Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные величины. Цепи Маркова. В 2 частях. Ч.2. Двумерные случайные величины. Учебное пособие
.pdf
11
YX,
6
x
2
x
4
y
3
y
yxyxF sinsin,
2
0 ,
2
0
yx
6
1
x
2
2
x
4
1
y
3
2
y
34
,
26
YXP
4
,
64
,
23
,
63
,
2
FFFF
4
sin
6
sin
4
sin
2
sin
3
sin
6
sin
3
sin
2
sin
08,0
4
23
4
2
2
2
4
3
2
3
YX,
Y
X
0
1
0
6
1
6
2
1
6
2
6
1
;Y
xF
1
yF
2
yxF ,
Пример 2. Найти вероятность попадания случайной
точки
в прямоугольник, ограниченный прямыми
,
,
,
если известна функция
распределения
,
Решение. Положив
,
,
.
,
формуле (3.5), получим
Пример 3. Задан закон распределения для системы
:
в
.
Найти: а) законы распределения составляющих X и
б) функции
,
,
.
12
Y
0
1
P
2
1
2
1
xx
i
i
pxF
xF
1
.1 при ,1
,10 при ,5,0
,0 при ,0
1
x
x
x
xF
.1 при ,1
,10 при ,5,0
,0 при ,0
2
y
y
y
yF
yxF ,
YX \
0y
10 y y1
0x
0
0
0
10 x
0
6
1
2
1
6
2
6
1
x1
0
2
1
6
2
6
1
1
6
1
6
2
6
2
6
1
X
0
1
P
2
1
2
1
Решение.
а) Таблицы распределения компонент X и Y найдем,
просуммировав вероятности в исходной таблице по
строкам и столбцам соответственно:
б) Используя формулу
, найдем функцию
распределения
компоненты X как для одномерной
дискретной случайной величины:
Аналогично находим для компоненты Y:
Используя формулу (3.2), находим функцию
распределения
:
Пример 4. Вероятность попадания в цель при одном
выстреле для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,6.
13
X
YX,
yxF ,
X
X
36,06,06,00
1
XPp
48,04,06,06,04,0
2
p
16,04,04,0
3
p
311i
i
p
YX,
YX \
0 1 2
0
0,0576
0,1728
0,1296
1
0,0768
0,2304
0,1728
2
0,0256
0,0768
0,0576
0576,06,06,04,04,00,0
11
YXPp
1728,048,036,01,0
12
YXPp
1296,036,036,02,0
13
YXPp
0768,016,048,00,1
21
YXPp
X
0 1 2
P
0,36
0,48
0,16
Y
0 1 2
P
0,16
0,48
0,3 6
Оба стрелка независимо друг от друга делают по два
выстрела в цель. Найти: 1) закон распределения
случайных величин
распределения системы случайных величин
функцию распределения
величина
- число попаданий первого стрелка,
и Y; 2) совместный закон
; 3)
, если случайная
случайная величина Y - второго стрелка.
Решение. 1) Случайная величина
принимает
значения 0, 1, 2. Очевидно,
,
,
. Стало
быть:
. Аналогично находим, что ряд распределения
случайной величины Y:
2) Возможные значения системы
: (0,0), (0,1),
(0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2). Совместная
таблица распределения имеет вид:
так как
,
,
,
,
14
2304,048,048,01,1
22
YXPp
1728,036,048,02,1
23
YXPp
0256,016,016,00,2
31
YXPp
0768,048,016,01,2
32
YXPp
0576,036,016,02,2
33
YXPp
xx yy
ij
i i
pyxF ,
yxF ,
YX \
0y
10 y 21 y 2y
0x
0 0 0
0
10 x
0
0,0576
0,2304
0,3600
21 x
0
0,1344
0,5376
0,8400
2x
0
0,1600
0,6400
1,0000
YX,
4
x
2
x
6
y
3
y
yxyxF sinsin,
2
0,
2
0
yx
2
1
X
,
3
1
Y
,
,
,
,
.
3) По таблице распределения, пользуясь
равенством
, находим значения
функции распределения
Задачи для аудиторного занятия
и самостоятельного решения
№ 3.1. Найти вероятность попадания случайной точки
в прямоугольник, ограниченный прямыми
,
распределения
№ 3.2. Найти вероятность того, что составляющая X
двумерной случайной величины принимает значения
и при этом составляющая Y примет значения
,
:
, если известна функция
,
.
,
если известна функция распределения системы
15
2
1
3
1
2
1
2
1
, yarctgxarctgyxF
YX,
1x,2x
3y,5y
.0 или 0 при 0
0,0 при 2221
,
yx
yx
yxF
yxyx
YX,
X
Y
m
ZZZ ,...,,
21
j
TTT ,...,,
21
k
VVV ,...,,
21
jm
TTTZZZfX ,...,,,,...,,
2121
,,...,,,,...,,
2121 km
VVVZZZgY
.
№ 3.3. Найти вероятность попадания случайной точки
в прямоугольник, ограниченный прямыми
,
, если известна функция распределения
§4. Виды соотношений между составляющими
двумерной случайной величины
Важным вопросом при изучении двумерной случайной
величины
является установление наличия или
отсутствия связи между ее составляющими X и Y. Они
могут быть независимы, как, например, число очков на
каждой из двух игральных костей, брошенных
одновременно.Могут находиться в функциональной
зависимости, когда изменение одной компоненты влечет за
собой строго определенное изменение другой компоненты.
Однако, очень часто в природе и технике наблюдается
стохастическая (случайная) зависимость. Между двумя
случайными величинами
и
имеет место
стохастическая зависимость, если существуют некоторые
случайные факторы
, влияющие на обе
случайные величины, а также некоторые факторы,
и
действующие только на X или
только на Y соответственно. Следовательно, если
то X и Y стохастически зависимы. В этой ситуации
особое место занимает задача прогнозирования
(предсказания) возможного значения одной случайной
,
16
Q
ii
sSA
jj
qQB
ni ,...,2,1
mj ,...,2,1
jiji
BPAPBAP
YX,
Y
YX,
iiii
yYPxXPyYxXP ,
ni ,...,2,1
mj ,...,2,1
jiij
ypxpp
ni ,1, mj ,1
X
Y
составляющей, например Y, если случайные величины, от
которых стохастически зависит ,Yприняли конкретные
значения. Аналогично для X.
Рассмотрим перечисленные виды соотношений более
подробно. Укажем критерии, которые позволяют
определить характер связи между компонентами X и Y.
§5. Условие независимости составляющих
двумерной случайной величины
Напомним, что любые две случайные величины S и
называются независимыми, если события
состоящие в том, что S и Q приняли
,
фиксированные значения, независимы для всех
и
зависит от того, какие значения принимает другая. По
теореме умножения вероятностей для независимых
событий [12,§5]
. Закон распределения каждой из них не
. В противном
и
случае S и Q называются зависимыми.
Применим это определение к компонентам системы
.
Необходимым и достаточным условием
независимости двух дискретных случайных величин X и
, образующих систему
для любых
Условие независимости может быть сформулировано
также на основании функции распределения.
Случайные величины
независимыми, если независимыми являются события
и
,
, является равенство
(5.1)
(или, что то же самое:
).
и
называются
17
xX
yY
YX,
21
F(x, y = )F (x ⋅)F (y
)
,Y
YX,
X
Y
0
1
0
616
2
1
626
1
Y
X
0
1
P
212
1
Y
0
1
и
противном случае случайные величины называются
зависимыми.
Для того, чтобы случайные величины X и Y были
независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция
распределения системы
функций распределения составляющих:
Зная законы распределения случайных величин X и
входящих в систему
распределения системы только в случае, когда случайные
величины X и Y - независимы.
Пример 1. Проверить зависимость компонент
двумерной случайной величины, заданной законом
распределения
для любых действительных xи y. В
была равна произведению
. (5.2)
, можно найти закон
Решение. Законы распределения составляющих X и
имеют вид:
18
P
212
1
6
1
0,0
11
YXPp
4
1
2
1
2
1
00 YPXP
1111
ypxpp
X
Y
1y2
y
1
x
0,12
0,10
2
x
0,18
0,11
3
x
0,10
0,39
X
Y
1 2 3
1
18112
1
36
1
В исходной таблице задано, что
На основании таблиц для X и Y получаем
,
т.е.
. Следовательно, соотношение (5.1) не
выполняется, случайные величины X и Y зависимы.
Задачи для аудиторного занятия и
самостоятельного решения
№ 5.1. Найти законы распределения составляющих
дискретной двумерной случайной величины, заданной
законом распределения. Проверить их зависимость.
.
№ 5.2.Проверить зависимость компонент двумерной
случайной величины, заданной таблицей:
19
2
9
1
6
1
18
1
3
6
1
4
1
12
1
YX,
YX,
B
ABPAPBAP
ABP
AP
BAP
ABP
YX,
jiij
yYxXPp ,
ni ,1, mj ,1
j
y
i
xX
§6. Условные законы распределения составляющих
Для характеристики зависимости компонент X и Y,
образующих систему
условных законов распределения случайных величин.
Условным законом распределения одной из случайных
величин, входящих в систему
распределения, найденный при условии, что другая
случайная величина приняла определенное значение.
Известно, что если события A и B зависимы, то
условная вероятность события
безусловной вероятности. В этом случае вероятность
совместного появления событий A и B равна [12,§5]:
вводится также понятие
, называется ее закон
отличается от его
, где
- условная
вероятность события B, вычисленная при условии, что
событие A уже произошло.Тогда
(6.1)
Аналогичное положение имеет место и для случайных
величин.
Пусть
величина и
соответствии с формулой (6.1), условная вероятность того,
что случайная величина Y примет значение
условии, что
- дискретная двумерная случайная
,
определяется равенством
. В
при
20
i
ij
i
ji
iiij
xp
p
xXP
yYxXP
xXyYPxyp
,
m
j
iji
pxp
1
ni ,1, mj ,1
i
xyp
1
,
2 i
xyp
im
xyp
i
xX
ij
xyp
m
j
iji
pxp
1
j
yY
,
,
ij
ij
i j i j
jj
P X x Y y
p
p x y P X x Y y
P Y y p y
1
,
n
j ij
i
p y p
ni ,1
.,1 mj
X
Y
YX,
1 1 1
1
1,
m m m
ij
i
j i ij
j j j
i i i
p
px
p y x p
p x p x p x
,
где
Совокупность вероятностей (6.2) т.е.
.…,
, представляет собой условный закон
,
. (6.2)
,
распределения случайной величины Y при условии
Сумма условных вероятностей
так как
.
равна 1:
Аналогично определяется условная вероятность и
условный закон распределения случайной величины X
при условии
:
.
где
Если условный закон распределения составляющей X
не совпадает с ее безусловным законом распределения то
и
зависимы. Аналогично можно установить
зависимость с помощью законов Y.
Пример 1. Задана таблица распределения двумерной
случайной величины
,
:
(6.3)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]