Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Контрольные задания. Динамика. Задачник
.pdf
21
и определим работу силы упругости пружины при перемещении ее
нижнего конца из начального положения в конечное положение .
Рис. 1.12
Пусть , начальная и конечная деформации пружины. Согласно закону Гука . Проекции силы на оси координат:
. Элементарная работа: .
Полная работа :
=W
1
0
(
–
с
) или =
(
). (1.45)
Работа силы упругости положительна, если начальная деформация пружины больше конечной .
Рис. 1.13
Работа силы трения скольжения. Пусть тело перемещается
по наклонной шероховатой плоскости из положения в положение .
22
Действующая на тело сила трения: тр , где – нормальная реакция плоскости; – коэффициент трения скольжения. Сила трения
направлена противоположно перемещению тела, поэтому работа силы
трения отрицательна. Если считать силу трения во время движения постоянной, то
=W
=
– . (1.46)
В данном случае , , следовательно
.
Рис. 1.14
Работа силы, приложенной к вращающемуся телу. Для тела,
вращающегося вокруг оси , элементарная работа приложенной
к телу силы равна , где модуль
касательной составляющей силы ; – элементарный угол поворота
тела вокруг оси . Нетрудно заметить, что – момент силы
относительно оси вращения . Будем называть величину
вращающим моментом. Тогда элементарная работа
. При повороте на конечный угол работа;
=W
, (1.47)
а в случае постоянного момента из (1.47) следует, что .
23
1 . 1 2 . П р и н ц и п Д а л а м б е р а . С и л ы и н е р ц и и
При решении прямой задачи динамики материальной точки,
когда движение точки задано и необходимо найти силу, эффективно применяется метод кинетостатики. Особенно удобен этот
метод для определения реакций связи при известном законе движения точки и действующих на нее активных силах.
Известно, что законы И. Ньютона относятся к случаю движения свободной материальной точки. Однако если к этим законам добавить аксиому об освобождаемости от связей, то исследование несвободной точки сведется к исследованию движения свободной материальной точки. Принцип, о котором будет
идти речь, эквивалентен второму закону Ньютона и аксиоме об
освобождаемости от связей. Согласно принятой в теоретической механике терминологии этот принцип называется принци-
пом Даламбера и рассматривается как удобный прием для определения реакций связей, а также для составления дифференциальных уравнений движения механических систем.
Пусть на материальную точку массой действует активная сила и реакция . Тогда в соответствии с основным
уравнением динамики для несвободной точки имеем
, (1.48)
где
– абсолютное ускорение точки.
Перепишем уравнение (48) в виде
(1.49)
Слагаемое Ф
, отсюда
Ф (1.50)
Вектор Ф, равный по модулю произведению массы точки на ее
ускорение и направленный противоположно вектору ускорения,
называется силой инерции точки.
Силы Ф образуют систему сходящихся сил, и поэтому уравнение (1.3) представляет собой уравнение движения точки, записанное
24
в форме условия равновесия системы сил Ф. В этом и заключается
суть принципа Даламбера, который формулируется так: при движении материальной точки в каждый момент времени геометрическая сумма активной силы, реакции связей и силы инерции равна нулю, т. е.
Ф
(1.51)
Следует иметь в виду, что в формулировке принципа Даламбера
речь идет об уравновешенности системы сил Ф, а не о равно-
весии (покое) точки. На самом деле никакого равновесия не будет, поскольку на точку действует только активная сила и сила реакции
, а сила инерции Ф к точке не приложена, она лишь условно прила-
гается к материальной точке. Поэтому полученное равновесие является воображаемым. Принцип Даламбера является весьма удобным
приемом составления уравнений динамики методом статики, поэтому
этот прием называется методом кинетостатики.
Таким образом, дополняя систему активных сил и реакций связей, приложенных к точке, силой инерции, получаем уравновешенную систему сходящихся сил, для которых выполняется условие равновесия (1.50).
При решении задач с помощью принципа Даламбера для изображения на чертеже силы инерции Ф необходимо знать направление
ускорения точки. Если точка движется по криволинейной траектории,
то силу инерции удобно разлагать на две составляющие:
– касательную (или тангенциальную) силу инерции, направлен-
ную противоположно тангенциальному ускорению точки:
Ф
; (1.52)
– нормальную (или центробежную) силу инерции, направленную противоположно нормальному ускорению точки:
. (1.53)
Проецируя равенство (1.50) на оси декартовой системы координат,
получим аналитические условия равновесия системы сил Ф:
Ф
Ф (1.54)
25
Ф
В заключение заметим, что сила инерции точки реально существует, но она приложена не к точке , а к телам, взаимодействующим с точкой , и к связям, наложенным на эту точку.
1 . 1 3 . П р и н ц и п Д а л а м б е р а д л я м е х а н и ч е с к о й
с и с т е м ы
Рассмотрим систему материальных точек. К каждой -й точке
системы
в общем случае приложены равнодейству-
ющая активных сил
и равнодействующая реакций связей
. Доба-
вим к каждой точке системы силу инерции Ф
.Тогда, применяя прин-
цип Даламбера к каждой точке системы, получим
Ф
(1.55)
Уравнения (1.55) можно представить в виде
(1.56)
N
векторных уравнений (1.55) или (1.56) выражают принцип
Даламбера для механической системы: при движении механической
системы в любой момент времени приложенные к каждой точке системы активные силы и реакции связей вместе с силами инерции образуют систему сил, эквивалентную нулю.
Складывая почленно все уравнения (1.55), получим
(1.57)
Первая сумма равенства (1.57) равна главному вектору
всех
активных сил, приложенных к системе, вторая сумма – главному вектору
реакций связей и последняя сумма – главному вектору
Ф
сил
инерции:
Ф
(1.58)
Таким образом, в каждый момент времени сумма главных векторов активных сил, реакций связей и сил инерции движущейся механической системы равна нулю.
26
Далее, выбирая произвольный центр , проведем из него к каж-
дой точке радиус-вектор и, умножая каждое из уравнений (1.55)
векторно на соответствующий радиус-вектор слева и складывая все
произведения, получим
(1.59)
Первая сумма равна главному моменту
всех активных сил,
приложенных к системе; вторая – главному моменту
всех реакций
связей, а последняя – главному моменту
Ф
сил инерции. При этом
следует помнить, что все моменты вычисляются относительно одного
выбранного центра . Следовательно,
Ф
(1.60)
т. е. в каждый момент времени сумма главных моментов активных
сил, реакций связей и сил инерции движущейся механической системы равна нулю.
При вычислении главных векторов
и
и главных моментов
и
активных сил и сил реакций связей необходимо учитывать
только внешние силы, так как главный вектор и главный момент внутренних сил равны нулю.
В проекциях на оси декартовой системы координат, начало которых совпадает с центром , векторные условия (1.58) и (1.60) принимают вид известных уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил:
Ф
Ф
Ф
Ф
Ф
Ф
(1.61)
Движение твердого тела полностью определяется этими шестью уравнениями кинетостатики, точно так же, как равновесие тела
определяется шестью уравнениями равновесия. Если рассматриваемая система состоит из нескольких тел, то для каждого тела в отдельности можно составить соответствующие уравнения кинетостатики.
27
2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.
И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х
У Р А В Н Е Н И Й П Р Я М О Л И Н Е Й Н О Г О
Д В И Ж Е Н И Я Т О Ч К И
Д.2.1. Тело массой 10 кг начинает движение из состояния покоя
по негладкой горизонтальной плоскости под действием переменной
силы, проекция которой на ось Ох , Н. Найти коэффициент
трения скольжения f, если известно, что за время тело приоб-
рело скорость м. Ускорение силы тяжести принять равным
10 м/с2.
Д.2.2. Материальная точка массой 2 кг движется по горизонтальной поверхности под действием силы, возрастающей пропорционально времени. В начальный момент сила равнялась 2Н. Найти закон
движения точки, если ее движение начинается без начальной скорости, а в момент t = 1 c скорость равна 2 м/с2.
Д.2.3. Материальная точка массой 10 кг движется по горизонтальной поверхности под действием силы, проекция которой на ось
Н. Найти скорость точки через 3 с после начала движения, если ее начальная скорость м.
Д.2.4. На материальную точку, совершающую прямолинейное
движение, действует сила, равномерно убывающая с течением времени и при t = 4 c обращающаяся в нуль. Какой скорости достигает
точка по истечении 4 с и какой путь пройдет она за это время, если
начальная скорость точки равна нулю, а начальное ускорение направлено в сторону действия силы и равно м.
Д.2.5. Точка массой кг начинает движение со скоростью м
по горизонтальной прямой. На точку действует сила тяги, пропорциональная времени, и постоянная сила сопротивления, величина которой . Определить путь, пройденный точкой за 3 с, если известно, что ее скорость за это время увеличилась в пять раз.
28
Д.2.6. Точка массой
кг5
движется по горизонтальной прямой под
действием силы, убывающей на
Н20
в секунду. В начальный момент
времени сила равна
Н100
и точка имеет скорость м. Найти
закон движения точки и ее скорость через 5 с после начала движения.
Д.2.7. На материальную точку массой кг, имеющую скорость
м, начинает действовать сила, пропорциональная времени.
Зная, что начальная величина силы равна Н, а скорость точки через
2 с стала равной м, найти путь, пройденный точкой за 3 с.
Д.2.8. Точка массой кг начинает движение из состояния покоя
под действием силы, возрастающей на Н в секунду. Найти закон
движения точки и ее скорость через 8 с после начала движения.
Д.2.9. Материальная точка массой кг движется по горизонтальной прямой под действием силы, возрастающей пропорционально времени. Известно, что по истечении 5 с сила равнялась Н.
Определить закон движения точки, если ее начальная скорость
м.
Д.2.10. Точка массой кг движется без начальной скорости по
горизонтальной прямой под действием силы, пропорциональной
квадрату времени. Известно, что по истечении 3 с скорость точки равнялась м. Найти закон движения точки.
Д.2.11. Материальная точка массой
кг1
движется по горизон-
тальной прямой под действием силы, проекция которой на ось
Ох Н. Начальная скорость точки м. Найти закон
движения точки и ее скорость через 4 с после начала движения.
Д.2.12. Точка массой
кг1
движется по горизонтальной прямой
с начальной скоростью м под действием силы, проекция которой на ось Ох Н. Найти путь, пройденный точкой, и ее
скорость по истечении 3 с от начала движения.
Д.2.13. Точка массой 1 кг начинает движение из начала координат с начальной скоростью м под действием силы, проекция
которой на ось Ох . Движение происходит по шероховатой горизонтальной поверхности с коэффициентом трения .
Определить скорость точки в конце 3-й секунды и путь, пройденный
ею за это время, полагая ускорение силы тяжести мс.
29
Д.2.14. Точка массой кг начинает движение по гладкой горизонтальной прямой с начальной скоростью мс и далее продолжает
движение под действием силы, проекция которой на ось
Ох Н. Определить путь, пройденный точкой в течение 6 с,
и скорость ее в конце 4-й секунды.
Д.2.15. Точка массой
кг2
начинает движение по прямой
с начальной скоростью мс и продолжает его под действием силы,
проекция которой на ось Ох Н. Найти максимальное зна-
чение скорости точки. Через сколько секунд скорость точки будет
равна нулю?
Д.2.16. Точка массой кг движется по гладкой горизонтальной
поверхности под действием силы, пропорциональной времени, которая при равна 12 Н. Определить закон движения точки, если
ее начальная скорость м была направлена в сторону действия силы.
Д.2.17. Точка массой 5 кг движется по гладкой горизонтальной
поверхности под действием силы, проекция которой на ось
Ох Н. Начальная скорость точки равна 14 м/c и совпа-
дает по направлению с направлением вектора силы. Какой путь пройдет точка к тому времени, когда ее скорость станет максимальной?
Д.2.18. Сила тяги трамвайного мотора при пуске его в ход возрастает на 100 Н в секунду. Зная, что масса вагона равна 3000 кг и что
коэффициент трения между вагоном и рельсами равен 0,01, определить закон движения вагона в пусковой период, полагая мс.
Д.2.19. Материальная точка массой кг движется по горизонтальной оси х под действием силы, проекция которой на эту ось
Н. Определить положение точки в момент остановки,
если в начальный момент х , .
Д.2.20. Точка массой 3 кг движется из состояния покоя по гладкой горизонтальной прямой под действием силы, проекция которой
на ось Ох
Н. Определить путь, пройденный точкой
к тому моменту времени, когда ее скорость станет максимальной.
30
Д.1.21. Определить скорость
, которую нужно сообщить
точке массой , для того чтобы она, двигаясь вертикально вверх, под-
нялась на высоту Н. Величина силы сопротивления воздуха зависит
от скорости точки и выражается формулой , где – постоянный коэффициент.
Д.2.22. Пуля, пробив доску толщиной , изменяет свою скорость от значения до значения
. Считая силу сопротивления про-
порциональной квадрату скорости, определить коэффициент пропорциональности силы и время движения пули в доске.
Д.2.23. Точка массой кг, имея начальную скорость мс, движется вдоль горизонтальной прямой, преодолевая силу сопротивления, величина которой зависит от скорости и выражается формулой
. Найти закон движения точки.
Д.2.24. Материальная точка, двигаясь по горизонтальной прямой, имела в некоторый момент скорость
. Определить ее скорость
по истечении следующих секунд, а также пройденный ею за это
время путь, если величина силы сопротивления зависит от скорости
и выражается формулой , где – масса точки, .
Д.2.25. Автомобиль массой движется по горизонтальной прямой.
Принимая силу тяги мотора постоянной и равной , а величину суммарного сопротивления движению
, определить скорость автомо-
биля, когда он пройдет путь , если начальная скорость его равна .
Д.2.26. Лодке массой сообщена скорость . Через секунд
после начала движения ее скорость уменьшилась вдвое. Каков закон
движения лодки, если сила сопротивления воды пропорциональна
скорости лодки?
Д.2.27. Точка массой кг движется горизонтально в сопротивляющейся среде, сила сопротивления которой пропорциональна первой степени скорости. Найти коэффициент пропорциональности ,
если точка при начальной скорости мс прошла до остановки 10 м.
Д.2.28. Материальная точка массой движется горизонтально,
начиная движение со скоростью в среде, величина силы
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]