Jyz=0.
k=1
zkmk= Jxz−azCm =0,
В определении моментов инерции использовалась модель абсолютно
твердого тела как совокупности конечного числа материальных точек, расстояние между которыми не изменяется. В общем случае сплошного тела
суммирование при соответствующем предельном переходе заменяется интегрированием по линии, поверхности или объему в зависимости от размерности рассматриваемой фигуры. Для некоторых тел соответствующие
моменты инерции относительно главных осей приведены в таблице.
Одно и то же линейное преобразование в двух разных базисах имеет
разные матрицы J
осей, обозначая через L = l
от базиса (e
1
и J . Используя традиционную нумерацию координатных
= ei·e
,e
,e
), соответствующего главным осям, к базису (e1,e2,e3)
2
3
ij
ортогональную матрицу перехода
j
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 105
Таблица 1.
Моменты инерции некоторых однородных тел, моделируемых простей-
шими геометрическими фигурами, относительно главных центральных осей
ml
J
ξ
2
3
J
η
0
J
ml
стержень
mR
2
mR
2
mR
2
кольцо
mR
2
2
mR
4
2
mR
диск
ma2+ b
3
2
mb
2
ma
3
ζ
2
3
2
2
2
4
2
3
прямоугольник
m3a2+ h
18
2
mh
18
2
ma
2
6
треугольник
с произвольным расположением базисных векторов, имеем
J = LJ
L−1
,L−1= L
T
(в силу ортогональности обратная матрица совпадает с транспонированной).
106 ЛЕКЦИЯ 18
Таблица 1 (продолжение).
Моменты инерции некоторых однородных тел, моделируемых простейшими геометрическими фигурами, относительно главных центральных осей
эллипс
цилиндр m
m
2
mb
4
2
2
+
+ c
2
l
m
3
2
R
4
b
3
m
2
ma
4
2
R
l
+
4
3
2
c
+ a
3
2
2
m(a2+ b2)
4
2
R
m
2
m
2
a
+ b
3
2
параллелепипед
m
b
5
2
+ c
2
m
c
5
2
+ a
2
m
a
5
2
2
+ b
эллипсоид
конус
3mH2+4R
80
2
3mH2+4R
80
2
Тогда связь между элементами матриц Jи J можно записать в виде
3
3
где l
=cos(Ox
im
=
ij
m=1
∧
Ox
) — косинусы углов между новыми и старыми ося-
m
i
limljnJ
n=1
J
mn
,
ми.
3mR
10
2
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 107
В частности, момент инерции относительно произвольной оси Ox,составляющей углы α, β и γ сглавнымиосямиOξ, Oη и Oζ,всоответствии
с указанным правилом перехода от одного базиса к другому определится
равенством
Jx= Jξcos2α + Jηcos2β + Jζcos2γ.
Этому равенству можно дать геометрическую интерпретацию.
Вдоль оси Ox отложим отрезок
ξ =
1
. Координаты точки M равны
√
J
cos α
√
J
Тогда J
J
η
x
,η=
x
ξ2+Jηη2+Jζζ2=1или
ξ
−1
, c =
cos β
√
J
J
,ζ=
x
−1
ζ
cos γ
.
√
J
x
2
2
ξ
+
2
a
2
η
ζ
+
2
b
=1, где a =
2
c
−1
J
ξ
.
OM =
b =
Геометрическим местом точек M является поверхность эллипсоида,
называемого эллипсоидом инерции, с полуосями, обратными корням квад-
ратным из соответствующих главных моментов инерции. Каждой точке
твердого тела можно сопоставить эллипсоид инерции. По построению, длина отрезка, соединяющего данную точку с произвольной точкой поверхности эллипсоида, обратно пропорциональна корню квадратному из момента
инерции твердого тела относительно оси соответствующего направления.
Вместе с массой эллипсоид инерции полностью определяет инертные свойства твердого тела. Связь между моментами инерции относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс, дается следующей теоремой.
Теорема Гюйгенса– Штейнера. Момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с произведением массы тела на
квадрат расстояния между осями
J
= JzC+ ma2,
z
где a — расстояние между осями.
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Д
Действительно:
n
J
=
z
k=1
n
=
m
k=1
k2
k
2
+ y
+2a
k2
x
m
k
2
x
+ y
k
k
=
n
x
k=1
n
k=1
m
(x
k
mkxk+2a
+ ax)2+(yk+ ay)
k
n
k=1
y
n
k=1
mkyk+
m
2
=
a
k
2
2
,
+ a
x
y
,
108 ЛЕКЦИЯ 18
здесь xk, yk— координаты точек в системе координат Cxyz,сначаломв
центре масс и осями, параллельными исходной системы координат Ox
} — проекции вектора
{a
x,ay
расстояние между осями Oz и Oz
−−→
OC на соответствующие оси, a =a
.
2
x
+ a
yz
2
y
—
По определению центра масс
n
k=1
mkxk=
n
mkyk=0.
k=1
Тогда
n
=
J
z
k=1
mk(x
2
k
+ y
2
k
)+
n
k=1
mk(a
2
2
+ a
)=JzC+ ma2.
x
y
Теорема доказана.
,
Динамика вращательного и сферического движения
твердого тела
Для получения дифференциальных уравнений вращательного и сферического движения твердого тела воспользуемся теоремой об изменении
кинетического момента
dK
O
dt
Левую часть этого равенства можно рассматривать как абсолютную
скорость точки, совпадающей с концом вектораK
ки можно рассматривать как сложное. Оно происходит за счет изменения
=M
e
.
O
. Движение этой точ-
O
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 109
вектораKOв подвижной системе координат, жестко связанной с твердым
телом, (относительное движение) и его поворота с угловой скоростью ω
по отношению к неподвижной системе координат (переносное движение).
Тогда по теореме сложения скоростей
dK
dt
O
=
dK
dt
O
i,
j,k=const
+ ω ×KO,
гдеi,j,k — орты подвижной системы координат.
Подставляя это выражение в теорему об изменении кинетического мо-
мента
находим
O
dt
=M
e
и проектируя на оси подвижной системы координат,
O
dK
dK
dK
dt
dt
dt
Ox
Oy
Oz
+(ω
+(ω
+(ω
− ωzKOy)=M
yKOz
− ωxKOz)=M
zKOx
− ωyKOx)=M
xKOy
e
Ox
e
Oy
e
Oz
,
,
.
dK
При вращательном движении твердого тела (например, вокруг оси Oz)
направление вектора угловой скорости остается постоянным (ω
= ωy=0).
x
В этом случае имеем
−J
xz
dω
dt
z
+ J
yz
2
z
= M
e
Ox
, −J
ω
yz
dω
dt
z
− J
xz
2
z
= M
e
Oy
ω
,J
z
dω
dt
z
= M
e
Oz
Последнее равенство позволяет получить дифференциальное уравнение вращательного движения
Jz¨ϕ = M
e
,ϕ— угол поворота тела.
Oz
Первые два могут быть использованы для определения динамических
реакций подшипников, когда ось вращения не является главной осью инерции (динамическая неуравновешенность).
.
Динамические уравнения Эйлера. (Дифференциальные
уравнения сферического движения твердого тела)
В случае сферического движения, если в качестве подвижных осей
взять главные оси инерции тела и ввести обозначения
p = ω
,q= ωη,r= ωζ; A = Jξ,B= Jη,C= Jζ,
ξ
110 ЛЕКЦИЯ 18
то
dp
A
− qr(B −C)=M
dt
dq
B
− rp(C − A)=M
dt
dr
− pq(A − B)=M
C
dt
e
,
ξ
e
,
η
e
.
ζ
Эти уравнения называются динамическими уравнениями Эйлера. Они
допускают аналитическое интегрирование при произвольных начальных
условиях движения в трех случаях.
1. Случай Эйлера – Пуансо. Центр масс тела произвольной формы сов-
падает с неподвижной точкой. Движение тела происходит по инерции.
2. Случай Лагранжа
1
– Пуассона2. Эллипсоидом инерции для неподвижной точки является эллипсоид вращения A = B = C и центр масс
лежит на оси вращения эллипсоида инерции. (Симметричный волчок.)
3. Случай Ковалевской
3
. Эллипсоид инерции для неподвижной точки
есть вытянутый эллипсоид вращения при A = B =2C. Центр масс тела
лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. (Асимметричный
волчок.)
Уместно отметить, что кинетический момент относительно неподвижной точки и кинетическая энергия твердого тела при сферическом движении
определяются выражениями:
K
O
T =
1
2
1
Лагранж Жозеф Луи (25.01.1736–10.06.1813) — французский математик и механик, член
Французской АН, член и президент Берлинской АН. Труды по вариационному исчислению,
математическому анализу, теории чисел, алгебре и дифференциальным уравнениям. Написал
трактат «Аналитическая механика».
2
Пуассон Симеон Дени (21.06.1781-25.04.1840) — французский математик и механик, член
института Франции, почетный член Петербургской АН. Работы посвящены теории рядов Фурье, теории неопределенных интегралов, вариационному исчислению, теории вероятностей,
математической физике, теоретической механике. Написал «Курс механики».
3
Ковалевская Софья Васильевна (15.01.1850–10.02.1891) — русский математик и механик, чл.-кор. Петербургской АН. Доктор философии Геттингенского университета. Профессор
Стокгольмского университета. Исследования относятся к динамике, математической физике,
небесной механике, теории дифференциальных уравнений; наиболее важные — к теории вращения твердого тела. Автор литературных произведений.
2
=K
Oξ
2
ω
J
Ω
2
cos2αω2+ Jηcos2βω2+ Jζcos2γω2)=
(J
ξ
+ K
=
2
Oη
+ K
2
=A2p2+ B2q2+ C2r2,
Oζ
1
2
(Ap
2
+ Bq2+ Cr2).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]