Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Случайные величины. Цепи Маркова. В 2 частях. Ч.2. Двумерные случайные величины. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение

«Российский университет транспорта (МИИТ)»

Кафедра «Высшая и вычислительная математика»

Н.С. Дмитрусенко

М.Е. Булатникова

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЦЕПИ МАРКОВА

ЧАСТЬ II

ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Учебное пособие

для студентов ИТТСУ дневной и дистанционной форм

обучения

Москва – 2017

УДК. 519.2 Д 53

Дмитрусенко Н.C., Булатникова М.Е. Случайные величины. Цепи Маркова. В 2-х частях. Ч. 2. Двумерные случайные величины: Учебное пособие. – М.: РУТ (МИИТ),

2017. – 84 с.

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов ИТТСУ, изучающих дисциплину «Теория вероятностей и математическая статистика» в объеме семестрового курса. Содержание второй части пособия охватывает раздел «Двумерные случайные величины». В каждом параграфе приведены необходимые теоретические сведения. Подробное решение типовых задач помогает студенту в выполнении предлагаемого контрольного задания.

Рецензенты: Дмитриев В.И., кандидат физико-математических наук, с.н.с., доцент кафедры «Высшая математика» ЮЗГУ. Деснянский В.Н., заведующий кафедрой «Математический анализ» РУТ (МИИТ).

 

YX,

 

ZYX ,,

 

YX,

 

ZYX ,,

 

yYxX  ,

 

YX,

§1. Системы случайных величин. Основные понятия

Если возможные значения случайных величин

определяются одним числом, то такие случайные величины называются одномерными. Например, число очков, которое может выпасть при бросании игральной кости; расстояние от орудия до места падения снаряда и т.д.

Если возможные значения случайной величины

определяются двумя, тремя, … n - числами, то случайная величина называется двумерной, трехмерной, …,n мерной. Такие величины можно рассматривать как

системы двух случайных величин. Например, сумма очков при бросании

двух игральных костей представляет собой систему двух случайных величин:X - число очков, выпавших на первой кости;Y - на второй. Геометрически случайную величину

можно представить точкой на плоскости;

, трех

и т.д. одномерных

случайную величину

дискретные, непрерывные и смешанные. Ограничимся рассмотрением двумерных дискретных случайных величин. Такие величины характерны для испытаний, в результате которых одновременно происходит пара случайных событий:X принимает значения

значение

закон распределения вероятностей. Закон указывает область возможных значений системы случайных величин и вероятности этих значений. Закон может быть

- точкой в пространстве.

Многомерные случайные величины подразделяются на

,Y -

. Обозначается

§2. Закон распределения дискретной двумерной

случайной величины.

Законы распределения составляющих

Полной характеристикой системы

является

   

jijiij

yYxXPyxpp  ,,

ni .., ,2 ,1

. .., ,2 ,1 mj 

...

…

mp1

…

mp2

… … … … …

…

 

yYxX  ,



 



nim

1 1

 

yx ,

jp1

 

, yYxX 

 

, yYxX 

 

, yYxX 

 

yYxX  ,

представлен в виде таблицы или в виде функции распределения.

В таблице с двойным входом перечисляют все

возможные значения

составляющей X и все возможные

значения

составляющей Y, а также вероятности

их

совместного появления (табл. 1):

Таблица 1.

Поскольку случайные события

образуют полную группу и несовместны, то сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы, равна единице:

Законы распределения каждой из составляющих X и

также находят по табл. 1. Например, определим

вероятность того, что значение

. При этом составляющая Y может принимать

принимает фиксированное

одно из возможных значений от значений

Поскольку события

применима теорема сложения вероятностей [12,§5].

до

. Каждой паре

соответствует своя вероятность

;

, …,

несовместны, то к ним

         



yxpyxpyxpyxpxP ,...,,,

13121111

pppp

1131211

...

   







ijii

pxXPxp

   

j j ij

p y P Y y p



  



0,10

0,06

0,30

0,18

0,20

0,16

 

16,01xp

 

48,02xp

 

36,03xp

0,16

0,48

0,36

136,048,016,0 

 

6,01yp

 

40,02yp

Просуммировав все вероятности по строке искомую вероятность:

, получим

В общем случае

, (1.1)

. (1.2)

Пример 1. Двумерная случайная величина задана

законом распределения (табл. 2). Найти закон распределения составляющих.

Таблица 2.

Решение. Сложив вероятности по строкам, получим

вероятности возможных значений

;

. Закон распределения

составляющейX имеет вид:

;

Контроль:

Сложив вероятности по столбцам, получим

вероятности возможных значений

. Закон распределения составляющейY имеет

вид:

;

0,60

0,40

140,060,0 

 

YX,

41x 52x

63x

74x

31y

0,10

0,15

0,20

0,25

42y

0,05

0,15

0,05

 

64  XP

     

 6564 XPXPXP

   

55,005,020,015,015,0 

0,12

0,10

0,18

0,11

0,10

0,39

Контроль:

Пример 2. Двумерная дискретная величина

задана законом распределения вероятностей:

Найти вероятность

Решение.

Задачи для аудиторного занятия

и самостоятельного решения

№ 2.1. Найти законы распределения составляющих X

и Y дискретной двумерной случайной величины, заданной законом распределения

№ 2.2. Задано распределение вероятностей дискретной

двумерной случайной величины:

31x 10

x

41y

0,17

0,13

0,25

52y

0,10

0,30

0,05

12X

x 30

x

3,21y

0,05

0,12

0,08

0,04

7,22y

0,09

0,30

0,11

0,21

30X

 

YX,

 

yxF ,

 

xX 

 

yY 

   

yYxXPyxF  ,,

 

YX,

xxi

yyj

Найти: а) законы распределения составляющих X и

б) вероятность того, что

№ 2.3.Задано распределение вероятностей дискретной

двумерной случайной величины:

Найти: вероятность того, что

§3. Функция распределения двумерной случайной

Функцией распределения двумерной случайной величины любых действительных чисел x и y равна вероятности

совместного появления двух событий

Функция распределения двумерной дискретной случайной величины

всех вероятностей

величины и ее свойства

называется функция

, которая для

. (3.1)

находится суммированием

, для которых

, т.е.

 

 

 xx yy

i j

pyxF ,

 

yxF ,

 

YX,

 

yx,

 

yxF ,

 

1,0  yxF

 

yxF ,

   

yxFyxF ,,12

xx 

   

,, yxFyxF 

yy 

,

 

yxF ,

     

0,,,  FyFxF

(3.2)

Геометрически вероятность попадания случайной точки

бесконечный квадрант, расположенный левее и ниже вершины в точке

Свойства функции распределения двумерной

1. Функция распределения

аргументов при фиксированном другом, т.е.

не убывает по каждому из своих

(рис. 3.1)

случайной величины

можно представить как

Рис. 3.1

ограничена, т.е.

3. Если хотя бы один из аргументов обращается в

то функция распределения

т.е.

при

; .

равна нулю,



 

yxF ,

 

1, F



   

xFxF1, 

   

yFyF

, 

 

yxF ,

   

yxFyxF

,,lim





   

,,lim

yxFyxF

yx

 

YX,

 

yxF ,

 

yxF ,

 

YX,

 



2121

, yYyxXxP

       

2 2 1 2 2 1 1 1

, , , ,F x y F x y F x y F x y   

4. Если оба аргумента обращаются в

равна 1, т.е.

. (3.3)

5. Если один из аргументов обращается в

функция распределения системы случайных величин становится функцией распределения случайной величины, соответствующей другому элементу, т.е.

, то

(3.4)

, то

аргументов, т.е.

Подчеркнем: зная совместное распределение двух случайных величин распределения этих случайных величин, но обратное,

вообще говоря, неверно.

С геометрической точки зрения поверхность (ступенчатая для двумерной дискретной

случайной величины), обладающая указанными свойствами.

С помощью функции попадания случайной точки

сторонами, параллельными координатным осям (рис. 3.2):

непрерывна слева по каждому из своих

, можно найти одномерные

есть некоторая

можно найти вероятность

в прямоугольник D со

. (3.5)

 

,yxF

 

, yxF

 

, yxF

 

YX,

2X

3Y

 

 



 





 



 





arctg

arctgyxF



   

yYxXPyxF  ,,

2x

3y

   



 



 





 



 





3;23,2 arctgarctgFYXP





 



 





 



 







Рис. 3.2

Здесь точки в область, заштрихованную косыми линиями,

- вертикальными,

вертикальными, горизонтальными (эту область дважды вычли, следует один раз прибавить).

Пример 1.Найти вероятность того, что в результате испытания составляющая

величины составляющая Y примет значение

функция распределения системы

- вероятность попадания случайной

- косыми,

двумерной случайной

примет значение

и при этом

, если известна

Решение. По определению функции распределения двумерной случайной величины,

Положив

, получим искомую вероятность

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]