Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Современные проблемы теплогазоснабжения населенных мест и предприятий. Учебное пособие (курс лекций)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 203 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

6 + + + – + + – + – – – 7 – + + + – + + – + – – 8 – – + + + – + + – + –

9 – – – + + + – + + – + 10 + – – – + + + – + + – 11 – + – – – + + + – + + 12 – – – – – – – – – – –

Сверхнасыщенные планы

Планы данного типа применяют в тех случаях, когда фактически значимых эффектов значительно меньше общего их теоретического числа. Под термином «эффект» понимается влияние отдельного (j-го) фактора и парного взаимодействия 2-х факторов.

Сверхнасыщенным является план, в котором число опытов меньше числа оцениваемых эффектов. Используя эти планы, нельзя дать качественную оценку влияния всех факторов и их взаимодействий на изучаемую величину. Однако основная цель постановки отсеивающих экспериментов заключается не в количественной оценке влияния факторов и их взаимодействий на изучаемую величину, а в выделении значимых эффектов из их общего числа.

Сущность и основное достоинство методик предварительного экспериментального отсеивания факторов состоит в том, что в результате небольшого числа опытов удаётся отсеять группу (ряд) незначимых факторов, которые в противном случае (попав в общую матрицу планирования основной рабочей серии опытов) вызвали бы лавину дополнительных опытов:

)1m(n22N

-++=

. (1.19)

В итоге мы бы их всё равно отсеяли, но гораздо более дорогой ценой. Отрицательную роль несущественных факторов можно сравнить с вирусной инфекцией, которую гораздо выгоднее погасить в зародыше. В качестве матрицы сверхнасыщенного плана используют случайные выборки из систематических дробных реплик.

Число опытов в матрице планирования принимают таким, чтобы оно оказалось не меньше числа ожидаемых значимых эффектов. Обычно число опытов в матрице принимают кратным 8 и превышающим (n+1), где n – число факторов.

Например, в задаче с десятью факторами требуется выделить значимые эффекты из числа 55 потенциально возможных (10 линейных эффектов от каждого фактора и 45 эффектов парных взаимодействий).

Предполагается провести 16 опытов. Для построения матрицы планирования факторы разбиваются на две группы по пять факторов в каждой. Для первой группы факторов в качестве матрицы планирования используем полуреплику

Матрицу планирования для остальных пяти факторов

)ххххх1(2

´´´´=

54321

х......х

106

получаем случайным выбором строк из той же полуреплики (матрицы

хх ¸ ).

Результаты проведенной выборки представляем в виде таблицы 1.8.

Таблица 1.8

Полуреплика 2

5–1

(

)ххххх1

´´´´=

54321

опыта

Факторы Факторы Номер

х1 х2 х3 х4 х

Номер

опыта

х1 х2 х3 х4 х

1 + + + + + 9 + + + – –

2 – + + + – 10 – + + – +

3 + – + + – 11 + – + – +

4 – – + + + 12 – – + – –

5 + + – + – 13 + + – – +

6 – + – + + 14 – + – – –

7 + – – + + 15 + – – – –

8 – – – + – 16 – – – – +

1.2.4. Принципы переноса результатов научных

лабораторных исследований на промышленные условия

В современном мире усложняющейся техники ее дальнейшее совершенствование невозможно без экспериментальных исследований, подтверждающих те или иные теоретические разработки и научные положения.

Физические модели – это реальные лабораторные стенды, которыми в ходе эксперимента заменяют оригинал. Но после завершения серии экспериментов необходимо по определенным методикам и правилам перенести полученные результаты на промышленные условия. Эти задачи успешно решаются с помощью теории подобия.

Подобие – это условие, при котором возможен количественный перенос результатов опыта с модели на оригинал. Более того, подобие модели и оригинала дает нам правило такого переноса.

По первой теории подобия одноименные критерии подобия в сходственных точках подобных объектов (модели и оригинал) равны, то есть количественный перенос сводится к тривиальному приравниванию критериев подобия.

Таким образом, при моделировании на основе метода подобия критерии подобия играют двоякую роль:

– во-первых, на основе этих критериев определяют, какой должна быть модель, чтобы обеспечить условия моделирования;

– во-вторых, значения этих критериев и есть та количественная мера, которая переносится с модели на оригинал.

Рассмотрим характерный пример: канал оригинал и модели.

Рис. 1.4. Сравнительная схема оригинала

и модели: 1, 2 – сходственные точки

Необходимо найти распределение скоростей жидкости в гори-

зонтальном канале сложной формы и скорости в разных его точках, например, для предсказания возможности отложения осадков.

Прежде чем строить канал, необходимо знать это распределение, и если оно окажется неудачным, то форму канала потребуется изменить. С этой целью распределение изучают на модели.

Каковы должны быть форма и размеры модели канала?

Форма модели определяется условиями геометрического подобия, а размеры – соображениями целесообразности: большая модель дорога, а на маленькой резко возрастает роль мелких погрешностей и побочных факторов.

Какова должна быть скорость жидкости в модели?

В данном случае подобие определяется критерием Рейнольдса:

орор

где w – средняя скорость в канале.

Удобно использовать на модели ту же жидкость, что и в оригинале (особенно, если это вода). Тогда

модмодорор

ор

мод

×=×

модмод

, (1.20)

ор

, следовательно:

мод

; (1.21)

мод

Получили, что скорость воды в модели должна быть обратно пропорциональна ее размеру: чем меньше модель, тем больше скорость. Если условие (1.22) соблюдено, то распределение скоростей в модели подобно их распределению в оригинале, и значения критерия Рейнольдса в сходственных точках равны.

В рассмотренном примере сравнение модели и объекта осуществлялось по одному критерию. В случаях, когда сравнение проводят по двум и более критериям, построить модель оказывается крайне трудно.

Например, в ходе анализа критериев может выясниться обстоятельство, что для моделирования ускорения надо создать 1000·gор – величину, далеко превышающую технические возможности. Другим вариантом нереальной задачи может служить вывод о необходимости развития скорости объекта до 1000 м/с [1].

ор

. (1.22)

мод

Метод аналогии и его использование при моделировании

Аналогичными называются объекты и процессы, описываемые аналогичными уравнениями.

Уравнения аналогичны, если они содержат разные физические величины, но все операторы (знаки алгебраических действий, символы функции, символы дифференцирования и интегрирования и т. д.) в них совпадают и следуют в одном и том же порядке.

В математике мы по существу не имеем дела с физическими величинами, а оперируем лишь символами их обозначающими. Поэтому аналогичность уравнений, описывающих различные физические объекты, приводит к одинаковому распределению численных значений этих величин в пространстве и времени, хотя эти значения отображают разные физические величины [1].

Процесс Прохождение Тепловой

фильтрации электрического тока поток

Закон Закон Закон

Дарси-Вейсбаха Ома Ньютона – Рихмана

Pqrad

, м/с

.фильтр

i -=

uqrad

, а

.эл

q -=

tqrad

, Вт/м∙К

.терм

Рассмотрим пример. Необходимо исследовать процесс неста- ционарного распространения тепла вдоль длинного стержня (температура стержня меняется и по длине, и по времени).

Распределение температуры по длине в условиях нестационарного процесса описывается уравнением Фурье:

×=

, (1.23)

где

– время; l – длина; Т – температура.

, м2/с – коэффициент температуропроводности;

Уравнение, описывающее нестационарную электропроводность проводника, обладающего сопротивлением (R) и емкостью (С), имеет вид:

Аналогичность уравнений (1.4) и (1.5) очевидна, следовательно, тепловой оригинал можно моделировать электрической моделью.

Критерий подобия для оригинала – число Фурье:

. (1.24)

Соответствующий критерий для модели:

Условие подобия – это равенство критериев:

ор

Если оригинал не очень велик, то может оказаться удобным сделать модель приблизительно в натуральную величину.

Тогда

ор

мод

орор

. (1.25)

. (1.26)

××

мод

××

мод

СR

мод

. (1.27)

ll ××

модмодмод

=×

орор

мод

ор

или

Для общеупотребительных значений а, R, С их произведение составляет величину порядка 10-5÷10-9.

Следовательно, предложенная электрическая модель чрезвычайно удобна, так как многократно сокращает время проведения исследования.

мод

СRа×

(1.28)

модмод

СRа ××=

модмодор

. (1.29)

Моделирование с помощью ЭВМ

Применение аналогии расширяет возможности моделирования, но не снимает трудностей, связанных с обеспечением подобия физической модели и оригинала. Аналоговую модель оригинала большой сложности построить не удается.

Преодолеть эти препятствия и разработать методы моделирования сложных тепло-массообменных процессов возможно, если при исследовании отказаться не только от физической идентичности модели и оригинала, но и от их подобия во времени и пространстве. Но тогда возникают вопросы: как строить модель? Будет ли это модель вообще? Что ее будет объединять с оригиналом?

Обратимся к сформулированным выше требованиям, предъявляемым к процессу моделирования: это экономичность и возможность переноса данных с модели на оригинал, что подтверждается или отвергается практикой.

Для практической технологии совершенно безразлично, с помощью каких технических средств реализуются эти требования. Более того, если можно решить задачу «в уме», не прибегая к моделированию, тем лучше.

В достаточно простых случаях расчетный метод, несомненно, предпочтительнее моделирования, потому что дешевле сосчитать, чем строить модель и экспериментировать. Например, для испытания противоударного устройства наручных часов, необходимо узнать: какую скорость будут иметь часы, бросаемые с различной высоты? Для этого достаточно воспользоваться уравнением свободного падения Ньютона:

В данном случае есть математическая модель, но нет процесса моделирования. Это не будет моделированием, так как моделирование это экспериментальный метод, связанный с работой модели, а при решении уравнения (1.30) эксперимент отсутствовал.

По мере развития науки и совершенствования технологических процессов усложняются и математические модели. Часто складывается такая ситуация, когда математическая модель есть, но решить это сложнее уравнение или систему уравнений человеку крайне сложно. Например, прочностные модели в авиастроении в 50–60-е годы описывались системами из 8÷10 дифференциальных уравнений, для решения которых требовалось более месяца.

Hg2 ××=

. (1.30)

В середине ХХ века число не решаемых задач возрастало лавинообразно. Создавалось критическое положение, когда огромный потенциал, накопленный наукой и практикой, невозможно было использовать. Выход из этого кризиса, как известно, был найден с появлением быстродействующих вычислительных машин.

Рассмотрим процедуру решения технологической задачи:

а) расчетным путем;

б) на основе моделирования.

В первом случае главная часть работы проводится в уме (бумага и калькулятор играют лишь вспомогательную роль): выбирается физический подход, метод решения, подбираются системы уравнений и т. д.

Во втором случае решение получают, включая в работу некоторое техническое устройство (стенд) – материальную модель, созданную на основе мысленной модели процесса. ЭВМ осуществляет перебор функций, систем уравнений в поисках оптимального описания. Результаты работы этого устройства позволяют получить решение. С одной стороны, это не физический эксперимент, а расчет. Но в то же время для нас не важно, как работает та или иная установка. Важнее, кто или что работает – приходится ли всю задачу решать человеку, или значительная часть работы переложена на техническое устройство (модель или ЭВМ).

В этом смысле применение ЭВМ имеет существенное сходство с моделированием: здесь мы на основе мысленной модели процесса – его математического описания – формулируем некоторую установку для ЭВМ, то есть, вводим в нее программу. Результатом работы этой программы является итоговое решение.

1.2.5. Проведение научных исследований

в условиях промышленного производства

При проведении научных исследований в условиях промышленного производства наибольшее распространение получили методы адаптационной оптимизации.

Оптимизация процессов в производственных условиях имеет ряд особенностей, которые обусловлены следующими причинами.

1. В условиях действующего производства экстремальные задачи оптимизации приходится решать при непрекращающемся выпуске продукции.

2. В условиях действующего производства не представляется

возможным варьировать факторы в широких интервалах, так как на области изменения факторов налагаются ограничения, связанные с риском получения бракованной продукции.

3. В производственных условиях большую роль могут играть неконтролируемые переменные, изменение которых приводит к смещению (дрейфу) оптимума функции по отношению к контролируемым переменным. Так, например, в условиях массового производства станки поточных линий работают в оптимальных режимах по контролируемым параметрам (скорость, подача, глубина резания и т. д.), обеспечивающих минимальный процентный выход бракованной продукции.

Однако резкое повышение температуры наружного воздуха и относительной влажности летом или соответствующее их понижение зимой могут

вызвать резкое увеличение выхода бракованной продукции.

4. В условиях действующего производства дисперсия воспроизводимости эксперимента значительно меньше дисперсии воспроизводимости лабораторного опыта.

В 1962 г. Спиндлей, Хетд и Химсуорз предложили метод адаптационной оптимизации процессов. Этот метод планирования построен таким образом, что все решения в ходе экспериментирования принимаются на основании определённых правил, то есть они как бы заранее регламентируются.

Формализация стратегии поиска оптимума позволяет использовать для управления технологическим процессом управляющие ЭВМ или персонал невысокой квалификации. Применение машин позволяет полностью автоматизировать процесс управления. Линия с числовым программным управлением может работать как саморегулирующаяся система.

В поисках технологического оптимума очень часто используют шаговый метод, который предусматривает выполнение следующих этапов работ:

а) изучение некоторой области поверхности отклика с целью определения направления движения к оптимуму;

б) движение к оптимуму по установленному направлению.

Классическим примером реализации такой методологии поиска является метод крутого восхождения Бокса – Уилсона.

Рассмотрим функцию отклика

)x,x(fy21=

, которая пред-

ставляет собой уравнение поверхности. Эту поверхность можно представить линиями равного отклика на факторной плоскости

: линии

consty1i=

consty

;

consty1i=

. Вблизи мак-

симального значения величин (у) такая поверхность имеет вид холма, вершина которого представляет собой точку, соответствующую оптимальным условиям протекания процесса.

Для поиска оптимума вначале реализуют полный факторный эксперимент 22 (опыты 1, 2, 3, 4), что отвечает шагу «а» – определение направления движения к оптимуму. По итогам выполненных опытов определяют коэффициенты линейного уравнения регрессии и направление градиента:

ygrad

. (1.31)

После этого производят крутое восхождение (опыты 5, 6, 7, 8). Приняв точку с наибольшим значением у (опыт 7) за центр плана, вновь реализуют полный факторный эксперимент 22 (опыты 9, 10, 11, 12) и определяют новое направление градиента.

Последним этапом поиска оптимума является движение по новому градиенту 22 (опыты 13, 14, 15, 16), где и находят максимум функции (опыт 15). Схема движения к оптимуму функции по методу «крутого восхождения» представлена на рисунке 1.5.

Симплексный метод решения задачи базируется на построении геометрических фигур – симплексов.

Симплекс – простейшая геометрическая фигура, образованная множеством n+1-независимых точек в n-мерном факторном пространстве. Точки, образующие симплекс, называют его вершинами. Так, в двухфакторном эксперименте симплекс – это треугольник, а в трехфакторном эксперименте – треугольная пирамида.

Основной особенностью симплексного планирования является совмещение процесса изучения поверхности отклика с процессом движения по самой поверхности отклика.

Указанное совмещение достигается в результате того, что условие проведения каждого очередного опыта устанавливается на основе оценки результатов предшествующих опытов, поставленных в точках факторного пространства, соответствующих вершинам симплекса.

<<< < Предыдущая 1 23 / 203 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]