Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Случайные величины. Цепи Маркова. В 2 частях. Ч.2. Двумерные случайные величины. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>



 



 





 



 





 



 





 



 





2222



 



 





 



 





 



 



 





 



 





 



 





222



 



 





 



 





 



 





 



 





2222



 



 





 



 















 



 





 



 





 



 





 



 









 



 





 



 





 



 





 



 





613



 



 





0



0

-1 0 1

;

Отсюда

;

3) Корреляционный момент найдем по формуле (7.6), используя таблицу отклонений:

4) Поскольку

, то по формуле (7.12) получаем

Следовательно, cоставляющие X и Y независимы.

Пример 2. Закон распределения дискретной

двумерной случайной величины задан таблицей:

0,15

0,40

0,05

0,20

0,10

-1 0 1

0,35

0,50

0,15

0 0,6 1 0,4 0,4

m     

20,015,0150,0035,01 

 

 

 

,24,04,04,016,00

 XMXMXD

   

 

46,020,015,0150,0035,01

YD

49,024,0 



68,046,0 



 

XYM

 

8.7

   

 05,01040,00015,010XYM

 

10,010,01110,00120,011 

     

 

 YMXMXYM



 

002,020,04,010,0 

0,6

0,4

Найти математические характеристики системы, используя закон распределения, и математические характеристики составляющих.

Решение. Составим законы распределения составляющих Xи Y:

Находим математическое ожидания составляющих:

Дисперсии составляющих равны (формулы (7.4)):

Следовательно,

Находим

Находим корреляционный момент, используя формулу

(7.7):

Коэффициент корреляции (формула 7.12) равен:

по формуле

06,0

68,049,0

02,0













baXY 







 

 

 

 

 

YMYXMXM





 

 

 

bXaMbaXMYM 

 

 

 

xxy

aXaDXMXaM





        

 

XMXabXaMbaxYMY 

   

 

 

 

aXMXMaYMYMYD





a

 











0a

1

0a

1

1

 

YX,

т.е.отрицательная корреляция.

Пример 3. Доказать, что если X и Y связаны линейной зависимостью

, то абсолютная

величина коэффициента корреляции равна единице.

Решение. По определению коэффициента корреляции,

где

. (7.16)

Найдем математическое ожидание Y:

(7.17)

Подставив (7.17) в (7.16), после элементарных преобразований получим

Учитывая, что

найдем дисперсию Y:

Отсюда

корреляции

Если

Итак,

, то

, что и требовалось доказать.

. Следовательно, коэффициент

; если

, то

Задачи для аудиторного занятия и

самостоятельного решения

законом распределения.

№ 7.1. Двумерная случайная величина

задана

1 2 3 4 1

0,07

0,04

0,11

0,11 2 0,08

0,11

0,06

0,08 3 0,09

0,13

0,10

0,02



 

YX,



24



2





 

YX,

Проверить, зависимы ли случайные величины X и Y. Найти корреляционный момент

№ 7.2. Дана таблица, определяющая закон распределения системы двух случайных величин

Найти: 1) коэффициент ожидания

корреляции

; 3) дисперсии

; 2) математические

; 4) коэффициент

§8. Условное математическое ожидание. Регрессия

Если дано распределение двумерной случайной величины

, то на основании условных законов

распределения (§6) удается установить только факт зависимости или независимости ее компонент X и Y, но о характере этой зависимости нельзя ничего сказать. Дополняет информацию коэффициент корреляции

было показано, коэффициент корреляции служит для оценки тесноты линейной связи между X и Y: чем ближе

. Как

 

   

YXhXgY ,

 

YXh ,

 

   

XgYYXh ,

 

 

XgY 

 

 

 

 

,YXhMXgYM 

 

xX 

 

i j j i

M Y X x y p y x







абсолютная величина коэффициента корреляции к единице, темлинейная связь сильнее; чем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к нулю, тем такая связь слабее.

Пусть установлено, что X и Y зависимы.

Любая функция представить стохастическую зависимость случайной

величины Y от X называется регрессией Y на X.

Тогда случайную величину Y можно записать в виде суммы: представления (иначе, предсказания).

Функцию

, которая позволяет приближенно

, где

необходимо подобрать так, чтобы

- погрешность

погрешность

Поскольку отклонение знаки, то минимизируют средний квадрат отклонения:

Таким образом, функция регрессии функция, минимизирующая среднюю квадратическую

ошибку величины предсказанияY на основании значений

В качестве функции математическое ожидание, т.е. математическую

характеристику, которая получается на основании условного закона распределения.

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при определенном значении

называют сумму произведений возможных значений Y на их условные вероятности:

была бы минимальной.

может иметь разные

(8.1)

есть

принимают условное

, (8.2)

   

ijij

xXyYPxyp 

 

xXYMxg 

 

baXXg 

 

 

 

 

baxYMXgYM 

   

 

, baxYMbaF 

где

Таким образом,

есть регрессияY на X. График этой функции называется линией (или «кривой») регрессии Y на X.

Регрессия помощью многочлена степени r (так называемая

параболическая регрессия порядка r) или с помощью других функций, коэффициенты которых всегда подбираются так, чтобы минимизировать отклонение (8.1).

На практике часто бывает достаточным представить регрессию (8.3) с помощью линейной функции

Y gXaXb

где aи b - параметры, подлежащие определению. Это можно сделать различными способами. Наиболее употребительный из них – метод наименьших квадратов.

Функцию приближением»

квадратов, если математическое ожидание квадрата отклонения

может быть аппроксимирована с

, (8.4)

в смысле метода наименьших

, согласно формуле (6.2).

(8.3)

называют «наилучшим

принимает наименьшее значение. Формула (8.5) представляет собой функцию двух независимых аргументов а и b:

Исследуя эту функцию на экстремум методами математического анализа, можно определить, что:

(8.5)





xyy

mrmb





 

XMmx

 

YMmy

 





 











 

baF ,

 

xyy

r



 

xyy

r



 

baXXg 

1

 

xyy

mrmXrbaXXg





   

y xy x

g X m r X m

 

  

1) коэффициенты прямой (8.4) равны

, где

- коэффициент корреляции величин

иY;

2) минимальное значение функции

, равно

Величину дисперсией случайной величины

случайной величины

. Она характеризует величину

называют остаточной

относительно

ошибки, которую допускают при замене Y линейной функцией

. При

остаточная

дисперсия равна нулю. При этих крайних значениях коэффициента корреляции не возникает ошибки при представлении Y в виде линейной функции от X.

Если коэффициент корреляции

, то Yна

связаны линейной функциональной зависимостью.

Таким образом, коэффициент корреляции измеряет качество «наилучшего» линейного приближения.

Итак, линейная средняя квадратическая регрессия Yна

имеет вид

Коэффициент при регрессии Yна X и обозначают:

, или

называют коэффициентом

 

xy x

r x m







  

а прямую

 

xyy

mxrmy 



 

mxmy 



   





jiij

yxpxyXM

   

jiji

yYxXPyxp 

 

yYXMy 



 

xyx

myrmx 



 

mymx 



;







(8.6)

(8.7)

или

(8.71)

называют прямой среднеквадратической регрессииY на

Следует отметить, что в качестве независимой переменной можно принять случайную составляющую Y. Тогда по аналогии определяются:

- условное математическое ожидание случайной

величины

, (8.8)

где

(см. формулу (6.3));

- функция регрессии X на ; (8.9)

- прямая линия среднеквадратической регрессии

на Y:

, (8.10)

или

, (8.101)

где коэффициент X на Y равен;

(8.11)

 

xyx

r



 

mm ,

1r

11x

32x

43x

84x

31y

0,15

0,06

0,25

0,04

62y

0,30

0,10

0,03

0,07

11 xX

- остаточная дисперсия

величины

относительноY. В общем случае:

- ни функции (8.3) и (8.9), ни функции (8.7) и (8.10) не

являются взаимно обратными;

- прямые линии регрессии не совпадают, т.к. одна

получается при обращении в минимум квадрата отклонений по y, т.е. по вертикали, а вторая по x, т.е. по

горизонтали;

- все линии регрессии проходят через центр

совместного распределения величин X и Y - точку с координатами

В частном случае при

обе прямые регрессии

(8.7) и (8.10) совпадают.

Замечание. Если

и Y не являются линейно

коррелированными, то по формулам (8.7) и (8.10) можно составить уравнение двух прямых. Они также называются линиями регрессии и являются линейными аппроксимациями истинных кривых линий регрессии.

Пример 1. Дискретная двумерная случайная величина

задана таблицей:

Найти условное математическое ожидание

составляющей Y при

 

45,030,015,0

xp

11 xX

 

45,0

15,0,



yxp

xyp

 

45,0

30,0,



yxp

xyp

 

   







122111

xypyxypyxypyxXYM

3 

 

YX,

-1



0,10

0,15

0,20

0,45

0,15

0,25

0,15

0,55



0,25

0,40

0,35

01x,12x

Решение. Найдем

помещенные в первом столбце таблицы:

Найдем условное распределение вероятностей

величины Y при

Найдем искомое условное математическое ожидание

по формуле (8.2):

Пример 2. Построить линию регрессии Y на X для

двумерной случайной величины распределения которой задан таблицей:

, для чего сложим вероятности,

. По формуле (6.2) получаем:

;

, закон

Решение. Находим условные ряды распределения

случайной величины Y при формулу (6.2):

, используя

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]