Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Контрольные задания. Учебно-методическое пособие
.pdf
11
01=
=nk
kx
F
,
01=
=nk
ky
F
. (1.3)
Таким образом, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы проекций всех сил на
оси координат.
1 . 5 . М о м е н т с и л ы о т н о с и т е л ь н о ц е н т р а
( т о ч к и )
Пусть на тело в точке А действует сила F (рис. 1.11). Из некоторого центра О проведем радиус-вектор
OAr =
. Моментом силы F
относительно центра O называется вектор, равный векторному произведению радиус-вектора r, проведенного из центра O в точку A,
где приложена сила, на вектор силы
F
:
][)( FrFm
o
=
. (1.4)
Из определения векторного произведения следует, что вектор
)(Fm
o
направлен перпендикулярно плоскости ΔОАВ, образованной
векторами r и F, в ту сторону, откуда мы
видим направление силы F против хода
часовой стрелки. Модуль вектора момента
равен
hFFrFm
o
== sin)(
,
где
OCrh == sin
– плечо силы F от-
носительно центра O, т. е. кратчайшее рас-
стояние от центра O до линии действия
силы F.
Наряду с определением момента силы относительно центра (как
вектор) сформулируем определение момента силы относительно точки
(как алгебраическая величина).
Рис. 1.11
α
B
n
A
O
h
C
12
Момент силы F относительно точки O есть взятое со знаком
плюс или минус произведение модуля силы на кратчайшее расстояние
от точки O до линии действия силы:
FhFm
o
=)(
. (1.5)
Момент силы измеряется Ньютон-метрами (Н·м). Алгебраическая величина момента силы
)(Fm
o
изображается в виде дуговой
стрелки (рис. 1.11). Момент является положительным, если сила стре-
мится повернуть тело относительно точки против хода часовой
стрелки. Отметим два свойства момента силы относительно точки. Мо-
мент силы относительно точки не изменится, если силу как скользящий вектор перенести вдоль линии действия. Например, если точку
приложения А силы F перенести в точку С (рис. 1.11). Момент силы
относительно точки равняется нулю, если точка лежит на линии действия этой силы. В этом случае плечо h равно нулю.
1 . 6 . П а р а с и л . М о м е н т п а р ы с и л
Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно
направленных сил F и
F
, называется парой сил (рис. 1.12). Плоскость, в
которой находятся линии действия сил F и
F
, называется плоскостью
действия пары сил. Расстояние
ABd =
между линиями действия сил назы-
вается плечом пары сил. Пара сил стремится повернуть тело в плоскости
действия сил. Момент пары равен произведению модуля одной из сил пары
на ее плечо:
Fdm =
. Знак момента пары определяется так же, как для мо-
мента силы. Момент пары можно
представить в виде вектора m,
направленного перпендикулярно
плоскости действия пары сил. Мо-
мент пары – вектор свободный.
Свободный вектор можно переносить в пространстве как угодно, не
меняя направление, например, вектор m (рис. 1.12) можно направить
от точки B.
Рис. 1.12
B
A
d
13
Пара сил не имеет равнодействующей, однако силы пары не уравновешиваются, так как они не направлены по одной прямой.
Отметим еще одно свойство пары сил: две пары сил, имеющие
одинаковые моменты, эквивалентны.
1 . 7 . М о м е н т с и л ы о т н о с и т е л ь н о о с и
Пусть вектор
xy
F
является проекцией силы F на плоскость xy, а
ось z пересекает эту плоскость в точке
1
O
. Момент
)(Fm
z
силыFот-
носительно оси z равен моменту проекции
xy
F
относительно точки
1
O
:
hFFm
xyz
=)(
, (1.6)
где −hкратчайшее расстояние от точки
1
O
до линии действия силы
xy
F
(рис. 1.13). Момент силы относительно оси будет положительным,
если сила
ху
F
стремится повернуть тело вокруг оси z (как это показано
на рис. 1.13) против хода часовой стрелки.
Момент силы относительно оси z равен нулю в двух случаях:
1) если
0=
ху
F
, т. е. линия действия силы F параллельна оси z;
2) если
0=h
, т. е. линия действия силы F пересекает ось z.
Отсюда следует, что если сила и ось лежат в одной плоскости,
то момент силы относительно этой оси равен нулю.
z
(xy)
O
Рис. 1.13
B A
h
O1
A1
B1
14
Выразим момент силы F относительно центра O через его проекции на оси координат:
===++=
zyx
zyxo
FFF
zyx
kji
FrkFmjFmiFmFm )()()()(
kyFxFjxFzFizFyF
xyzxyz
)()()( −+−+−=
,
где
kji ,,
– орты осей координат,
zyx ,,
– координаты точки A при-
ложения силы F,
zyx
FFF ,,
– проекции силы на оси координат.
Сопоставляя выражения при ортах
kji ,,
, получим аналитиче-
ские формулы для моментов силы относительно координатных осей:
yzx
zFyFFm −=)(
,
zxy
xFzFFm −=)(
,
xyz
yFxFFm −=)(
. (1.7)
В случае, если сила F лежит в плоскости
Oxy
, то
0)()( == FmFm
yx
,
xyoz
yFxFFmFm −== )()(
. (1.8)
1 . 8 . С в я з и и и х р е а к ц и и
Тело, которое может совершать любые перемещения в пространстве, называется свободным. Тело, перемещения которого ограничиваются со стороны других тел, называется несвободным. Связями называ-
ется любого вида ограничения, которые налагаются на положения тела
в пространстве.
Сила, способная привести покоящееся тело в движение, называется активной. Сила, препятствующая со стороны связи тем или иным
его перемещениям, называется силой реакции (противодействия) связи
или просто реакцией связи.
Покажем направление реакций некоторых основных видов связей.
15
Гладкая поверхность (рис. 1.14). Поверхность называется глад-
кой, если можно пренебречь силами трения между телами, взаимодействующих по этой поверхности. Гладкая поверхность не позволяет перемещаться телу А по направлению нормали к поверхностям тел в точ-
ках их касания. Поэтому реакции
321
,,, RRRR
будут направлены по
нормалям и приложены в точках взаимодействия.
Гибкая нерастяжимая нить (трос, веревка, цепь) (рис. 1.15).
Эта связь не дает телу А удаляться от точки подвеса нити, поэтому реакция R направлена вдоль нити.
Шарнирно неподвижная опора или цилиндрический шарнир. Часто отдельные части конструкции соединяются друг с другом шарнирами. Шарниры допускают вращение одного тела относительно другого. Если трением в шарнире пренебречь, то он называется гладким.
Рис. 1.16
Конструктивно шарнирно неподвижную опору можно представить в виде неподвижного цилиндрического стержня, вставленного
А
Рис. 1.15
A
τ
n
n
1
n
2
n
3
A
а
б
Рис. 1.14
16
в цилиндрическое отверстие тела А (1.16а). Реакция
В
R
будет направ-
лена по нормали к соприкасающимся поверхностям и приложена
в точке В. Указать заранее направление реакции
В
R
неподвижной
точки В невозможно, поэтому обычно при решении задачи определяют
составляющие
В
X
,
В
Y
этой реакции (рис. 1.16б), по которым можно
определить величину реакции
22
ВВВ
YXR +=
и направление, через
косинус угла:
BB
RX /cos =
.
Невесомый стержень (рис. 1.17). На практике часто встреча-
ются случаи, когда тела соединяются между собой при помощи невесомых стержней с шарнирами на концах. В этих случаях реакции
21
, RR
направлены вдоль прямой, соединяющей концы стержней
(АВ и СD).
Шарнирно-подвижная опора (рис. 1.18). Такая опора может сво-
бодно перемещаться параллельно плоскости вдоль касательной . По-
добно гладкой поверхности реакция
А
R
шарнирно подвижной опоры
направлена перпендикулярно плоскости по нормали n.
Заделка (рис. 1.19) – совокупность связей, обеспечивающих
неподвижность и отсутствие поворота защемленного тела в точке
А. Реакциями заделки являются силы
А
X
,
А
Y
и момент реактивной
пары сил
A
M
.
Рис. 1.17
А
В С D
α
α
τ
A
n
Рис. 1.18
Рис. 1.19
А
х
у
М
А
17
1 . 9 . П р и в е д е н и е п р о и з в о л ь н о й с и с т е м ы с и л
к д а н н о м у ц е н т р у
Лемма Пуансо. Пусть сила F приложена в точке А твердого тела.
Выберем точку В (рис. 1.20а), не лежащую на линии действия силы F.
Приложим в точке В уравновешенную систему сил
),(21FF
, полагая
1
|| FF
,
12
FF −=
,
21
FFF ==
(рис. 1.20б). Система сил
),(2FF
обра-
зует пару, момент m которой равен произведению одной из сил Fили
2
F
на плечо
BCh =
:
hFFhm
2
==
.
Далее заменим силы Fи
2
F
моментом m (рис. 1.20в). Оконча-
тельно получаем, что силу F можно перенести параллельно в любую
точку, не лежащую на линии ее действия, добавляя при этом пару сил
с моментом, равным произведению одной из сил пары на плечо.
Сформулируем и докажем основную теорему статики.
Пусть на абсолютно твердое тело действует произвольная система сил (рис. 1.21). Выберем произвольную точку О, которую назо-
вем центром приведения. Перенесем параллельно силы
),...,,(
21 n
FFF
в этот центр. Согласно лемме Пуансо, получим систему сходящихся в
центре О сил
),...,,(
21 n
FFF
и систему пар сил
),...,,(
21 n
mmm
, моменты
которых равны моментам исходных сил относительно центра О:
)(
kok
Fmm =
. Векторную сумму перенесенных в центр О сил назовем
главным вектором:
А
В
А
Рис. 1.20
В C h
В
А
а б в
18
=
=
n
k
k
FR
1
. (1.9)
Векторную сумму системы присоединенных пар сил назовем
главным моментом:
=
=
n
k
koo
FmM
1
)(
. (1.10)
Таким образом, любую систему сил, приложенных к абсолютно
твердому телу можно заменить одной силой R, равной главному вектору, и одной парой сил с моментом
o
M
, равным главному моменту
исходной системы сил относительно центра О.
Теорема доказана. Заметим, что выбор центра приведения не отражается на модуле и направлении главного вектора R, но влияет на
модуль и направление главного момента
o
M
.
1 . 1 0 . У р а в н е н и я р а в н о в е с и я с и с т е м ы с и л
Если твердое тело находится в равновесии при действии произвольной пространственной системы сил, то главный вектор и главный
момент этой системы сил обращаются в ноль:
01==
=nk
k
FR
,
0)(1==
=nk
koo
FmM
. (1.11)
Рис. 1.21
O
O
O
O
19
Проектируя эти равенства на оси координат, получаем
01=
=nk
kх
F
,
01=
=nk
kу
F
,
01=
=nk
kz
F
,
=
=
n
k
kx
Fm
1
0)(
,
=
=
n
k
ky
Fm
1
0)(
,
=
=
n
k
kz
Fm
1
0)(
. (1.12)
Уравнения (1.12) называются уравнениями равновесия произвольной пространственной системы сил. Таким образом, при равновесии
произвольной пространственной системы сил можно составить шесть
независимых уравнений.
Рассмотрим частные случаи равновесия системы сил.
Условие равновесия плоской системы сходящихся сил было
сформулировано ранее.
Для равновесия произвольной плоской системы сил, приложенной
к твердому телу в плоскости
Oxy
, необходимо и достаточно, чтобы ал-
гебраическая сумма проекций этих сил на оси x,y и алгебраическая
сумма моментов относительно произвольного центра O были равны
нулю:
01=
=nk
kx
F
,
01=
=nk
ky
F
,
0)(1=
=nk
ko
Fm
. (1.13)
Уравнения (1.13) называются основными уравнениями равновесия произвольной плоской системы сил. Существуют еще две системы
уравнений равновесия – системы (1.14) и (1.15):
01=
=nk
kу
F
,
0)(1=
=nk
kA
Fm
,
0)(1=
=nk
kB
Fm
, (1.14)
0)(1=
=nk
kA
Fm
,
0)(1=
=nk
kB
Fm
,
0)(1=
=nk
kC
Fm
. (1.15)
При этом в системе (1.14) отрезок прямой, соединяющий точки А
и В, не должен быть параллелен оси Oy, а в системе (1.15) точки А, В
и С не должны находиться на одной прямой.
20
1 . 1 1 . Т е о р е м а В а р и н ь о н а о м о м е н т е
р а в н о д е й с т в у ю щ е й
Если система сил приводится к равнодействующей, то момент
равнодействующей относительно произвольного центра (или оси) равен сумме моментов данных сил относительно того же центра (или
той же оси). Эту теорему удобно применять в случае, когда сила F
не параллельна какой-либо оси.
Пример. Пусть сила F = 20 Н приложена под углом
=
60 °
в точке А координатами
== OBx
A
0,4 м,
== OCy
A
0,3 м. Требуется определить
момент силы
F
относительно
точки O (рис. 1.22). По определению
FhFm
o
=)(
. Нахождение плеча h свя-
зано с вычислительными трудностями.
По теореме Вариньона, момент силы F
относительно точки
O
можно
определить значительно проще:
)()()(
yoxoo
FmFmFm +=
.
Находим модули составляющих:
== cosFF
x
10 Н,
== sinFF
y
17,32 Н.
Следовательно:
93,34,032,173,010)( =+−=+−= OBFOCFFm
yxo
Н·м.
Самостоятельно определите моменты силы F относительно точек В и С. Ответ:
=)(Fm
В
–3 Н·м;
=)(Fm
С
6,93 Н·м.
1 . 1 2 . Т р е н и е с к о л ь ж е н и я
Опыты показывают, что при смещении одного тела по поверхности
другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила сопротивления их
относительному скольжению, называемая силой трения скольжения.
х у А С О
h
α
В
Рис. 1.22
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]