Случайные величины. Цепи Маркова. В 2 частях. Ч.2. Двумерные случайные величины. Учебное пособие

21

X

Y

1 2 3

0,1

0,12

0,08

0,40

0,2

0,16

0,10

0,14

X

Y

2Y

 





m

j

iji

pxp

1

 





n

i

ijj

pyp

1

X

0,1

0,2

p

0,60

0,40

Y

1 2 3

p

0,28

0,18

0,54

 

9

4

18,0

08,0

21,0  YXP

 

9

5

18,0

10,0

22,0  YXP

X

2Y

X

0,1

0,2

1Y

P

9

4 9

5

Найти: а) безусловные законы распределения

случайных величин распределения случайной величины X при

и

; б) условный закон

.

Решение.а) Так как

и

, то

б) С учетом формулы (6.3) имеем:

,

Условный закон распределения случайной величины при

:

.

22

1

2

1





i

i

p

X

Y

1 2 3

1

18

1

12

1

36

1

2

9

1 6

1

18

1

3

6

1 4

1

12

1

1Y

 

1 YxXP

i

 

6

1

6

1

9

1

18

1

18

1

11 



 YXP

 

;

3

1

18

6

:

9

1

12  YXP

 

2

1

18

6

:

6

1

13  YXP

1Y

Контроль:

. Имеет место несовпадение

условного и безусловного законов распределения случайной величины

. Следовательно, случайные

величины X и Y зависимы.

Пример 2. Задана двумерная случайная величина

своим законом распределения:

Найти и сравнить между собой условные законы

распределения составляющейX при всех значениях Y.

Решение. Полагаем

вероятности

по формуле (6.3):

. Найдем условные

;

.

Условный закон распределения компоненты X при

условии

, имеет вид:

23

X

1 2 3

1Y

P

6

1 3

1

2

1

2Y

 

2

1

4

1

6

1

12

1

2 YP

 

6

1

2

1

:

12

1

21  YXP

 

3

1

2

1

:

6

1

22  YXP

 

.

2

1

2

1

:

4

1

23  YXP

X

1 2 3

2Y

P

6

1 3

1

2

1

3Y

X

1 2 3

3Y

P

6

1 3

1

2

1

X

Аналогично найдем при

;

Составим ряд распределения:

Наконец, при

.

:

Итак, при различных значениях Y получаем один и тот

же ряд распределения компонент

. Так как ряд

распределения случайной величины X не зависит от

24

X

Y

X

1

x

2

x

3

x

1

y

0,10

0,30

0,20

2

y

0,06

0,18

0,16

1

y

 

YX,

Y

X

21x 52x

83x

4,01y

0,15

0,30

0,35

8,02y

0,05

0,12

0,03

значений случайной величины Y, то случайные величины

и Y независимы.

Задачи для аудиторного занятия и

самостоятельного решения

№ 6.1. Дискретная двумерная случайная величина

задана таблицей:

Найти условный закон распределения составляющейX при условии, что составляющая Y приняла значение

.

№ 6.2. Задана дискретная двумерная случайная

величина

:

25

X

4,01y

52 xX

 

YX,

10Y

6X

 

YX,

 

YX,

 

XM

 

YM

Y

X

3 6 10

0,25

0,10

14

0,15

0,05

18

0,32

0,13

Найти: а) безусловные законы распределения

составляющих; б) условный закон распределения составляющей

приняла значение

при условии, что составляющая Y

; в) условный закон

распределения Y при условии, что зависимость или независимость X и Y.

№ 6.3.Задана дискретная двумерная случайная

величина

Найти: а) условный закон распределения X при условии, что условии, что

§7. Числовые характеристики двумерной

Для системы случайных величин вводится ряд

числовых характеристик. На практике чаще всего используются математическое ожидание, дисперсия, коэффициент корреляции,корреляционный момент. Математическое ожидание и дисперсия двумерной случайной величины служат соответственно средним значением и мерой рассеяния. Корреляционный момент выражает меру взаимного влияния случайных величин,

входящих в систему

Математическим ожиданием двумерной случайной

величины

:

; б) условный закон распределения Y при

.

случайной величины

.

называется совокупность двух

. Установить

математических ожиданий равенствами:

и

, определяемых

26

 



 



nim

j

ijix

pxmXM

1 1

 

.

1 1



 



nim

j

ijjy

pymYM

 

YX,

 

XD

 

YD

   



 



nim

j

ijxi

pmxXD

1 1

2

 

2

11

nm

j y ij

ij

D Y y m p







 

XD

x





 

YD

y





 

 

2

XMXMXD 

 

 

2

YMYMYD 

 

XD

 

YD

 

YX,

Oy

 

yx

mm ,

xy



 

 

 

 

 

YMYXMXM

xy





 

 

 

 

 

ji

nim

j

jixy

yxpYMyXMx ,

1 1



 





     

.YMXMXYM

xy





,

Дисперсией системы случайных величин

называется совокупность двух дисперсий определяемых равенствами:

,

Средние квадратические отклонения случайных

величин X и Y определяются по формулам

,

. (7.3)

Для вычисления дисперсий могут быть применены

формулы, называемые рабочими формулами:

,

Дисперсии

(разброс) случайных точек

вокруг точки

и

характеризуют рассеяние

в направлении осей Ox и

, называемой центром рассеяния.

(7.1)

и

. (7.2)

. (7.4)

,

Корреляционным моментом

моментомсвязи)случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

Для вычисления корреляционного момента

дискретных величин используют формулу

Корреляционный момент можно записать в виде

(или

. (7.5)

.(7.6)

(7.7)

27

 



 



nim

j

ijji

pyxXYM

1 1

xy



 

YX.cov

XY

K

xy

C

X

0

xy



0

xy



     

YMXMXYM 

0

xy



xy



 

yx

mm ,

yxxy





Здесь

Корреляционный момент

ковариацией и обозначают

Две случайные величины

. (7.8)

иначе называют

,

или

.

и Y называются

коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля:

.

Величины называются некоррелированными, если

. Тогда из формулы (7.7) следует, что

, т.е. выполняется условие

независимости величин. Следовательно, некоррелированные величины являются и независимыми.

Если случайные величины X и Y независимы, то их

корреляционный момент равен нулю:

. (7.9)

Однако следует иметь в виду, что обратное

предложение не всегда имеет место. Если две величины зависимы, то их корреляционный момент может принимать любое значение, в том числе быть равным нулю. Таким образом, зависимые величины могут быть некоррелированные.

Численное значение

характеризует и степень

зависимости случайных величин, и их рассеяние вокруг точки

произведению размерностей случайных величин X и Y.

Ковариация двух случайных величин по абсолютной

величине не превосходит произведения их средних квадратических отклонений:

. Размерность ковариации равна

. (7.10)

28



 





 



yyyx

xyxx



   



 





 



YDXY

YXXD

,cov

yxxy





 

xx

XD





 

yy

YD

 

xy

YX



,cov

 

yx

XY



,cov

xy

r

X

Y

 

   

YDXD

YX

r

yx

xy

,cov







x

mX

Z







1

y

mY

Z







2

 

21

,cov ZZrxy

1

xy

r

11 xyr

0

xy

r

Отметим, что корреляционные моменты и дисперсии

системы случайных величин обычно задаются

корреляционной матрицей:

где

или

,

, (7.11)

,

.

Коэффициент корреляции

В качестве числовой характеристики зависимости (а не

рассеяния) случайных величин X и Y берут безразмерную величину – коэффициент корреляции. Он является лучшей оценкой степени влияния одной случайной величины на другую.

Коэффициентом корреляции

и

называется отношение их ковариации

случайных величин

(корреляционного момента) к произведению их средних квадратических отклонений:

. (7.12)

Очевидно, коэффициент корреляции равен ковариации

стандартных случайных величин

,

т.е.

.

Свойства коэффициента корреляции:

1. Коэффициент корреляции по абсолютной величине

не превосходит 1, т.е.

или

. (7.13)

2. Если X и Y независимы, то

. (7.14)

29

baXY ,0a

1

xy

r

1

xy

r

0a

1

xy

r

0a

0

xy

r

1

xy

r

11 xyr

0

xy

r

0

xy

r

xy

r

X

Y

1 2 3

1

18

1

12

1

36

1

2

9

1 6

1

18

1

3

6

1 4

1

12

1

x

m

y

m

3. Если X и Y связаны линейной зависимостью, т.е.

, то

, (7.15)

причем

Итак, для независимых случайных величин

линейно связанных

при

,

при

.

, для

, а в остальных случаях

. Говорят, что случайные величины связаны

положительной корреляцией, если отрицательной корреляцией. Чем ближе

; если

к единице, тем

-

больше оснований считать, что X и Y связаны линейной зависимостью.

Пример 1. Задан закон распределения дискретной

двумерной случайной величины:

Найти: 1) математические ожидания

и

; 2)

дисперсии; 3) корреляционный момент; 4) коэффициент корреляции.

Решение. Найдем указанные характеристики

непосредственно, по определению.

30



36

1

4

1

3

6

1

2

12

1

6

1

3

9

1

2

18

1

x

m

3

7

12

1

3

18

1

2 



6

1

18

1

3

6

1

2

9

1

36

1

3

12

1

2

18

1

y

m

6

11

12

1

3

4

1

2 

 



 



6

11

;

3

7

 

YX,

 

x

mX 

 

y

mY 

x

mX 

y

mY 

6

5



6

1 6

7

3

4



18

1

12

1

36

1

3

1



9

1 6

1

18

1

3

2 6

1 4

1

12

1

 



 



 





 



 





 



 





6

1

3

2

9

1

3

1

18

1

3

4

222

XD

1) По формулам (7.1) получаем:

.

Точка

заданной системы

является центром рассеяния для

.

2) Найдем дисперсии по формулам (7.2).Составим вспомогательную таблицу, где укажем отклонение составляющих:

и

.

Имеем