Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Контрольные задания. Динамика. Задачник
.pdf
11
.
Аналогично вычисляются моменты инерции относительно
других осей:
,
. (1.15)
Найдем осевые моменты инерции некоторых однородных тел,
например стержня и цилиндра.
1) Тонкий однородный стержень длиной
l
и массой . Сначала
вычислим момент инерции относительно оси , проходящей через его
начало (рис. 1.4). На расстоянии от оси выделим элемент длиной
и массой ·. Момент инерции элемента:
·. Интегрируя, получаем
. (1.16)
Для вычисления момента инерции стержня относительно цен-
тральной оси нужно в (1.16) изменить пределы интегрирования.
В этом случае
. (1.17)
2) Цилиндр. Вычислим момент инерции полого цилиндра массой
M относительно продольной оси . Цилиндр радиусом имеет отверстие
радиусом (рис. 1.5). Ось цилиндра перпендикулярна к рисунку.
Рис. 1.5
Выделим элементарное сечение в виде кольца радиусом
и толщиной . Учитывая, что масса единицы площади сечения
равна , получаем массу элементарного цилиндра радиусом и толщиной : , где –
12
площадь элементарного сечения; – площадь сечения полого цилиндра.
Момент инерции полого цилиндра:
. (1.18)
Используя (1.18), можно вычислить
z
I
в частных случаях:
а) Момент инерции тонкостенного цилиндра или кольца радиусом R. Полагая в формуле (1.18)
Rr =
, получаем
. (1.19)
б) Момент инерции сплошного цилиндра или круглой пластины
радиусом . Полагая в формуле (18) , находим
.
(1.20)
Радиусом инерции тела относительно оси называется линей-
ная величина , определяемая равенством
.
(1.21)
Найдем зависимость между моментами инерции относительно
параллельных осей. Пусть ось ′ проходит через центр масс тела,
а ось – через произвольную точку на расстоянии от оси ′
(рис. 1.6). Моменты инерции тела относительно этих осей:
, (1.21а)
. (1.21б)
Рис. 1.6
13
Координаты точки
k
в системах х
′у′′
и связаны соотно-
шениями
′
;
′
. Подставляя эти координаты в выра-
жение (1.21б), получим
′
′
у
′
′
′
у
′
Из второй формулы (3.9) следует
у
′
′
. Так как ось
′ проходит через центр масс, то
′
, следовательно,
у
′
. Кроме того,
. Учитывая полученные ра-
венства и выражение для
z
I
, находим
.
(1.22)
Формула (1.22) выражает теорему Гюйгенса-Штейнера: мо-
мент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту
инерции этого тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между этими осями.
1 . 8 . О б щ и е т е о р е м ы д и н а м и к и . Т е о р е м а
об и з м е н е н и и к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я
Количеством движения материальной точки называется век-
торная величина , равная произведению массы точки на вектор ее
скорости. Направлен этот вектор так же, как и скорость точки, т. е. по
касательной к траектории. Единицей измерения количества движения
является 1кг·мс .
Количеством движения механической системы
называется
векторная сумма количеств движений всех точек системы:
. (1.23)
14
Установим связь между количеством движения системы и скоростью центра масс механической системы. Возьмем производную по
времени от обеих частей второго уравнения (1.10):
или
.
Сравнив это уравнение с (1.23), получим
. (1.24)
Количество движения системы равно произведению массы системы на скорость ее центра масс.
Докажем теорему об изменении количества движения матери-
альной точки. Основной закон динамики точки (1.3) представим
в виде
. Или, разделив переменные, можно записать
. (1.25)
Пусть движущаяся точка имеет в момент времени скорость , а в момент времени – скорость
. Возьмем от выражения
(1.25) определенные интегралы:
.
Величина
называется элементарным импульсом
силы
, а величина
– импульсом силы
за промежу-
ток времени . После интегрирования получим теорему об измене-
нии количества движения точки в интегральной форме:
.
(1.26)
Изменение количества движения точки за некоторый промежуток
времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за
тот же промежуток времени.
Докажем эту теорему для механической системы. Возьмем от
левой и правой частей (1.23) производные по времени:
. Учитывая (1.11), получим теорему
об изменении количества движения механической системы:
.
(1.27)
15
Производная по времени от количества движения системы равна
сумме действующих на систему внешних сил.
Проинтегрировав уравнение (1.27), получим выражение теоремы в интегральной форме:
или
. (1.28)
Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.
1 . 9 . Т е о р е м а о б и з м е н е н и и м о м е н т а
к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я с и с т е м ы
Моментом количества движения точки A относительно некоторого центра называется векторная величина , определяемая равенством
. (1.29)
Здесь выражение в квадратных скобках − векторное
произведение радиус-вектора
на вектор количества движе-
ния движущейся точки .
Получается, что вектор
, проходящий через
центр , направлен перпендикулярно плоскости, образованной векторами , .
Определение (1.29) аналогично определению момента
силы .
Вычислим из равенства (1.29) производную по времени:
Рис. 1.7
16
Здесь как векторное произведение двух параллельных
векторов. В результате получим
. (1.30)
Доказана теорема моментов относительно центра: производ-
ная по времени от момента количества движения точки, взятого
относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту
действующей на точку силы относительно того же центра.
Определим момент количества движения (кинетический момент) твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью . Считаем, что тело состоит из n материальных
точек. Выберем произвольную точку K, отстоящую от оси z на расстоянии . Момент количества движения точки K относительно оси
будет
. Кинетический момент вра-
щающегося тела относительно оси
z
:
. Величина, стоящая в скобках, представляет собой
момент инерции тела относительно оси z (1.14), следовательно
. (1.31)
Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно данной
оси на угловую скорость тела.
Докажем теорему моментов для механической системы. Выра-
жение (1.30) для -й точки системы можно записать как
,
где
и
– равнодействующие всех внешних и внутренних сил, дей-
ствующих на точку. Для механической системы
Последняя сумма по свойству внутренних сил равна нулю. Учитывая, что кинетический момент системы относительно центра
, получим
. (1.32)
17
Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра равна сумме моментов внешних сил относительно того же центра.
Проектируя обе части (1.32) на ось , получим
. (1.33)
Для вращающегося твердого тела выполняется равенство (1.31),
поэтому выражение (1.33) можно представить в другом виде:
или
. (1.34)
Уравнение (1.34) называется
дифференциальным уравнением
вращательного движения твердого
тела. Произведение момента инерции твердого тела относительно
оси z на угловое ускорение
(
) тела, вращающегося
вокруг оси z, равно сумме моментов внешних сил относительно той
же оси z.
1 . 1 0 . Т е о р е м а о б и з м е н е н и и к и н е т и ч е с к о й
э н е р г и и
Кинетической энергией материальной точки k называется ска-
лярная величина, равная половине произведения массы точки на квад-
рат ее скорости:
.
Кинетической энергией механической системы называется
арифметическая сумма кинетических энергий всех точек системы:
. (1.35)
Найдем формулы для вычисления кинетической энергии тел
в разных случаях движения.
Рис. 1.8
18
При поступательном движении скорости всех точек тела оди-
наковы: , где скорость центра масс тела.
пост
. (1.36)
При вращательном движении скорость -й точки тела:
, где расстояние точки до оси вращения.
вр
, (1.37)
где момент инерции тела относительно оси вращения .
Из кинематики известно, что плоское
движение в некоторый момент времени
можно рассматривать как мгновенный поворот тела вокруг оси, проходящей через
мгновенный центр скоростей. В этом случае
плоск
.
Пусть точка C– центр масс. По теореме
Гюйгенса–Штейнера (1.22)
. Кинетическая энергия тела при
плоском движении:
плоск
(1.38)
где момент инерции тела относительно центральной оси;
скорость центра масс; мгновенная угловая скорость;
– масса тела.
Докажем теорему об изменении кинетической энергии для ма-
териальной точки.
Запишем второй закон Ньютона в проекции на касательную
(1.5):
.
Касательное ускорение:
.
Следовательно, закон Ньютона примет вид
или
, (1.39)
где элементарная работа силы
на перемещении
точки .
Рис. 1.9
19
Элементарную работу можно записать иначе:
·, (1.40)
где
· скалярное произведение векторов; ра-
диус-вектор точки .
Поскольку
, то аналитическое выражение
элементарной работы силы
:
. (1.41)
Проинтегрировав (1.39) в пределах изменения переменных
в точках и , найдем окончательно
. (1.42)
Это уравнение выражает
теорему об изменении кинетической энергии материальной точки
в интегральной форме: изменение
кинетической энергии точки на некотором ее перемещении равно
сумме работ приложенных сил на
том же перемещении.
Для произвольной точки
механической системы выражение
(1.42) имеет вид
.
Для всей системы
. Если обозначить кинетическую энергию всей системы в
ее начальном положении
, а в конечном – как
, то
. (1.43)
Уравнение (1.43) выражает теорему об изменении кинетиче-
ской энергии механической системы в интегральной форме:
Рис. 1.10
20
изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных
к системе внешних и внутренних сил.
Отметим, что в общем случае сумма работ внутренних сил не
равна нулю. Для абсолютно твердого тела
, так как рас-
стояния между любыми точками тела не изменяются.
1 . 1 1 . Р а б о т а с и л ы
Работа силы тяжести. Пусть точка переместилась под дей-
ствием силы тяжести из положения в положение (рис. 1.11).
По формуле (1.41) найдем элементарную работу силы :
Полная работа силы на переме-
щении будет
или
, (1.44)
где − высота, на которую опустилась точка. Таким образом, работа силы тяжести положительна, когда точка опускается,
и отрицательна – когда точка поднимается.
Рис. 1.11
Работа силы упругости пружины. Пусть груз прикреплен
к пружине жесткости с (рис. 1.12). Выберем начало координаты в положении , при котором пружина не деформирована (ее длина равна ),
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]