Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные проблемы теплогазоснабжения населенных мест и предприятий. Учебное пособие (курс лекций)
.pdf
71
Все процессы считаются обратимыми. Для упрощения задачи
¥
-
¥
+
все процессы принято считать протекающими при постоянной теплоемкости С, которая для каждого отдельного процесса имеет
строго определенное значение, но в общем случае для разных процессов может принимать значения от
до
.
Частными случаями политропного процесса являются процессы, протекающие при постоянном значении одного параметра состояния и переменных значениях всех остальных параметров.
К ним относятся следующие процессы:
– изохорный процесс, протекающий при постоянном объеме;
– изобарный процесс, протекающий при постоянном давлении;
– изотермический процесс, протекающий при постоянной тем-
пературе;
– адиабатный процесс, протекающий при отсутствии теплооб-
мена с внешней средой (dq=0), при этом dS=0 и энтропия не меняется, т. е. процесс является изоэнтропийным (S = const).
Изучение этих процессов имеет большое теоретическое и практическое значение в технике.
2. Вывод уравнения политропного процесса в p – υ-диаграмме.
Рассмотрим произвольный, бесконечно малый участок политропного процесса, для которого можно записать два выражения
уравнения первого закона термодинамики в дифференциальной
форме, образующих систему дифференциальных уравнений:
×+=
dpdUdq
u
. (2.59)
×-=
dpdidq
u
ì
ï
í
ï
î
Используя понятие постоянной теплоемкости политропного
процесса и выведенные в п. 2.6 выражения для dU и di, будем
иметь:
dq=C·dT; dU=Cυ·dT; u d =Cp·dT. (2.60)
Подставляя эти выражения в систему дифференциальных уравнений, получим:
C·dT=CV dT+p·dυ; (2.61)
C·dT=Cp·dT–υ·dp. (2.62)
Перенося члены уравнения, содержащие дифференциал dT в
левую часть и разделив второе уравнение на первое, получим:
72
-
-
1
n
-
-
u
где
n
= – постоянная величина (показатель политропы).
CC
p
CC
-
V
CC
p
CC
-
V
dp
×
u
-=
dp
×
u
constn
==
, (2.63)
В свою очередь, теплоемкость политропного процесса может
быть выражена через показатель политропы таким образом:
C
где
p
k = .
C
V
CC
kn
×=
V
, (2.64)
Величины n и С являются основными характеристиками политропного процесса и определяют все его свойства. При этом для характеристики политропного процесса достаточно задать только
одну величину n или С, вторая может быть найдена из приведеноого уравнения связи между ними.
Разделяя переменные в полученном дифференциальном уравнении и интегрируя, получим:
dpd
;
-=×
p
n
uu
==+×+-=×
;constNplnlnNplnlnn
(2.65)
,constp
n
u
n
=×
u
где N – постоянная интегрирования.
Постоянная интегрирования определяется обычно по начальным и конечным граничным условиям процесса.
Так как уравнение политропного процесса справедливо для
всех точек процесса, в том числе для первой и последней точки
процесса, постоянная интегрирования будет равна:
n
n
11
n
...ppconstp
=×=×==×
uuu
. (2.66)
22
Уравнение политропного процесса в p – υ-диаграмме представляет неравнобокую гиперболу.
3. Вывод уравнения политропного процесса в T – S-диаграмме.
Для бесконечно малого участка политропного процесса изменение энтропии равно:
73
T
dq
T
×-=
×=×
u
dS =
. (2.67)
Используя значение постоянной теплоемкости политропного
процесса С, получим:
dS×= . (2.68)
dTC
Интегрируя последнее выражение, имеем:
ATlnCS +×=
, (2.69)
где А – постоянная интегрирования, определяемая обычно по начальным условиям. Используя значения параметров T и S в начальной или конечной точке процесса, найдем постоянную интегрирования:
;ATlnCS
+×=
(2.70)
11
откуда
TlnCSA
. (2.71)
11
Тогда уравнение политропы можно записать в виде:
1
T
T
lnCSS ×
C
1
V
kn
-
×=×=-
ln
. (2.72)
T
1n
-
1
T
Уравнение политропного процесса в T – S-диаграмме представ-
ляет логарифмическую кривую.
4. Зависимость между начальными и конечными параметрами
состояния p, υ и T в процессе.
Исходными уравнениями для вывода зависимостей являются
уравнения состояния и уравнение политропы для начальной и конечной точки процесса:
;TRp
u
111
222
;TRp
×=×
u
n
.TRp
×=×
222
Разделив первое уравнение состояния на второе, получим общее уравнение связи между параметрами p, υ, T:
p
p
×
×
u
u
T
1
11
=
. (2.73)
T
2
22
Из уравнения политропы получим зависимость между начальным и конечным давлением и объемом:
p
p
1
2
=
æ
ç
ç
è
u
u
2
1
ö
÷
÷
ø
n
u
u
u
1
2
=
æ
ç
ç
è
1
n
ö
p
2
÷
. (2.74)
÷
p
1
ø
Подставляя отношение давлений в общее уравнение, получим:
74
1
×
=
×
=
-
n1
-
ö
æ
T
1
÷
ç
ç
è
. (2.75)
÷
T
2
ø
n
ö
æ
T
1
ç
=
ç
T
2
è
u
u
u
1
2
÷
÷
u
2
1
ø
T
;
1
=×
T
2
n1
-
ö
æ
u
1
÷
ç
÷
ç
u
2
ø
è
u
1
u
=
u
2
Аналогично, подставляя отношение объемов, будем иметь:
1
T
1
= . (2.76)
T
2
2
1
÷
ç
;
÷
ç
p
p
1
2
ø
è
n
ö
æ
p
p
æ
T
1
ç
=
ç
T
2
è
1
1
-
n
ö
p
1
÷
÷
p
2
ø
p
1
u
=
p
2
n
1n
-
ö
æ
T
1
÷
ç
÷
ç
T
2
ø
è
Полученные выражения могут быть использованы для определения неизвестного параметра либо для вычисления показателя n.
5. Определение изменения величин u, i, S.
Используя выражения, выведенные в п. 2.6 для определения
энергетических параметров, получим формулы их изменения в
процессах:
dTCdU
– для изменения внутренней энергии в процессе
×=
V
интегрируя, получим:
);TT(Cuu
– для изменения энтальпии в процессе
-×=-
(2.77)
12V12
dTCdi
интегри-
p
руя, будем иметь:
)TT(Cii
-×=-
; (2.78)
12p12
,
– для изменения энтропии в процессе
что
dTCdq
, по итогам интегрирования получим:
12
T
2
lnCSS ×=-
. (2.79)
T
1
T/dqdS =
с учетом,
Заменяя отношение температур отношением других параметров, можно выразить ∆S
через изменение других параметров.
1–2
6. Определение количества тепла в процессе.
Из выражения dq=С·dТ в результате интегрирования получим:
-
C)TT(Cq
kn
×=-×=
1n
-
-×
12V1221
)TT(
. (2.80)
7. Определение количества работы в политропном процессе.
Из выражения dl=p·dυ, интегрируя в пределах от 1 до 2, получим:
u
2
,dpl
×=
u
ò
21
-
u
1
75
где
(
)
)(fpu=
.
Выразим функцию давления p=f(υ) из уравнения политропного
процесса в p – υ-диаграмме:
ppp
n
uuu
×=×=× .
22
n
n
11
Откуда давление будет равно:
1
n
pp
u
11
u
n
p
u
1
n
××=××=
. (2.81)
22
n
u
Подставляя в подинтегральное выражение полученное значение
р, будем иметь:
u
2
nn
ò
-
1121
u
1
pdpl
1
n
××=××=
11
n1
-
n1
( )
2
n1
---
-×
uuuuuu
.(2.82)
1
Преобразуем полученное выражение с целью упрощения:
l
-
=
1
=
1n
-
1
( )
1
1n
-
1
1121
pp
n1
n
uu
×-××
2
pp
1
2
n1
n
--
uuuu
22
=××-×××
2
. (2.83)
Используя уравнение состояния идеального газа, получим:
ö
æ
R
( )
l
=
-
1n
-
TT
2121
TR
×
=-×
-
T
21
÷
ç
1
ç
1n
è
=
-
÷
T
1
ø
æ
p
×
u
1
1
ç
ç
1n
-
è
ö
T
2
÷
1
-
T
1
д. т.и
÷
ø
(2.84)
Исследование частных случаев политропного процесса
Исследование выполняется на основе уравнений общего, политропного процесса в следующей последовательности:
– на основе общей характеристики процесса для данного частного случая определяется значение величины теплоемкости процесса;
– по величине теплоемкости процесса вычисляется значение показателя политропы, соответствующее данному частному случаю;
– подставляя полученные значения теплоемкости и показателя
политропы в уравнения общего термодинамического процесса, получим все необходимые уравнения, характеризующие данный термодинамический процесс, как частный случай общего процесса;
– по полученным уравнениям этих процессов в диаграммах p –
υ и T – S наносятся линии процессов в указанных диаграммах. Для
76
большей наглядности p – υ и T – S-диаграммы, где на концах ли-
±¥
=
±¥
=
±¥
=
±¥
=
1
n
±¥
=
ний процессов указывается соответствующее значение показателя
политропы, в одинаковых процессах обозначены: процесс с подводом тепла (1–2); процесс с отводом тепла (1–2/ ).
Графический анализ термодинамических процессов представлен на рисунке 2.6.
1. Исследование изохорного процесса.
Условие протекания изохорного процесса υ=const, откуда следует, что C=CV.
CC
-
Подставляя значение теплоемкости в уравнение
чим
n .
Подставляя полученные значения
n
и C = CV в уравнение
n
= , полу-
p
CC
-
V
общего процесса, получим:
– уравнение изохорного процесса в диаграмме р – υ из р · υn =
const, или p
1/n
· υ = const, что при
n дает выражение υ = const;
– уравнение изохорного процесса в диаграмме T – S из S = C ·
lnT+A, что при C = CV дает выражение S = CV · lnT+A;
– соотношение параметров в изохорном процессе при
n
С = СV и υ1= υ2:
p
T
1
1
= (закон Шарля); (2.85)
p
T
2
2
);TT(Cuu
-×=-
12V12
);TT(Cii
-×=-
T
2
lnCSS ×=- ; (2.86)
V12
T
1
12p12
– работа и тепло в изохорном процессе из уравнения q=C·(T2–T1)
при C=CV определяются по уравнению:
Из уравнения )pp(
l
1
= при
-
uu)TT(Cq -=-×=
. (2.87)
1212VV
uu
×-××
2211
имеем lV=0.
n
;
77
Рис. 2.6. Графический анализ термодинамических процессов
Линия процесса (изохора) прямая, параллельная оси p в диаграмме p– υ и логарифмическая кривая в диаграмме T – S.
2. Исследование изобарного процесса.
Условие протекания изобарного процесса p=const, откуда следует, что C=Cp.
Подставляя значение теплоемкости в зависимость для n, получим n=0.
Подставляя значения n=0 и C=Cp в уравнение общего процесса,
получим:
– уравнение изобарного процесса в диаграмме p – υ из
p·υn=const, при n=0 имеем p=const;
– уравнение изобарного процесса в диаграмме T – S, из
S=C·lnT+A, при C=Cp имеем S=Cp·lnT+A;
– соотношение параметров в изобарном процессе при n=0;
C=Cp; p1=p2=p):
T
u
1
1
=
T
2
(закон Гей-Люссака);(2.88)
u
2
);TT(Cuu
-×=-
12V12
);TT(Cii
-×=-
T
2
lnCSS =- ; (2.89)
p12
T
1
12p12
78
– работа и тепло в изобарном процессе:
1
-=-×=
±¥
=
±¥
=
const
×±¥=±¥=
-
;ii)TT(Cq
1212pp
1
l
=
uuuu
-
-×=-×=×-×
. (2.90)
)TT(R)(p)pp(
121221p
Линия процесса (изобара) – прямая, параллельная оси υ в диаграмме p – υ и логарифмическая кривая, проходящая менее круто,
чем изохора, в диаграмме T – S.
3. Исследование изотермического процесса.
Условия протекания изотермического процесса T = const, откуда следует, что dT=0 и ±¥==
dq
C .
dT
Подставляя значение теплоемкости в уравнение показателя политропы:
C
p
1
n
=
-
-
CC
CC
p
V
=
1
-
-
C
, (2.91)
C
V
C
получим п=1.
Подставляя значения п=1 и
C
в уравнение общего про-
цесса, получим:
– уравнение изотермического процесса в диаграмме р – υ из
условия, что р·υп=const и n=1 представляет собой симметричную
гиперболу:
...ppconstp
=×=×==×
uuu
; (2.92)
2211
– уравнение изотермического процесса в диаграмме T – S из
условия, что S=C·lnT+A и S/C=lnT+A при
C
представляет
собой горизонтальную прямую, параллельную оси S
(
T,ATln;0ATln ===+
);
– соотношение параметров в изотермическом процессе
TTT;C;1nпри
==±¥==
:
21
p
u
2
0UU
12
1
= (закон Бойля-Мариотта); (2.93)
p
u
1
2
0ii
12
=- ;
=-
; (2.94)
12
01ln;SS
– это неопределенность, требующая
вывода нового уравнения для разности S2–S1 в изотермическом
процессе;
79
– работа и тепло в изотермическом процессе:
×±¥=
T
0q
T
– это неопределенность, требующая вывода нового
уравнения для вычисления количества тепла qT в изотермическом
процессе;
0
1
l
0
T
=×= – это неопределенность, требующая вывода нового
0
0
уравнения для вычисления количества работы в изотермическом
процессе.
Вывод нового уравнения работы в изотермическом процессе
выполняем исходя из общего выражения dl=p·dυ, следовательно:
u
2
×=×=
dpludpdl
ò
TT
uu
u
1
. (2.95)
Из уравнения изотермы в диаграмме p – υ имеем:
u
pp×
= . (2.96)
11
u
Подставляя последнее выражение p в подинтегральное выражение, получим:
u
2
d
pl
u
u
ò
u
u
1
u
2
u
1
uuu
u
2
lnp|lnp
××=××=×=
111111T
. (2.97)
u
1
Используя уравнение состояния и уравнение соотношения параметров, получим различные виды уравнения работы в изотермическом процессе:
u
u
2
11T
u
1
u
2
u
1
p
1
lnTRlnTRlnpl
...
=××=××=××=
p
2
. (2.98)
Из уравнения первого закона термодинамики для изотермического процесса следует, что qT=u2–u1+lT , но т. к. u2–u1=0, следовательно:
u
u
2
11TT
u
1
p
1
lnTRlnplq
...
=××=××==
p
. (2.99)
2
Из выражения дифференциала энтропии для условий изотермического процесса (T=const) следует:
– если
dS ==
dq
,TdSdqи
то при T=const, интегрируя,
имеем:
80
S
...
-
2
)SS(TdSTq
T
ò
S
1
-×=×=
, (2.100)
12
откуда
p
q
SS
12
T
×
uu
==-
T
211T
u
1
u
2
u
1
p
1
lnRlnRln
=×=×=×
p
.(2.101)
2
Кривая процесса (изотерма) представляет собой равнобокую
гиперболу в диаграммме р – υ и прямая, параллельная оси S , в
диаграмме T – S.
4. Исследование адиабатного процесса.
Условие протекания процесса dq=0, т. е. тепло не подводится и
не отводится, откуда следует, что C=dq/dt=0. Подставляя значение
CC
p
теплоемкости в уравнение
C
p
n
k
==
C
,
V
n
=
CC
-
,
получим:
V
где k – показатель адиабаты, который имеет значение от 1,3 до 1,6.
C
Подставляя значения
p
kn == и C=0 в уравнение общего
C
V
процесса, получим:
– уравнение адиабатного процесса в диаграмме p – υ, которое
из условия p·υп=const и при n=k имеет вид несимметричной гиперболы p·υk=const;
– уравнение адиабатного процесса в диаграмме T – S, которое
из условия S=C·lnT+A и при С=0 представляет собой вертикальную прямую S=A=const), т. е. адиабатный процесс – это одновременно и изоэнтропийный процесс;
– соотношение параметров в адиабатном (изоэнтропийном)
процессе при n=k; C=0 и S1=S2:
1
1
--
k
ö
æ
p
1
÷
ç
ç
p
è
;
÷
2
ø
(2.102)
k
ö
æ
p
u
2
1
p
2
÷
ç
=
;
÷
ç
u
1
ø
è
æ
T
1
ç
=
ç
T
2
è
k1
ö
u
1
÷
÷
u
2
ø
T
1
;
=
T
2
);TT(Cuu
-×=-
12V12
);TT(Cii
-×=-
12p12
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]