Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные проблемы теплогазоснабжения населенных мест и предприятий. Учебное пособие (курс лекций)
.pdf
11
Опыты, поставленные по такому плану, называют полным
факторным экспериментом на двух уровнях для двух факторов
(п.ф.э. 22).
При проведении опытов по схеме полно-факторного эксперимента расчет коэффициентов уравнения (1.1) методом наименьших
квадратов резко упрощается. Причем из этих опытов можно найти
коэффициенты не только линейного уравнения, но и уравнения,
содержащего ещё один член:
Y=b0+b1·x1+b2 ·x2+b12·x1·х2. (1.4)
В теории планирования эксперимента члены уравнения, содержащие произведения факторов, называют взаимодействиями.
Важность учета взаимодействий заключается в том, что они показывают, насколько изменение одного фактора влияет на величину
другого.
Расчет коэффициентов ведется следующим образом. К матрице
плана первого порядка добавляют вспомогательные столбцы:
– столбец некоторого фиктивного фактора x0, который во всех
опытах имеет значение +1;
– столбец, в каждой строчке которого будет стоять произведение x1×x2 (очевидно, что эти произведения во всех опытах также
примут значения +1 либо –1);
– столбец значений функции отклика Y (результатов опытов
испытаний).
Номера строк (опытов) обозначают через i, а номера столбцов
(переменных факторов) через j.
В результате получим дополнительную расширенную матрицу
плана, представленную в таблице 1.2.
Таблица 1.2
Расширенная матрица плана первого порядка
Номер
опыта, Ni
1 +1 +1 +1 +1 Y1
2 +1 +1 –1 –1 Y2
3 +1 –1 +1 –1 Y3
4 +1 –1 –1 +1 Y4
Кодированное значение j-го фактора
х0 х1 х2
х
1
Численные зна-
чения функции
×
х2
отклика, Yi
12
Коэффициенты уравнения регрессии рассчитываются по
(
)
4
формуле:
N
yx
×
1i
=
iji
, (1.5)
n
24
×
S
в
=
j
где n – количество независимых факторов х1; х2.
Применительно к рассматриваемой двухфакторной зависимости (n=2) расчетные уравнения могут быть представлены в виде:
в
=
0
в
=
1
в
=
2
yxyxyxyx
×+×+×+×
=
4
yxyxyxyx
×+×+×+×
4
4
в
=
12
=
yxyxyxyx
×+×+×+×
=
yyyy
+--
4
-+-
4
4321
. (1.9)
yyyy
+++
4
yyyy
--+
4321414313212111
yyyy
4321424323222121
; (1.8)
4321404303202101
; (1.6)
; (1.7)
Планы второго порядка
Для повышения точности описания процесса широко используются полиномы второй степени, то есть нелинейные уравнения
регрессии.
Рассмотрим технику построения матрицы и расчета коэффициентов регрессии некомпозиционных планов второго порядка.
Обязательное условие составления плана – варьирование каждого из факторов на трех уровнях: верхний (+1), нижний (–1) и
центр плана (0).
Матрица некомпозиционного плана эксперимента второго порядка для трех независимых факторов представлена в таблице 1.3.
13
Таблица 1.3
Матрица некомпозиционного плана второго порядка
Но-
X
X
X
мер
0
1
X
2
3
XX ×
21
XX ×
31
опыта
1 +1 +1 +1 0 +1 0 0 +1 +1 0 1,76
2 +1 +1 -1 0 -1 0 0 +1 +1 0 4,30
3 +1 -1 +1 0 -1 0 0 +1 +1 0 0,41
4 +1 -1 -1 0 +1 0 0 +1 +1 0 2,68
5 +1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,90
6 +1 +1 0 +1 0 +1 0 +1 0 0 2,10
7 +1 +1 0 -1 0 -1 0 +1 0 +1 3,26
8 +1 -1 0 +1 0 -1 0 +1 0 +1 0,56
9 +1 -1 0 -1 0 +1 0 +1 0 +1 1,78
10 +1 0 0 0 0 0 0 +1 +1 0 2,09
11 +1 0 +1 +1 0 0 61 0 +1 +1 0,80
12 +1 0 +1 -1 0 0 -1 0 +1 +1 1,71
13 +1 0 -1 +1 0 0 -1 0 +1 +1 2,68
14 +1 0 -1 -1 0 0 +1 0 +1 +1 4,68
15 +1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,99
2
2
XX ×
X
32
X
1
2
Y
X
2
3
Уравнение регрессии второго порядка имеет вид:
xхbxbxbxbby
+××+×+×+×+=
2
11132233113
21123322110
2
222
. (1.10)
2
xbxbxbxxbxxb
×+×+×+××+××+
3
33
Коэффициенты уравнения регрессии могут быть определены с
помощью метода наименьших квадратов.
В технике планирования эксперимента в настоящее время широко применяют формулы расчёта коэффициентов уравнения, полученные Боксом и Бенкиным. Эти формулы применены для трёх,
четырёх, пяти и семи факторов. В формулах использованы следующие обозначения:
– you – значение функции отклика в u-м опыте центра плана;
– u– номер параллельного опыта в центре плана;
– i – номер опыта в матрице планирования;
– j, l – номер факторов;
– Xji, Xli – кодированные значения j-го и l-го факторов;
– N – число опытов в матрице планирования;
– yi – значение функции отклика в i-ом опыте.
i
14
– m – число опытов в центре плана;
8
12
8
12
16
16
8
– n – число факторов.
m
1
×=
å
n
N
å
=
i
N
å
=
i
njN
i
y
on
=
1
; (1.11)
×××=
yXAb
1
1
ijij
; (1.12)
×××=
yXXDb
ilijiji
; (1.13)
2
yXCyXBb
1
-×+××=
iji
åååå
×
mp
n
m
== ==
y
11 1
on
. (1.14)
i
b
0
m
N
2
1
ijijj
Значения коэффициентов А, В, С, D, p приведены в таблице 1.4.
Таблица 1.4
Значения констант для расчета коэффициентов
регрессии и их дисперсий
Число
факторов
3
4
5
7
А В
1
1
1
16
1
24
1
4
1
1
1
В
13
48
11
96
54
1
*
3
4
С D р
1
-
16
1
-
48
1
-
96
1
-
144
1
4
1
4
1
4
1
2
2
2
3
*B1 – константа, зависящая от числа факторов.
1.2.3. Выбор определяющих факторов
При выборе определяющих факторов существуют общие подходы по ограничению их числа. К таким научным приемам отно-
15
сят априорное ранжирование факторов и методику экспериментального их отсеивания.
При решении современных технологических задач часто возникают ситуации, при которых параметр оптимизации (целевая
функция) зависит от множества факторов. Известно, что число
факторов определяет количество опытов многофакторного эксперимента. Каждый дополнительный фактор, включённый в программу исследований, приводит к значительному увеличению
объёма экспериментальной работы. Например, при проведении
полнофакторного эксперимента типа 2n увеличение числа факторов на единицу ведёт за собой удвоение числа опытов:
– при n=5; N=25=32 опыта;
– при n=6; N=26=64 опыта.
Очевидно, что для сокращения объёма экспериментальной части желательно иметь как можно меньшее число исследуемых факторов.
Однако надо помнить и о том, что эксперименты могут потерять всякий смысл при исключении из программы исследований
хотя бы одного фактора, оказывающего существенное влияние на
целевую функцию. То есть сокращать программу экспериментов
можно только за счёт исключения несущественных факторов. Для
исключения или отсеивания факторов, не оказывающих существенного влияния на целевую функцию, необходимо заранее знать,
какие факторы процесса и их взаимодействия являются наиболее
значительными.
На первых этапах изучения процесса при отсутствии данных о
значимости факторов рекомендуется включать в программу предварительных исследований все факторы, которые могут оказать
влияние на функцию оптимизации. Теория планирования эксперимента располагает способами, позволяющими выделять существенные факторы из общего числа факторов системы.
Априорное ранжирование факторов
Существуют способы экспериментального отсеивания, предусматривающие проведение серии опытов и выбор значимых факторов по результатам этих опытов. Однако, учитывая, что даже
небольшое сокращение числа факторов значительно сокращает
объём последующей экспериментальной работы, для отсеивания
16
факторов следует использовать априорную информацию (литературные данные, результаты опроса специалистов и т. д.).
На основе априорной информации производят априорное ранжирование факторов, которое позволяет выделить наиболее значимые факторы и отсеять факторы, оказывающие несущественное
влияние на целевую функцию. Априорное ранжирование факторов
проводят в следующем порядке.
1. На основании литературных данных составляют перечень
факторов, оказывающих влияние на исследуемый процесс, и устанавливают область изменения каждого из них.
2. Предлагают специалистам, работающим в данной области,
расположить факторы в ряд по степени влияния их на целевую
функцию. При этом каждый специалист может дополнить список,
если он, по его мнению, является не полным. При подборе специалистов стремятся, чтобы среди них были представители возможно
большего числа научных школ. Результаты опроса представляют в
виде матрицы рангов.
Рассмотрим характерный пример. Пусть четырем специалистам
было предложено проранжировать восемь факторов
),........,(
ххх
821
. Первый специалист расположил факторы по
степени их влияния на целевую функцию в следующем порядке:
,,,,,, ххххххх
8413765
. В такой последовательности фактору x5
присваивается ранг 1, фактору x65 – ранг 2 и т. д. Результаты опроса специалистов представлены в виде таблицы 1.5.
Таблица 1.5
Матрица рангов по четырем исследователям для восьми факторов
Ранги по факторам (xj)
Исследовали 1 < i < N
1
2
3
4
х1 х
2 х3 х4 х5 х6 х7 х8
6
5
4
7
1
7
8
6
4
2
4
5
8
7
1
6
8
7
5
1
2
1
3
2
3
3
2
4
8
5
6
3
Сумма рангов
å
=N1i
a
ji
23 26 25 23 5 8 12 22
Отклонение Δj суммы 5 8 7 5 -13 -10 - 6 4
17
рангов j-го фактора от
средней суммы рангов
Квадраты отклонений
2
D
25 64 49 25 169 100 36 16
j
Обработку результатов опроса проводят следующим образом.
Для каждого фактора находят суму рангов
a , где N – число оп-
å
ji
=N1i
рошенных специалистов; aji – ранг j-го фактора, присвоенный i-м
исследователем.
Вычисляют отклонение D суммы рангов от средней суммы ран-
гов для каждого из факторов:
где
D
– отклонение суммы рангов j-го фактора от средней суммы
j
N
D
å åå
= ==
1
-=
a
jij
1i
n
N
n
a
, (1.15)
ji
1i
1j
рангов; n – число факторов;
n
1
n
го примера равна:
a
åå
– средняя сумма рангов, которая для рассматриваемо-
ji
==N1i
1j
1
8
Определив значения
18)22128523252623(
=+++++++
.
D
для каждого из факторов, оценивают со-
j
гласованность мнений опрошенных специалистов. Для этого вводится коэффициент координации мнений W, который определяется
по формуле:
S12
где
W
S
=
=
´
, (1.16)
32
)nn(N
-
n
2
D
å
. (1.17)
j
=
1j
В рассматриваемом примере коэффициент координации мне-
ний будет равен:
)163610016925496425(12
W
=
32
)88(4
-´
+++++++´
72,0
=
.
18
Значимость коэффициента координации мнений W устанавли-
=-=-=
вают с помощью
2
c
-критерия. Если
2
расч
2
cc
³
, то мнения спе-
табл
циалистов согласуются.
S12)1n(N
2
c
расч
W)1n(N
=-=
´-
22
=
)1n(nN
-
S12)1n(
´-
=
)1n)(1n(Nn
+-
S12
+
.
Для рассматриваемого случая будем иметь:
48412
2
=
c
расч
2
c
расч
Для выбора табличного значения критерия
число степеней свободы:
Из таблицы значений
вательно,
2
cc
> , и мнения специалистов согласуются. Убе-
расч
2
табл
c
´
)18(84
+´´
2
-критерия имеем
2,20
=
.
2,2072,0)18(4W)1n(N
=´-´=-=
2
c
табл
7181nf
.
2
c
табл
.
определяется
1,14
=
, следо-
дившись в согласованности мнений специалистов, можно построить диаграмму рангов, которая представлена на рисунке 1.3.
)1n(Nn
Рис. 1.3. Диаграмма рангов согласованности мнений специалистов
19
Степень влияния фактора на исследуемую величину оценивает-
16
ся по величине суммы рангов; чем меньше сумма рангов фактора,
тем большее влияние он оказывает на исследуемую величину.
Методики экспериментального отсеивания факторов
Существуют методики экспериментального отсеивания факто-
ров с помощью насыщенных и сверхнасыщенных планов.
Насыщенные планы
Насыщенным называют план, в котором количество опытов
равно числу коэффициентов уравнения регрессии, оцениваемых по
результатам этих опытов. В число коэффициентов входит и свободный член уравнения. Насыщенные планы можно строить в виде дробных реплик (2
римента) первого порядка. Так, например:
– при n = 3 (полуреплика 2
– при n = 7 (
n-k
1
реплика 2
) от планов ПФЭ (полнофакторного экспе-
3–1
);
7–4
);
– при n = 15 (
1
2048
реплика 2
15–11
).
Насыщенными планами являются также специальные ортогональные планы, предложенные Плаккетом и Берманом. Количество опытов в этих планах кратно 4. Элементами планов служат
опыты на двух уровнях (+1 и –1). Комбинаторика знаков для построения насыщенных планов представлена в таблице 1.6.
Таблица 1.6
Комбинаторика знаков для построения
насыщенных планов при n = 11, 19, 23 и 35
Число
факторов, n
Число
опытов, n
Комбинации знаков первого фактора
11 12 + + – + + + – – – + –
19 20 + + – – + + + + – + – + – – – – + + –
23 24 + + + + + – + – + + + + + + – – + – + – – – –
35 36 – + – + + + – – – + + + + + – + + + – – + – –
– – + – + – + + – – + –
20
Методику составления плана Плаккета и Бермана рассмотрим
на примере построения насыщенного плана для одиннадцати факторов. Такой план состоит из 12 опытов. Элементами последней
строки, определяющими условия проведения двенадцатого опыта,
является знак минус. Комбинации уровней факторов для остальных опытов находят следующим образом.
В качестве элементов первого столбца принимают комбинацию
знаков, указанную в первой строке таблицы. Второй столбец получают из первого, поставив в него последний элемент на первое место и сдвинув вниз все остальные элементы.
Аналогичным образом определяют содержание всех остальных
столбцов. В результате такого построения получают матрицу
11´11, дополненную строкой двенадцатого опыта. Вычисление коэффициентов линейного уравнения регрессии и оценку их статической значимости производят по формулам ортогональных планов первого порядка.
Значимость коэффициентов проверяют по t-критерию Стьюдента.
Насыщенные планы не позволяют проверить адекватность линейной модели с помощью F-критерия Фишера, так как число степеней свободы равно нулю:
/
)1m(kNf
--=
, (1.18)
где N – число опытов; k/ – число коэффициентов уравнения регрессии; (m–1) – опыты в центре плана равны нулю.
Матрица наименьшего ортогонального плана представлена в
таблице 1.7.
Таблица 1.7
Матрица наименьшего ортогонального плана для n=11
Номер
опыта
х1 х
х
2
х
3
4
Факторы
х
х
5
6 х7
х
х
8
9 х10 х11
1 + – + – – – + + + – +
2 + + – + – – – + + + –
3 – + + – + – – – + + +
4 + – + + – + – – – + +
5 + + – + + – + – – – +
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]