Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Контрольные задания. Учебно-методическое пособие
.pdf
31
выражения для , после интегрирования
21
2
5,0 СtCtas ++=
. Посто-
янные интегрирования найдем из начальных условий. Для момента времени
0=t
:
10
0 Ca +=
,
21
2
0
005,0 CCas ++=
.
Следовательно,
0
C =
1
,
02
sC =
и выражения для и s записы-
ваются следующим образом:
0
+=
ta
,
00
2
5,0 sttas ++=
. (2.20)
2 . 2 . К и н е м а т и к а т в е р д о г о т е л а .
П о с т у п а т е л ь н о е и в р а щ а т е л ь н о е д в и ж е н и я
т в е р д о г о т е л а
В кинематике, как и в статике, будем считать все твердые тела
как абсолютно твердые. Задачи кинематики твердого тела разделяются
на две части:
1) задание движения и определение кинематических характери-
стик движения тела в целом;
2) определение кинематических характеристик движения отдель-
ных точек тела.
Решая задачу кинематики твердого тела, нужно, прежде всего,
установить вид движения. Различают пять видов движения твердого
тела:
1) поступательное движение твердого тела;
2) вращение твердого тела вокруг неподвижной оси;
3) плоское (плоскопараллельное) движение твердого тела;
4) движение твердого тела с одной неподвижной точкой;
5) сложное движение твердого тела.
Начнем с рассмотрения поступательного движения твердого тела.
Поступательным движением твердого тела называется такое
движение, при котором любая прямая, соединяющая две точки тела,
движется параллельно самой себе. Все точки твердого тела, движуще-
гося поступательно, описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения.
32
Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным
движением. При поступательном движении тела траектории его точек
могут быть любыми кривыми линиями.
Приведем примеры.
1. Кузов автомобиля на прямом горизонтальном участке дороги
движется поступательно. Траектории всех точек кузова будут прямыми
линиями.
2. Педаль велосипеда относительно рамы движется поступа-
тельно, а все точки педали движутся по окружностям.
Поступательное движение твердого тела вполне определяется
движением какой-нибудь одной его точки. Следовательно, изучение
поступательного движения тела сводится к уже рассмотренной задаче
кинематики точки.
Вращательным называется такое движение твердого тела, при
котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно
с ним связанные) остаются во все время движения неподвижными.
Проходящая через неподвижные точки прямая, называется осью вращения.
Выберем неподвижную плоскость
N, принимаемую за начало отсчета,
а также жестко связанную с телом плоскость Р, которая вращается вместе с ним
вокруг оси Оz (рис. 2.6). Угол между введенными плоскостями φ называется углом
поворота (измеряется в радианах). Угол φ
считается положительным, если при
взгляде с положительного направления
оси вращения он отсчитывается против
хода часовой стрелки.
Положение вращающегося тела
в каждый момент времени будет известно,
если задана зависимость угла поворота от
времени:
)(t=
. (2.21)
Это уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.
N
P
φ
ω
ε
О
z
Рис. 2.6
33
Производная по времени от угла поворота называется алгебраической угловой скоростью:
dt
d
=
или (2.22)
Угловая скорость показывает как быстро и в каком направлении
вращается тело. Единицей измерения угловой скорости является рад/с
или сокращенно –
1с−
. При равномерном вращении угловая скорость
постоянна:
const=
.
В технике часто скорость вращения тела задают частотой вращения n, т. е. числом оборотов, совершаемых телом за одну минуту.
Найдем зависимость между n об/мин и
1с−
. При одном обороте
тело повернется на угол 2π, а при n оборотах на
n2
; этот поворот
совершается за время =t1 мин = 60 с. Тогда
30/60/2 nn ==
1с−
.
Производная по времени от алгебраической угловой скорости
называется угловым ускорением:
2
2
dt
d
dt
d
=
=
или . (2.23)
Единицей измерения углового ускорения является
2
рад/с
−
или
сокращенно –
2с−
. Если в некоторый момент времени
0
и
0
или
0
и
0
, то в данный момент вращение тела называется уско-
ренным. Если знаки и разные, то вращение тела называется за-
медленным.
Вращение с постоянным угловым ускорением (
const=
) назы-
вается равнопеременным. Разделяя переменные равенства (2.23), получим
dtd =
. Проинтегрируем левую часть этого равенства от
0
до
, а правую – от 0 до t:
=
t
dt0.
0
d
Следовательно,
,0+= t
(2.24)
где
)0(0=
– начальная угловая скорость.
Так как
dt
d
=
, то с учетом (2.24)
tdtdt +=0d
. Интегри-
руем последнее выражение при изменении угла поворота от φ0 до φ
34
и времени от 0 до t:
+=
tt
dttdtd
00
0
0
. Вычисляя интегралы, полу-
чим закон равнопеременного вращения:
2
00
5,0 tt ++=
. (2.25)
Определим скорость и ускорение точек вращающегося тела.
Пусть тело ОА (рис. 2.7) вращается вокруг оси, перпендикулярной
плоскости чертежа и проходящей через точку О согласно закону (2.21).
Все точки вращающегося тела, не находящиеся на оси вращения, движутся по окружностям. Например, траекторией точки А является
окружность радиуса
ОА=
. При повороте тела на угол φ точка А пе-
ремещается по дуге окружности на
=s
. Скорость точки А опреде-
ляется по формуле (2.12):
dt
d
dt
ds
==
или (2.26)
Вектор скорости направлен по касательной к окружности
в направлении поворота тела. Таким образом, числовое значение скоро-
сти точки вращающегося тела равно произведению угловой скорости
тела на расстояние от этой точки до оси вращения.
О
1
Рис. 2.7
А s n
О
ε
ω
ρ
φ
35
С учетом (2.26) и (2.23) найдем по формулам (2.15) и (2.16) касательное и нормальное ускорения точки А:
2
2
=
=
n
A
a
. (2.27)
Модуль ускорения точки А равен
4222
)()( +=+=
n
AAА
aaа
. (2.28)
Итак, зная закон вращения тела (2.21) и расстояние точки тела
до оси вращения, можно по формулам (2.26)–(2.28) определить ско-
рость и ускорение любой точки вращающегося тела.
2 . 3 . П л о с к о е д в и ж е н и е т в е р д о г о т е л а
Плоским (или плоскопараллельным) называется движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной неподвижной плоскости.
Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо, произвольное движение книги по поверхности стола и т. д. Отметим, что при исследовании плоского движения книги достаточно определить движение одного ее листа.
Пусть тело D (рис. 2.8) движется параллельно плоскости .P
В этом случае для исследования движения всего тела достаточно изучить, как движется в плоскости
Oxy
, параллельной плоскости P, се-
чение S этого тела (рис. 2.9). Положение плоской фигуры S в сечении
Oxy
определяется положением какого-нибудь проведенного отрезка
АВ на этой фигуре. В свою очередь, положение отрезка АВ можно опре-
делить, зная координаты
AA
yx ,
точки А и угол φ, который отрезок АВ
образует с осью x. Точку А, выбранную для определения положения
фигуры S, будем в дальнейшем называть полюсом.
Уравнения
( )
tfx
A 1
=
,
( )
tfy
A 2
=
,
( )
tf3=
, (2.29)
36
определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.
Плоское движение можно рассматривать как составное движение, состоящее из поступательного движения фигуры с полюсом A и
вращения фигуры вокруг этого полюса.
Первые два уравнения в (2.29) определяют поступательное движение плоской фигуры с полюсом А, а третье уравнение – вращение
фигуры вокруг полюса А. Можно доказать, что вращательная часть
движения от выбора полюса не зависит.
Пусть
A
r
и
B
r
радиусы-векторы точек А и В плоской фигуры,
причем
ABrr
AB
+=
(рис. 2.10). Будем считать точку А полюсом. От-
метим, что полюсом, как правило, считают точку, скорость и ускорение
которой известны. По определению (2.2) скорость точки А
dt
rd
А
=
A
,
а скорость точки В
( )
ABA
А
dt
ABd
dt
rd
+=+=
B
. (2.30)
s
P1 P
х
у
Рис. 2.8
x
A
y
A
A
B
φ
O y x
s
Рис. 2.9
37
Рис. 2.10
Таким образом, скорость произвольной точки тела при плоском
движении геометрически складывается из скорости полюса в поступательном движении твердого тела и скорости, с которой эта точка
вместе с телом вращается вокруг полюса.
Вектор
AB⊥
AB
и численно равен
= AB
AB
, где ω – угло-
вая скорость плоской фигуры. Проектируя обе части равенства (2.30)
на отрезок прямой АВ (рис. 2.11), находим
= coscos
AB
. (2.31)
Проекции скоростей двух точек тела на отрезок прямой, соединяющий эти точки, равны.
A
B
α
Рис. 2.11
β
ω
38
При плоском движении в каждый момент времени существует
точка P, скорость которой равна нулю (
0=
P
). Такая точка называ-
ется мгновенным центром скоростей (МЦС). Движение плоской фи-
гуры можно рассматривать как
мгновенный поворот ее вокруг
точки Р. Скорости точек
плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновен-
ного центра скоростей:
= AP
A
;
= BP
B
, где ω – угловая ско-
рость плоской фигуры в данный
момент времени. Чтобы найти скорость некоторой точки С плоской
фигуры (на рис. 2.12 она не показана), нужно соединить точку С
с точкой Р и направить перпендикулярно к отрезку РС вектор скорости
C
в сторону мгновенного поворота вокруг точки Р. Величина скоро-
сти будет
= CP
C
. Иллюстрация этого правила для случая, когда
векторы скоростей разных точек плоской фигуры параллельны, показана на рис. 2.13.
Если перпендикуляры, восставленные к векторам
А
и
В
, не
пересекаются, то скорости всех точек плоской фигуры в данный момент времени одинаковы (
BA
=
), угловая скорость
0=
(рис. 2.14).
Такое состояние движения тела называют мгновенно поступательным.
A
B
ω
P
С
Рис. 2.13
A
B
ω=0
Рис. 2.14
Рис. 2.12
A
B
P
ω
При качении колеса по неподвижной поверхности мгновенным
OP
0
=
0
2== AP
A
= BP
B
= CP
C
Рис. 2.15
A
B
P
ω
О
С
центром скоростей является точка сцепления колеса с поверхностью
(рис. 2.15). Если радиус колеса и скорость центра колеса известны, то
можно определить мгновенную угловую скорость
других точек:
;
и скорости
,
.
3 . К О Н Т Р О Л Ь Н Ы Е З А Д А Н И Я П О С ТАТИКЕ
AB
OC
ABO
=
COA
=
С.1. Однородный брусок
как показано на чертеже, на гладкие пол и стену. Брусок удерживается
в равновесии при помощи нити
акции опор в точках A и B, если
С.2. Однородная балка AB длиной a и весом Q опирается сво-
ими концами на гладкие горизонтальный пол и стену. Стена наклонена
к горизонту под углом . Какую горизонтальную силу P нужно при-
ложить к концу A балки, чтобы удержать ее в равновесии под углом
к горизонту? Каковы давления балки на опоры?
длиной 2a и весом P опирается,
. Определить натяжение нити и ре-
и
.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]