Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Контрольные задания. Динамика. Задачник
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Казанский национальный исследовательский
технологический университет
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Контрольные задания
Динамика
Задачник
Казань
Издательство КНИТУ
2022
УДК 531(076)
ББК 22.21я7
Т33
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Т33
Теоретическая механика. Контрольные задания. Динамика :
задачник / сост.: Х. С. Гумерова, М. К. Сагдатуллин; Минобрнауки
России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ,
2022. – 80 с.
ISBN 978-5-7882-3132-7
ISBN 978-5-7882-3132-7
©
Гумерова Х. С., Сагдатуллин М. К., 2022
©
Казанский национальный исследовательский
технологический университет, 2022
УДК 531(076)
ББК 22.21я7
Казанского национального исследовательского технологического университета
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф. Д. В. Бережной
д-р техн. наук, проф. Б. А. Снигерев
Составители:
Х. С. Гумерова, М. К. Сагдатуллин
Представлены материалы для подготовки к контрольным работам по
теоретической механике, раздел «Динамика».
Предназначен для студентов механических и технологических
направлений подготовки всех форм обучения.
Подготовлен на кафедре теоретической механики и сопротивления
материалов.
2
В В Е Д Е Н И Е
Теоретическая механика – одна из важнейших физико-матема-
тических дисциплин, предусмотренных учебными планами инженеров различных специальностей. На базовых принципах и законах теоретической механики базируются многие общеинженерные дисциплины, такие как сопротивление материалов, теория машин и механизмов, детали машин и т. д.
Особое место в предложенном курсе отводится упражнениям
и контролю усвоения практических навыков. Посколь
примеров и задач – один из наиболее эффективных способов оценки
уровня знаний, данное пособие рекомендуется для проверки текущей
успеваемости студентов.
Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для
аудиторных контрольных работ, предлагаемых студентам технологических и механических специальностей при изучении дисциплины
«Теоретическая механика», раздел «Динамика». Здесь приведены основные понятия, законы, уравнения и принципы механики, а также задачи, основанные на предлагаемом теоретическом материале. Решение
задач, включенных в методическое пособие, не требует особых искусственных приемов или сложных математических преобразований.
ку решение
3
1. ДИНАМИКА
1.1 . З а к о н ы д и н а м и к и
Динамикой называется раздел механики, в котором изучается
движение материальных тел под действием сил. Материальными объектами в динамике являются материальная точка (точка, обладающая
массой), абсолютно твердое тело и механическая система материальных точек или тел. При изучении движения тел в динамике, в отличие
от кинематики, принимают во внимание как действующие на них
силы, так и инертность самих материальных тел. Количественной мерой инертности тела является масса m тела. В классической (теоретической) механике масса тела предполагается величиной скалярной,
положительной, постоянной и не зависящей от скорости тела. В основу динамики положены законы Галилея–Ньютона, являющиеся
обобщением практической деятельности человека и проверяемые на
опыте. Законы динамики описывают механическое движение материальных тел по отношению к неподвижным осям и инерциальным
осям. Инерциальные оси движутся относительно неподвижных осей
поступательно, равномерно и прямолинейно. При движении многих
задач техники оси, связанные с Землей, считают неподвижными.
Первый закон динамики (закон инерции): материальная точка,
изолированная от действия каких-либо других тел, сохраняет относительно неподвижной системы отсчета состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. В этих случаях ускорение
точки равно нулю. Такое кинематическое состояние точки называется
инерциальным, а ускорение точки равно нулю.
Второй (основной) закон динамики: произведение массы мате-
риальной точки на ускорение, которое она получает под действием
силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает
с направлением силы:
На основании второго закона динамики устанавливается связь
между массой тела и его весом:
. (1.1)
, (1.2)
где = 9,81 м/с² – ускорение свободного падения.
4
5
При одновременном действии на точку нескольких сил
k
F
урав-
нение, выражающее основной закон динамики в векторной форме,
принимает следующий вид:
. (1.3)
Проектируя обе части равенства (1.3) на оси
zyx ,,
, получим
,
,
. (1.4)
Уравнения (1.4) являются дифференциальными уравнениями
движения точки в прямоугольных декартовых координатах.
Аналогично получим дифференциальные уравнения движения
точки в проекциях на естественные оси:
,
,
, (1.5)
где − касательное ускорение;
− нормальное
ускорение.
Третий закон динамики: всякое действие вызывает равное
и прямо противоположное противодействие.
1 . 2 . Д в е о с н о в н ы е з а д а ч и д и н а м и к и т о ч к и
Первая задача динамики точки: зная закон движения точки,
найти действующую на точку силу. Если заданы уравнения движения
точки в координатной форме
,
,
или
в естественной форме , то путем дифференцирования можно
найти составляющие ускорения точки, а затем, используя второй закон динамики, определить действующую на точку силу.
Вторая задача динамики точки: зная приложенные к точке
силы, определить закон движения точки. Вторую задачу динамики
рекомендуется решать в следующем порядке:
1) выбрать систему координат;
2) записать начальные условия движения точки;
3) изобразить на рисунке точку, смещенную относительно
начала координат;
4) изобразить на рисунке приложенные к точке силы;
5) составить дифференциальные уравнения движения точки;
6) проинтегрировать систему дифференциальных уравнений;
6
7) определить постоянные интегрирования через начальные
условия, найти искомые величины.
Так как силы, действующие на точку, могут быть постоянными,
зависящими от времени, скорости или координаты, то дифференциальные уравнения следует преобразовать к уравнениям с разделенными переменными.
1.3 . В в е д е н и е в м е х а н и к у с и с т е м ы
Систему материальных точек или тел, движение которой рассматривается, называют механической системой. В статике действующие на механическую систему силы разделяют на активные
и ре-
акции связей . В динамике разделяют силы на внешние
и внут-
ренние
(индексы e и i от лат. exterior – внешний и interior – внут-
ренний). Внешними называют силы, действующие на точки системы
со стороны точек или тел, не входящих в состав данной механической
системы. Внутренними называют силы, с которыми точки или тела
данной системы действуют друг на друга.
Отметим два свойства внутренних сил:
1. Главный вектор всех внутренних сил равен нулю (
). Вы-
берем две произвольные точки , механической системы и некоторый неподвижный центр О (рис. 1.1). Силы взаимодействия этих
точек обозначим через
и
. Согласно аксиоме о равенстве дей-
ствия противодействию
, или
. Рассуждая анало-
гично, для всех точек системы получим
(1.6)
2. Главный момент всех внутренних сил механической системы
относительно произвольного центра равняется нулю (
).
Найдем сумму моментов сил
и
относительно центра О. По опре-
делению с учетом того, что
, получаем
,
Рис. 1.1
k
m
где и – радиус-векторы точек и (рис. 1.1). Векторы
и
направлены по одной линии, поэтому их векторное произведение
. Следовательно,
. Для всех то-
чек системы
(1.7)
1 . 4 . Ц е н т р м а с с с и с т е м ы
Масса механической системы равна арифметической сумме
масс всех точек или тел, образующих систему:
. (1.8)
Для тел, находящихся вблизи поверхности Земли, вес материальных точек или тел: . Представим формулы, определяющие координаты центра тяжести тела, в следующем виде:
у
;
. (1.9)
;
В полученные формулы входят массы
образующих тело или механическую систему, координаты
материальных точек,
материальных точек, масса М системы и координаты точки
С. Геометрическая точка С, координаты которой определяются фор-
мулами (1.9), называется центром масс или центром инерции механической системы, а оси с началом в точке С – центральными осями.
7
8
Таким образом, при расчетах можно считать, что центр масс совпадает с центром тяжести механической системы.
Формулы (1.9) эквивалентны одному векторному выражению:
, (1.10)
где − радиус-вектор, определяющий положение -й точки; − радиус-вектор, определяющий положение центра масс механической
системы.
1 . 5 . Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я д в и ж е н и я
м е х а н и ч е с к о й с и с т е м ы
Рассмотрим механическую систему, состоящую из материаль-
ных точек. Выберем произвольную точку системы. На нее действуют внешние и внутренние силы. Равнодействующие этих сил:
и
(рис. 1.2).
Рис. 1.2
Второй закон Ньютона для всех точек системы записывается
в следующем виде:
. Учитывая свой-
ство внутренних сил (1.6), получим дифференциальное уравнение
движения механической системы в векторной форме:
или
. (1.11)
В проекциях на оси координат это уравнение будет иметь вид
9
,
, . (1.12)
.
1 . 6 . Т е о р е м а о д в и ж е н и и ц е н т р а м а с с
Дважды продифференцировав по времени уравнение (1.10),
находим
или
. С учетом
(1.11) получим
. (1.13)
Произведение массы системы на ускорение ее центра масс
равно векторной сумме всех действующих на систему внешних сил.
По внешнему виду это уравнение напоминает уравнение движения
точки. Отличие состоит в том, что материальной точкой центр масс
не является. Поэтому теорема о движении центра масс системы
формулируется следующим образом: центр масс механической си-
стемы движется как материальная точка, к которой приложены
действующие на систему все внешние силы, а масса точки равна
массе всей системы.
Из уравнения (1.13) следует, что движение центра масс возможно только при наличии внешних сил, внутренние же силы не
могут изменить положения центра масс. Внутренние силы иногда
являются причиной появления внешних сил. Например, внутренняя
сила, приводящая в движение ведущее колесо автомобиля, вызывает действие на колесо внешней силы сцепления с дорогой, которая «толкает» автомобиль. Если дорогу принять за абсолютно гладкую плоскость, то сила сцепления равна нулю, а колесо будет двигаться таким образом, что его центр масс останется неподвижным
(явление пробуксовки).
Отметим, что уравнение (1.13) является также дифференциальным уравнением поступательного движения твердого тела. Действительно, при поступательном движении ускорения всех точек в каждый
10
момент времени одинаковы и, следовательно, равны ускорению центра
масс тела, которое определяется теоремой о движении центра масс.
Рассмотрим частные случаи.
1) Пусть сумма внешних сил, действующих на систему, равна
нулю:
Тогда из уравнения (1.13) следует, что
и . Следовательно, при отсутствии внешних сил центр масс
системы движется прямолинейно и равномерно.
2) Если при отсутствии внешних сил в начальный момент вре-
мени центр масс был в покое, то он и останется в покое:
, С .
1 . 7 . М о м е н т ы и н е р ц и и
Движение механической системы зависит не только от массы
тела, но и от момента инерции. Момент инерции есть мера инертности
при вращательном движении тела. Осевой момент инерции относи-
тельно оси z равен сумме произведений массы
k
m
каждой точки си-
стемы на квадрат ее расстояния до оси (рис. 1.3):
. (1.14)
Из определения следует, что осевой момент инерции тела или системы относительно любой оси является величиной положительной.
Рис. 1.3
Рис. 1.4
По теореме Пифагора
, следовательно
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]