Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Статика. Кинематика. Динамика
.pdf
МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА И ОСИ.ПАРЫ СИЛ 21
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Выберем в плоскости действия пары сил {F,F
зок A
линиями действия силF иF
и восстановим перпендикуляры в его концах до пересечения с
1B1
Перенесем силыF иF
.
по линиям их действия в точки C и E
иразложимнасоставляющиеF ∼{P,Q} иF
сил {P,P
несены по линиям их действия в точки A
}∼0,асилыQ иQобразуют пару сил и могут быть пере-
и B1.
1
} произвольный отре-
∼{P,Q}.Система
В результате эквивалентных преобразований пара сил {F,F
нена парой сил {Q,Q
}, момент которой равен моменту заданной пары.
Действительно, рассматривая площадь параллелограмма CDEF
S
= h1CF = h2CD,
CDEF
из подобия соответствующих треугольников
CF
|F |
CD
=
=⇒ h
|Q|
|F | = h2|Q|.
1
Теорема доказана.
Теорема 2. Пару сил, действующую на твердое тело, можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости ее действия.
} заме-
22 ЛЕКЦИЯ 3
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Плечо AB пары сил {F,F
параллельно в положение A
,F
{F
1
СилыF ,F
1
,F2,F
}∼0,равныхпомодулюF .
2
имеют равнодействующую R =2F , которая приложена
1
в точке пересечения диагоналей параллелограмма ABA
}, лежащей в плоскости π1, переместим
на плоскости π2иприложимсистемусил
1B1
.СилыF,F
1B1
также имеют равнодействующую R=2F , которая направлена в противо-
положную сторону. Т.е.
{F,F
,F,F
1
}∼{R,R}∼0.
1
По второй аксиоме статики
}∼{F,F,F1,F
{F,F
В результате эквивалентных преобразований пары сил {F,F
нена парой сил {F
,F
2
2
1
,F2,F
}∼{R,R,F2,F
2
}∼{F2,F
2
}.
2
} заме-
} в параллельной плоскости, которая имеет тот же
момент и стремится повернуть тело в том же направлении.
Теорема доказана.
Теорема 3. Две пары, действующие на твердое тело и лежащие в
пересекающихся плоскостях, эквивалентны одной паре, момент которой
равен геометрической сумме моментов составляющих пар.
1
МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА И ОСИ.ПАРЫ СИЛ 23
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
,F
Рассмотрим две пары {F
1
1
} и {F2,F
жащие в пересекающихся плоскостях π
} смоментамиm1и m2,ле-
2
и π2. Пользуясь теоремой 1, пе-
1
ренесем пары так, чтобы силы были приложены в точках A и B на линии
пересечения плоскостей.
По правилу сложения сил имеем
∼{P,Q}.
−−→
,
BA ×Q = m1.
2
)=m2+ m1.
−−→
BA ×P +
−−→
BA ×Q,
Система сил {R,R
m(R,R
)=
где
Т. е.
R ∼{P,Q} иR
} образует пару. Момент этой пары
−−→
BA ×R =
−−→
BA ×P = m
−−→
BA × (P +Q)=
m(R,R
Теорема доказана.
В частном случае:
Две пары, лежащие в одной плоскости, эквивалентны одной паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.
Из теоремы следует, что любую систему пар можно заменить одной
парой, момент которой равен сумме моментов составляющих пар. Это позволяет получить условие равновесия системы пар.
Условие равновесия системы пар
Для равновесия системы пар, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов пар равнялась нулю:
n
mk=0 — в случае пространственной системы пар;
k=1
n
mk=0 — для системы пар, расположенных в одной плоскости.
k=1
Литература:
[1, § 8–10, 14];
[2, § 13–22];
[4, п. 3.1–3.4].
ЛЕКЦИЯ 4
Основная теорема статики
1. Лемма Пуансо.
2. Основная теорема статики. (Теорема Пуансо.)
3. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил.
4. Условия равновесия системы параллельных сил.
5. Условия равновесия произвольной плоской системы сил.
Лемма Пуансо
1
Лемма. Не изменяя действия силы на
твердое тело, ее можно переносить параллельно самой себе в любую точку тела, добавляя при этом пару, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
КтелувточкеA приложена си-
F ∼
m
F,
лаF .ДобавимвточкеB уравновешен-
F
,F
F
= m
,F∼
F.
B
F
ную систему сил:
,
F,F.F ,F— пара сил с моментом
F
,F
∼0, F = F
= F,
Лемма доказана.
Основная теорема статики. (Теорема Пуансо)
Теорема. Произвольную систему сил, действующую на твердое тело,
можно заменить эквивалентной системой, состоящей из силы и пары сил.
1
Пуансо Луи (3.1.1777–5.12.1859) — франц. математик и механик, член Французской АН.
Основные исследования посвящены теории чисел и механике. В работах по механике использовал геометрические методы; предложил теорию пар сил. Исследовал вращение твердого тела
вокруг неподвижной точки.
ЛЕММА ПУАНСО 25
Сила равна главному вектору системы сил и приложена в произвольно выбранной точке (центре приведения), момент пары равен главному моменту
системы сил относительно этой точки.
Гла вн ы м в е к то р омR системы сил называется геометрическая сумма
всех сил системыR =
R
x
Гла вн ы м м ом е нт о мM
называется сумма моментов всех сил системы относительно этого центра:
M
=
O
k=1
n
F
m
O
n
=
k=1
.
k
n
,
F
k
k=1
Fkx,Ry=
R =
системы сил относительно данного центра
O
k=1
2
R
+ R
x
n
Fky,Rz=
2
+ R
y
n
Fkz;
k=1
2
.
z
Главный момент определяется своими проекциями на оси координат:
M
Ox
n
=
k=1
m
Ox
M
Oz
F
k
=
,M
n
k=1
m
Oz
Oy
n
=
k=1
F
k
F
m
Oy
,
k
,
или, с учетом определения момента силы относительно оси:
M
Ox
n
=
m
k=1
F
x
,M
k
M
=M
O
Oy
n
=
m
k=1
2
+ M
Ox
F
2
Oy
,M
k
+ M
2
Oz
.
y
Oz
n
=
m
k=1
F
z
,
k
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Д
Точка O — центр приведения. По лемме Пуансо перенесем силуF
вточкуO:F
=F1, m1= m
1
Аналогично перенесем все остальные силы.F
F
O
.
1
=Fk, mk= m
k
F
O
k
В результате получим систему сходящихся сил и систему пар сил. По
теореме о существовании равнодействующей системы сходящихся сил их
1
.
26 ЛЕКЦИЯ 4
n
можно заменить одной силойR =
му пар по теореме о сложении пар можно заменить одной парой, момент
которой равен главному моментуM
, равной главному вектору. Систе-
F
k
k=1
n
=
O
m
k=1
F
. Теорема доказана.
O
k
Условия равновесия произвольной пространственной
системы сил
Из основной теоремы статики вытекает условие равновесия произволь-
ной системы сил.
Для равновесия произвольной пространственной системы сил необхо-
димо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы
равнялись нулю:
R =0,M
O
=0.
В аналитической форме:
Для равновесия произвольной пространственной системы сил необхо-
димо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на три координатные
оси и суммы моментов всех сил относительно этих осей были равны нулю:
n
k=1
m
x
k=1
n
F
Fkx=0,
=0,
k
n
k=1
n
k=1
m
Fky=0,
F
y
k
=0,
n
k=1
Fkz=0,
n
m
k=1
F
z
=0.
k
ЛЕММА ПУАНСО 27
Условия равновесия могут быть использованы для решения задач на
равновесие при определении неизвестных величин (реакций связей). Чтобы
задача была статически определимой, число неизвестных должно быть не
более шести.
Условия равновесия системы параллельных сил
Для системы параллельных сил условиями равновесия являются равенства:
n
k=1
Fkz=0,
n
k=1
m
F
x
=0,
k
n
k=1
m
F
y
=0.
k
Условия равновесия произвольной плоской системы сил
Плоская система сил — это такая система, все силы которой лежат
в одной плоскости.
В этом случае в результате приведения получаем силу и пару, лежащие в одной плоскости. Главный вектор плоской системы сил определяется
его проекциями на две координатные оси, а главный момент является скаляром и находится как алгебраическая сумма моментов всех сил системы
относительно выбранного центра приведения.
Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы
главныйвекториглавныймомент системы равнялись нулю:
n
k=1
Fkx=0,
n
k=1
Fky=0,
n
k=1
m
F
O
=0.
k
28 ЛЕКЦИЯ 4
Условия равновесия плоской системы сил могут быть записаны в следующих эквивалентных формах:
n
k=1
Fkx=0,
n
k=1
m
F
A
=0,
k
(отрезок AB не перпендикулярен оси Ox).
n
k=1
m
F
A
=0,
k
n
k=1
m
F
B
k
(точки A, B, C не лежат на одной прямой).
Литература:
[1, § 11–13, 15, 16, 30];
[2, § 19–25, 30];
[4, п. 4.1–4.4, 5.1–5.3, 7.3].
=0,
n
k=1
m
n
k=1
F
B
m
=0
k
F
C
=0
k
ЛЕКЦИЯ 5
Равновесие плоской системы сил
1. Равновесие системы тел.
2. Расчет плоских ферм.
3. Равновесие при наличии трения скольжения. Законы Амонтона – Ку-
лона.
4. Равновесие при наличии трения качения.
Равновесие системы тел
Если в равновесии находится не одно тело, а система тел, то для опре-
деления всех неизвестных величин необходимо расчленять систему, вводя
в рассмотрение реакции внутренних связей. При этом возможны два способа составлений уравнений равновесия. Проиллюстрируем их применение
на примере равновесия двух тел.
Первый способ (рассмотреть равновесие конструкции и одной ее ча-
сти):
Количество неизвестных реакций внешних связей превышает количе-
ство уравнений равновесия плоской системы сил.
В этом случае помимо трех уравнений равновесия конструкции в целом
составляются три дополнительных уравнения равновесия одной из частей
конструкции.
30 ЛЕКЦИЯ 5
Второй способ (рассмотреть равновесие каждой части конструкции).
Способ выбираем из соображений удобства решения системы уравне-
ний равновесия.
Расчет плоских ферм
Ферма — жесткая (геометрически неизменяемая) конструкция из
стержней, соединенных между собой шарнирами. Шарнирные соединения
называются узлами.
Задачей расчета ферм является определение реакций внешних связей
и усилий в стержнях. Основные допущения — это идеальность стержней
фермы и распределение внешней нагрузки по ее узлам.
У статически определимых ферм количество стержней s иколичество
узлов n связаны соотношением: s =2n − 3. Это равенство получается
из того факта, что добавление к простейшей треугольной ферме каждого
нового узла требует двух стержней: s =2(n −3) + 3.
Основные методы расчета усилий в стержнях плоских ферм: метод вы-
резания узлов (последовательно вырезаются узлы, в которых сходится не
более двух стержней с неизвестными усилиями, и составляются уравнения
равновесия системы сходящихся сил) и метод сечений (Риттера) (производится сечение фермы по трем стержням с неизвестными усилиями и
составляются уравнения равновесия одной части фермы).
П
РИМЕР.
Дано: P =30кН, AE = EC = EF = FB =2м. Найти усилия
в стержнях.
Вначале определим опорные реакции:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]