Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Контрольные задания. Динамика. Задачник
.pdf
31
сопротивления которой , где скорость точки, .
Найти время движения и путь, пройденный точкой до остановки.
Д.2.29. Точка массой движется вдоль горизонтальной прямой с начальной скоростью мс и испытывает сопротивление
среды. Величина силы сопротивления зависит от скорости и опреде-
ляется формулой . Найти время движения и путь, пройденный точкой до остановки.
Д.2.30. Точке массой сообщили горизонтальную скорость ,
после чего она продолжает движение по шероховатой горизонтальной
поверхности с коэффициентом трения, равным , испытывая сопротивление воздуха, пропорциональное квадрату скорости, с коэффициентом пропорциональности, равным . Определить путь, пройденный точкой до остановки.
Д.2.31. Величина силы, действующей на автомобиль массой ,
в первое время после начала движения выражается формулой
, где – постоянные коэффициенты; – скорость автомобиля. Выразить силу в функции времени.
Д.2.32. Тело массой брошено вертикально вверх с начальной
скоростью
. Предполагая, что сила сопротивления воздуха пропор-
циональна квадрату скорости тела, причем коэффициент пропорциональности равен , найти, с какой скоростью тело упадет обратно на
землю.
Д.2.33. Точка массой падает без начальной скорости в среде,
сопротивление которой пропорционально первой степени скорости .
Определить наибольшую скорость точки, если при мс сила сопротивления равна одной трети силы тяжести. Какова зависимость
скорости от времени?
Д.2.34. Лодка массой кг приобретает после толчка скорость
. Считая, что величина силы сопротивления воды про-
порциональна скорости
v
лодки и выражается формулой ,
определить, через сколько секунд скорость лодки станет втрое
меньше начальной и какой за это время она пройдет путь.
32
Д.2.35. Точка массой 5 кг движется горизонтально, имея начальную скорость мс. Величина силы сопротивления, действую-
щей на точку, пропорциональна ее скорости и выражается формулой . Определить, через сколько секунд скорость точки
уменьшится вдвое и какой за это время она пройдет путь.
Д.2.36. Груз массой бросают вверх с такой начальной скоростью, при которой он, двигаясь в безвоздушном пространстве, поднялся бы на высоту 10 м. Определить, на какую высоту поднимется
груз, если он движется в воздухе, где величина силы сопротивления
пропорциональна квадрату скорости груза и выражается формулой
.
Д.2.37. Груз массой начинает падать в воздухе вертикально
вниз без начальной скорости. Величина силы сопротивления пропорциональна квадрату скорости груза и определяется формулой
. Определить, пройдя какой путь, груз приобретает
скорость, равную половине предельной.
Д.2.38. Тело массой начинает падать без начальной скорости
в среде, сопротивление которой пропорционально скорости тела. Величина силы сопротивления определяется формулой . Через сколько секунд скорость v тела достигает половины предельной?
Д.2.39. Груз массой бросили вертикально вверх в среде, величина силы сопротивления которой определяется формулой
. Определить, через сколько секунд груз достигнет наивыс-
шей точки, если начальная скорость его такова, что, двигаясь без сопротивления, он достиг бы наивысшей точки через 2 с после начала
движения.
Д.2.40. Лодка замедляет свое движение, преодолевая сопротивление воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная
скорость лодки мс. Через 4 с ее скорость равна 1 м/с. Через сколько
секунд скорость лодки уменьшится до 0,5 м/с? Какой путь пройдет
лодка до остановки?
Д.2.41. Материальная точка массой кг отталкивается от неподвижного центра силой, величина которой пропорциональна
33
расстоянию
х
от центра и на расстоянии м от него равна Н.
Найти закон движения точки, если в начальный момент точка находилась в центре и имела начальную скорость мс.
Д.2.42. Материальная точка массой отталкивается от неподвижного центра О силой, величина которой равна х, где х – рас-
стояние точки до центра О, а – постоянный коэффициент. Найти закон движения точки, если в начальный момент времени
, .
Д.2.43. Материальная точка массой притягивается к неподвижному центру силой, обратно пропорциональной кубу расстояния
между ними, коэффициент пропорциональности равен . Через
сколько секунд точка попадает в центр притяжения, если начальное
расстояние до центра равно , а начальная скорость равна нулю?
Д.2.44. Материальная точка массой движется под действием
силы притяжения к центру О. Величина этой силы равна , где
– расстояние точки до центра притяжения. Определить, какой путь
пройдет точка за первую секунду движения при ; м;
.
Д.2.45. Материальная точка М притягивается к центру О силой,
величина которой определяется формулой
, где ;
– масса точки; . В начальный момент времени расстояние
и . Определить скорость точки, когда она пройдет
путь, равный половине начального расстояния до центра О.
Д.2.46. Точка массой кг движется по шероховатой горизонтальной поверхности с коэффициентом трения под действием
силы, проекция которой на ось . Найти закон движения точки, если в начальный момент времени м
и мс. Принять мс.
Д.2.47. Точка массой , имеющая нулевую начальную скорость, притягивается к неподвижному центру О силой, пропорциональной расстоянию точки до этого центра. Определить скорость
точки, когда она приблизится к центру на половину первоначального
34
расстояния , если известно, что на расстоянии от центра О, равном
, скорость точки равна .
Д.2.48. Материальная точка массой движется под действием
силы притяжения к неподвижному центру О. Сила обратно пропорциональна кубу расстояния движущейся точки до центра О и пропорци-
ональна массе точки. Определить закон движения точки, если при
; м; мс.
Д.2.49. Материальная точка массой движется без начальной
скорости прямолинейно под действием силы отталкивания от неподвижного центра О, пропорциональной расстоянию от точки до этого
центра. В начальный момент времени сила равна , а расстояние
точки до центра О равно . Найти скорость точки, когда она пройдет
путь, равный .
Д.2.50. Точка массой кг движется по горизонтальной прямой
под действием силы, проекция которой на ось определяется формулой . Найти закон движения точки, если при ,
мс, а м. Какой путь пройдет точка, прежде чем ее ско-
рость станет равной мс?
Д.2.51. Точка массой кг движется по горизонтальной прямой
под действием силы, проекция которой на ось .
Какова будет скорость точки, когда она пройдет путь, равный 50 м,
если при ; мс, а м? Сколько времени потратит
точка на этот путь?
Д.2.52. Точка массой кг движется вдоль горизонтальной оси
под действием силы, проекция которой на ось определяется
формулой . Определить, какой путь пройдет точка, когда
ее начальная скорость утроится, если при , мс,
а .
Д.2.53. Тело брошено с поверхности Земли вертикально вверх
с минимальной начальной скоростью, достаточной для удаления тела
в бесконечность. Определить скорость тела при удалении его от поверхности Земли на расстояние земного радиуса. Сопротивлением
воздуха пренебречь.
35
Д.2.54. Точка массой находится на прямой, проходящей через
два центра – и , расстояние между которыми . Каждый
центр притягивает точку силой, пропорциональной расстоянию точки
до него; коэффициент пропорциональности у обеих сил одинаков
и равен . В начальный момент точка находится на расстоянии
от середины отрезка , не имея начальной скорости. Найти закон
движения точки.
Д.2.55. На материальную точку массой кг, движущуюся вдоль
горизонтальной оси , действует сила, проекция которой на ось
. Найти закон движения точки, если в начальный момент
времени ; мс.
Д.2.56. Точка массой кг движется горизонтально под действием силы, проекция которой на ось . Какой
путь пройдет точка к тому моменту времени, когда ее скорость станет
равной мс, если при , мс, м?
Д.2.57. Точка массой 2 кг движется по горизонтальной прямой
под действием силы, проекция которой на ось .
Найти закон движения точки, если в начальный момент мс,
м.
Д.2.58. Точка массой кг движется по горизонтальной прямой
под действием силы, проекция которой на ось . За
какое время точка пройдет путь, равный 10 м, если при ,
мс, м?
Д.2.59. Материальная точка массой кг движется вдоль горизонтальной оси под действием силы, проекция которой на ось
. Определить закон движения точки, если
в начальный момент ; .
Д.2.60. Материальная точка, удаленная от поверхности Земли
на расстояние земного радиуса , начинает падать без начальной скорости под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния точки от центра Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить скорость точки в момент падения на Землю.
36
3 . ДИНАМИКА МЕ Х А Н И Ч Е С К О Й СИ С Т Е М Ы
3 . 1 . Т е о р е м а о к и н е т и ч е с к о й э н е р г и и
м е х а н и ч е с к о й с и с т е м ы
Д.3.1. Грузы А и В, массы которых и , соединены невесомой и нерастяжимой нитью, переброшенной через блок массой
и радиусом . Грузы перемещаются из состояния покоя: А – вертикально, а В – по плоскости, наклоненной к горизонту под углом .
Коэффициент трения груза В о наклонную плоскость равен . Определить угловую скорость блока, считая его однородным сплошным
диском, в тот момент, когда груз А опустился на высоту .
Д.3.2. Груз А массой поднимается из состояния покоя по
гладкой плоскости, наклоненной к горизонту под углом , с помощью
лебедки. Барабан В лебедки приводится во вращение постоянным мо-
ментом М. Масса барабана , а его радиус . Определить скорость
груза А в зависимости от пройденного им пути . Массой нити пренебречь, барабан считать сплошным однородным цилиндром.
37
Д.3.3. Груз А массой перемещается из состояния покоя по
шероховатой горизонтальной плоскости с помощью лебедки. Барабан
В лебедки приводится во вращение постоянным моментом М. Масса
барабана , его радиус , а коэффициент трения груза о плоскость .
Пренебрегая массой нити, определить угловую скорость барабана, когда он сделает оборотов. Барабан считать сплошным однородным
цилиндром.
Д.3.4. Через блок А массой переброшена невесомая нерастяжимая нить, к одному концу которой прикреплена ось колеса В такого же
радиуса и массы, а к другому концу – груз С массой
. Система начи-
нает движение из состояния покоя под действием силы тяжести. Считая,
что колесо В катится без скольжения, массы блока и колеса равномерно
распределены по их ободам, и пренебрегая трением качения, определить
скорость груза С в зависимости от пройденного пути .
Д.3.5. Через блок А массой переброшена нерастяжимая невесомая нить, к одному концу которой прикреплена ось катка В такого
же радиуса и массы, а к другому концу – груз С массой
, который
вращает блок А и заставляет катиться без скольжения каток В. Считая
каток и блок однородными цилиндрами и пренебрегая трением, определить ускорение груза С.
38
Д.3.6. Колесо катится без скольжения из состояния покоя по
плоскости, наклоненной к горизонту под углом . Пренебрегая трением качения, определить скорость центра колеса в зависимости от
пройденного им пути , если масса обода колеса равна
, а масса
каждой из шести спиц – .
Д.3.7. Каток А массой поднимается с помощью лебедки из
состояния покоя по шероховатой плоскости, наклоненной к горизонту
под углом . Барабан В массой лебедки приводится во вращение
постоянным моментом М. Пренебрегая трением качения и массой
нити, определить угловую скорость барабана, после того как он совершит оборотов. Считать барабан лебедки и каток сплошными однородными цилиндрами одинакового радиуса .
39
Д.3.8. Грузы А и В, массы которых и
, соединены невесо-
мой и нерастяжимой нитью, переброшенной через невесомый блок С.
Груз А перемещается вертикально, а груз В – по шероховатой плоско-
сти, наклоненной к горизонту под углом . Коэффициент трения
между грузом и наклонной плоскостью равен . Система приходит
в движение из состояния покоя под действием сил тяжести. Найти
скорость груза , когда он опустится на высоту .
Д.3.9. Однородный цилиндр, получив начальную скорость центра, равную
, катится вверх без проскальзывания по плоскости,
наклоненной к горизонту под углом . На какое расстояние вдоль
наклонной плоскости переместится центр цилиндра от начала движения до остановки?
Д.3.10. Однородный круглый цилиндр обмотан невесомой нерастяжимой тонкой нитью, конец которой закреплен неподвижно.
Цилиндр падает по вертикали, разматывая нить. Определить ускорение центра С цилиндра.
40
Д.3.11. Груз , падая по вертикали, посредством невесомой
и нерастяжимой нити, переброшенной через идеальный неподвижный блок С, заставляет катиться без скольжения по горизонтальной
плоскости однородный цилиндрический каток , масса которого
в 6 раз больше массы груза. Пренебрегая массой блока и трением качения, определить ускорение оси катка.
Д.3.12. Груз массой подвешен на нерастяжимом и невесомом тросе, намотанном на сплошном однородном цилиндре с горизонтальной осью вращения. Масса цилиндра равна
. Пренебрегая
трением в оси, определить скорость груза через секунд после начала
движения, если в начальный момент его скорость была равна нулю.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]