Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Случайные величины. Цепи Маркова. В 2 частях. Ч.2. Двумерные случайные величины. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

21n

1n

21n

 

222



 



 





nXM





21n

1n

21n

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Решение. Для того чтобы к последовательности случайных величин была применима теорема Чебышева, достаточно, чтобы эти величины были попарно независимы, имели конечные математические ожидания и равномерно ограниченные дисперсии.

Поскольку случайные величины независимы, то они подавно попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.

Проверим, выполняется ли требование конечности математических ожиданий:

Таким образом,каждая случайная величина имеет конечное (равное нулю) математическое ожидание, т.е. второе требование теоремы выполняется.

Проверим, выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсий. Напишем закон распределения

или, сложив вероятности одинаковых возможных значений, получим:



1n

 

222



nnXM

 

 





nnn

XMXMXD



,...,...,,

21 n

XXX





12 n

121n

Найдем математическое ожидание

Найдем дисперсию

, учитывая, что

Таким образом, дисперсии заданных случайных величин равномерно ограничены числом

, т.е. третье

требование выполняется.

Итак, поскольку все требования выполняются, то к рассматриваемой последовательности случайных величин теорема Чебышева применима.

Задачи для аудиторного занятия и

самостоятельного решения

№ 10.1. Последовательность независимых случайных

величин

задана законом распределения

Чебышева?

Применима ли к заданной последовательности теорема

,...,...,,

21 n

XXX

1n

n

12 n

121n

0



1lim 



















 



   

pAPAP

n

lim

№ 10.2. Последовательность независимых случайных величин

задана законом распределения

а) Убедиться, что требование теоремы Чебышева о равномерной ограниченности дисперсии не выполняется; б) можно ли отсюда заключить, что к рассматриваемой последовательности теорема Чебышева неприменима?

§11. Теорема Бернулли

Теорема Бернулли исторически является первой и наиболее простой формой закона больших чисел. Она обосновывает свойство устойчивости относительной частоты. С этой теоремы, доказанной в 1713 г., началось развитие теории вероятностей как науки.

Теорема. Если вероятность появления события A в одном испытании равна p, число наступления этого

события при n независимых испытаниях равно любого числа

имеет место равенство

, то для

, (11.1)

т.е. относительная частота

события

сходится по вероятности к вероятности p события A:























2,0p

8,0q

400n

05,0



84,0

05,0400

8,02,0

1105,02,0







 



 





















84,0P

Теорема Бернулли теоретически обосновывает возможность приближенного вычисления вероятности события с помощью его относительной частоты. Так, например, за вероятность рождения девочки можно взять относительную частоту этого события, которая, согласно статистическим данным, приближенно равна 0,485.

Неравенство Чебышева (9.2) для случайных величин

принимает вид

. (11.2)

Пример. Вероятность наличия опечатки на одной странице рукописи равна 0,2. Оценить вероятность того, что в рукописи, содержащей 400 страниц, относительная частота появления опечатки отличается от соответствующей вероятности по модулю меньше, чем

0,05.

Решение. Воспользуемся формулой (11.2). В данном случае

. Имеем

т.е.

§12. Понятие случайного процесса

При изучении ряда явлений часто приходится иметь дело со случайными величинами, которые изменятся в ходе наблюдения (опыта, испытания) с течением времени

Примерами могут служить: сигнал на выходе

радиоприемника под воздействием помех, загруженность студентов в семестре, длина очереди за билетом в кассу,

 

,X t w

tt 

 

wtXi,

constti

ww 

 

x t X t w

 

ww 

 

wtX ,

колебания напряжения в сети, рейтинг политической партии, траектория частиц в броуновском движении и т.д.

Такие случайные величины зависят от набора случайных факторов w и неслучайного параметра t. Их

обозначают

и называют случайными процессами.

При фиксированном значении превращается в случайную величину

случайный процесс

, которая

называется сечением случайного процесса. Сечений может быть получено бесчисленное множество. Таким образом случайный процесс представляет собой семейство случайных величин, полученных при

С другой стороны, каждый опыт характеризуется конкретным набором случайных факторов

. В

результате случайный процесс превращается в обычную функцию времени

, которую называют

реализацией или траекторией случайного процесса.

На рис. 12.1 показаны три реализации

случайного процесса при

Каждая такая реализация (траектория) является функцией

. В виде жирных точек на рисунке изображены

значения случайной величины

в трех опытах.

, .

Рис. 12.1

 

Таким образом, понятие случайного процесса является обобщением понятия системы случайных величин, когда этих величин – бесконечное множество.

§13. Классификация случайных процессов

Случайный процесс, протекающий в любой физической системе S, представляет собой случайные переходы системы из одного состояния на другое. В зависимости от множества этих состояний

, от

множества T значений аргумента t все случайные процессы делятся на классы:

1. Дискретный процесс (дискретное состояние) с

дискретным временем.

2. Дискретный процесс с непрерывным временем.

3. Непрерывный процесс (непрерывное состояние) с

дискретным временем.

4. Непрерывный процесс с непрерывным временем.

Примерами случайных процессов 1-4 классов являются соответственно:

1. Футболист может забить или не забить один или несколько голов в ворота соперника во время матчей, проводимых в определенные моменты (согласно

расписанию игр) времени

,…. Случайный процесс

- число забитых голосов до момента t.

- число просмотренных телепрограмм на

первом канале от начала работы телевизора до момента t.

3. В определенные моменты времени измеряется температура

заболевшего человека.

,….

случайный процесс непрерывного типа с дискретным временем.

4. Давление воздуха

в шине колеса автомобиля.

Отметим, что рассматриваются и другие, более

сложные классы случайных процессов.

tt 

tt 

tt 

 

stS 

1k

  

stS 

1

§14. Понятие марковского случайного процесса

Среди случайных процессов особое место занимают

марковские случайные процессы. (Свое название получили в честь русского математика А.А. Маркова (1856-1922)).

Рассмотрим некоторую физическую систему S, в

которой происходит случайный процесс. С течением времени она может под влиянием случайных факторов переходить из одного состояния в другое состояние.

Случайный процесс называется процессом с

дискретными состояниями, если множество его возможных состояний

, …,

, … конечно (можно заранее

перечислить), а переход из одного состояния в другое осуществляется скачком. Переходы возможны только в

определенные моменты времени

, ….

Если переходы возможны в любой момент времени, т.е. моменты переходов из одного состоянии в другое случайны, то процесс называется процессом с

непрерывным временем.

Случайный процесс с дискретными состояниями называется марковским, если для любого момента времени

условная вероятность каждого из состояний системы Sв

будущем (т.е. при настоящем(т.е. при

) зависит только от ее состояния в

) и не зависит от того, когда и как

система пришла в это состояние (т.е. каковы были состояния системы S в прошлом, при

Марковский процесс называют также процессом без последствия: будущее в нем зависит от прошлого только

через настоящее, т.е. вероятность системы S попасть в состояние

от состояния предыдущий момент времени

в момент времени

зависит лишь

, в котором система находилась в

Марковский процесс служит моделью для многих процессов в биологии (распределение эпидемий, рост популяции), в физике (распад радиоактивного вещества), в теории массового обслуживания. Отметим, что в системе массового обслуживания множество состояний системы определяется числом каналов, т.е. линий связи, вычислительных машин, продавцов и т.д. Переходы между состояниями системы S происходят под воздействием потока событий (т.е. потока заявок, требований, отказов и т.д.), которые являются простейшими, пуассоновскими. (Пуассоновские потоки рассмотрены в первой части настоящего пособия (см. [13, §14].)

Случайные процессы с дискретными состояниями удобно иллюстрировать с помощью так называемого графа

состояний. В нем состояния

, … системы S

изображаются прямоугольниками (или кружками), а возможные непосредственные переходы из состояния в состояние – стрелками (или ориентированными дугами), соединяющими состояния.

Пример 1, Построить граф состояний следующего случайного процесса. Устройство в случайный момент времени может выйти из строя. Оно осматривается в определенные моменты времени, например, через каждые 3 часа и, в случае необходимости, - ремонтируется.

Решение. Возможные состояния системы (устройства)

- устройство исправно;

требуется ремонт;

- устройство неисправно, ремонту не

- устройство неисправно,

подлежит, списано.

Граф системы имеет вид, изображенный на рис. 14.1

Процесс представляет собой случайное блуждание системы S по состояниям, время (3 часа) – шаг процесса.

Реализация случайного процесса блуждания системы может иметь, в частности, такой вид:

             

,,,,,, sssssss

 

11



ni

sss ,...,,

,....,,

210

ttt

1ii

Рис. 14.1 что означает: при 1-м, 2-м, 3-м осмотрах устройство исправно; при 4-м осмотре – неисправно, ремонтируется; при 5-м, 6-м – исправно; при 7-м – устройство признано негодным, списано. Процесс закончился.

Для описания случайного процесса с дискретными

состояниями пользуются вероятностями состояний

системы

в момент времени t.

Очевидно, что для любого момента t сумма

вероятностей всех состояний равна единице (как сумма вероятностей полной группы несовместных событий):

Пусть в некоторой системе S происходит случайный

процесс с дискретными состояниями дискретным временем, т.е. переход системы из одного

состояния в другое происходит только в определенные моменты времени

называют шагами процесса. Обычно разности смежных моментов наблюдений

длине шага, принимаемого в качестве единицы времени,

- начало процесса.

§15. Дискретный марковский процесс. Цепь Маркова.

Эти моменты времени

равны постоянном числу –

     

,...2,1,0 SSS

  

skS 

ni ,...,3,2,1

,...2,1,0k

 

    

skSPkp 

ni ,...,3,2,1

...2,1,0k

  

skSP 

 

01p

 

0ip

00t

 

1k

     

 

ij j i

p k P S k s S k S   

nji ,...,3,2,1, 

Этот случайный процесс можно рассматривать как

последовательность (цепь) событий события вида

- начальное состояние системы, т.е. перед 1-м шагом;

- состояние системы после 1-го шага,

шага и т.д.

Марковский случайный процесс с дискретными

состояниями и дискретным временем называют марковской цепью (цепь Маркова).

Отметим, что цепь, в которой условные вероятности

состояний в будущем зависят только от состояния на данном, последнем шаге (и не зависят от предыдущих), называют простой цепью Маркова.

Будем рассматривать только простые цепи Маркова,

вычислять вероятности состояний системы

, где

;

- после 2-го

т.е.

Здесь

Здесь м шаге система будет находиться в состоянии

Для нахождения безусловной вероятности нужно знать

начальное распределение вероятностей

, т.е. вероятности состояний (начало процесса) и так называемые переходные

вероятности

Переходной вероятностью

вероятность перехода системы S на k-м шаге в состояние

, если известно, что на предыдущем

была в состоянии

- безусловная вероятность того, что на k.

в момент времени

марковской цепи на k-м шаге.

называют условную

-м шаге она

, т.е.

, …,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]