Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные величины. Цепи Маркова. В 2 частях. Ч.2. Двумерные случайные величины. Учебное пособие
.pdf
45
10
45,0
10,0
01
11
XYPxyp
45
15
45,0
15,0
00
12
XYPxyp
45
20
45,0
20,0
01
13
XYPxyp
45
10
45
20
1
45
15
0
45
10
1
1
xYM
55
15
55,0
15,0
1,1
21
XYPxyp
55
25
55,0
25,0
1,0
22
XYPxyp
55
15
55,0
15,0
1,1
23
XYPxyp
0
55
15
1
55
25
0
55
15
1
2
xYM
YX,
X
Y
5,5
YX
Согласно (8.2) имеем
Далее:
41
,
,
.
.
,
,
.
Следовательно,
Линия регрессии изображена на рис.8.1
Пример 3. Для двумерной случайной величины
найдены коэффициент регрессии
.
Рис.8.1
на
и
42
33
x
m
38
y
m
y
YX
x
mymx
2095,5385,533 yyx
2425,5 yx
X
Y
-1
0
1
0
0,10
0,15
0,20
0,45
1
0,15
0,25
0,15
0,55
0,25
0,40
0,35
1
xy 9,04,19
6,1
x
2,3
y
YX,
X
8
XY
5,21
x
m
5,23
y
m
Y
математические ожидания
и
. Составить
уравнение прямой линии регрессии X на Y.
Решение. Согласно формуле (8.101) уравнение прямой
линии регрессии X на Y имеет вид
.
Следовательно,
есть
.
, то
Задачи для аудиторного занятия и
самостоятельного решения
№8.1. Построить линию регрессии X на Y, если
дискретная двумерная случайная величина задана таблицей
№8.2. Уравнение прямой линии регрессии Y на X
имеет вид
отклонения равны
, а средние квадратичекие
,
. Найти коэффициент
корреляции r.
№8.3. По закону распределения двумерной случайной
величины
, вычислены: коэффициент регрессии Y на
и математические ожидания
. Записать уравнение прямой линии регрессии
на X.
§9. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева
Как известно, нельзя заранее уверенно предвидеть,
какое из возможных значений примет случайная величина
и
43
.
X
aXM
XD
0
2
XD
XMXP
2
1
XD
XMXP
mX
npaXM
npqXD
2
1
npq
npmP
X
в итоге испытаний. Это значение зависит от многих
причин, учесть которые невозможно. Однако зачастую
суммарное поведение достаточно большого числа
случайных величин почти утрачивает случайный характер
и становится закономерным, т.е. предсказуемым.
Для практики очень важно знать, при выполнении
каких условий можно предвидеть ход явления. Эти условия
сформулированы в теоремах, носящих общее название
«Закон больших чисел».
Неравенство Чебышева позволяет оценить вероятность
того, что модуль отклонения случайной величины от ее
математического ожидания не превышает положительного
числа
математическое ожидание
то для любого
форме:
Теорема 1. Если случайная величина
и дисперсию
справедливо неравенство Чебышева
. (9.1)
Неравенство Чебышева можно записать в другой
имеет
,
вероятности события, а в форме (9.2) – нижнюю.
случайных величин. В частности, для случайной величины
математическим ожиданием
вероятность того, что отклонение случайной величины
. (9.2)
В форме (9.1) оно устанавливает верхнюю границу
Неравенство Чебышева справедливо для любых
, имеющей биномиальное распределение с
и дисперсией
, оно принимает вид
. (9.3)
Пример 1. Оценить с помощью неравенства Чебышева
44
x
3
x
3
8889,0
9
8
9
1
1
3
13
2
2
x
x
x
XMXP
X
5,005,010 npXM
475,095,005,010 npqXD
2
1
XD
XMXP
5,0XM
475,0XD
2
88,0
4
475,0
125,0 XP
25,0 X
25,0 X
12,088,0125,0 XP
от своего математического ожидания будет меньше трех
средних квадратических отклонений, т.е. меньше
.
Решение. Полагая
Эта оценка, как известно, называется правилом трех
сигм. Для нормальной случайной величины эта
вероятность равна 0,9973.
Пример 2. Устройство состоит из 10 независимо
работающих элементов. Вероятность отказа каждого
элемента за время T равна 0,05. С помощью неравенства
Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная
величина разности между числом отказавших элементов и
средним числом (математическим ожиданием) отказов за
время T окажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.
Решение. а) Обозначим через
случайную величину – число отказавших элементов за
время T. Тогда
Воспользуемся неравенством Чебышева (9.2) получим:
в формуле (9.2), получаем
.
дискретную
;
.
.
Подставив сюда
получим
б) События
противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна
единице. Следовательно,
;
.
и
,
,
.
45
2
1
X
50
2
1
100 npXM
25
2
1
2
1
100 npqXD
50XM
105060
2
1
XD
XMXP
50XM
25XD
10
75,0
10
25
11050
2
XP
X
0,3
0,6
p
0,2
0,8
2,0 XMX
54,08,06,02,03,0 XM
2
2
XMXMXD
0144,054,08,06,02,03,0
222
Пример 3. Вероятность появления события A в
каждом испытании равна
Чебышева, оценить вероятность того, что число
появлений события A заключено в пределах от 40 до 60,
если будет произведено 100 независимых испытаний.
Решение. Найдем математическое ожидание и
дисперсию дискретной случайной величины X - числа
появлений события A в 100 независимых испытаниях:
Найдем максимальную разность между заданным
числом появления события и математическим ожиданием
. Имеем:
Воспользуемся неравенством Чебышева в форме (9.2):
Подставляя
Пример 4. Дискретная случайная величинаX задана
законом распределения
. Используя неравенство
,
.
.
,
,
.
, получим
.
Используя неравенства Чебышева, оценить
вероятность того, что
Решение. Найдем математическое ожидание и
дисперсию величины X:
.
;
.
46
2
1
XD
XMXP
54,0XM
0144,0XD
2,0
64,0
04,0
0144,0
12,054,0 XP
2,0 XMX
004,0XD
4
1
X
X
0,1
0,4
0,6
p
0,2
0,3
0,5
Воспользуемся неравенством Чебышева в форме (9.2):
.
Подставляя
окончательно получим
Задачи для аудиторного занятия и
самостоятельного решения
№ 9.1. Используя неравенство Чебышева, оценить
вероятность того, что случайная величинаX отклонится от
своего математического ожидания не меньше, чем на два
средних квадратических отклонения.
№ 9.2. Используя неравенство Чебышева, оценить
вероятность того, что
№ 9.3. В осветительную сеть параллельно включены
20 ламп. Вероятность того, что за время T лампа будет
включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева,
оценить вероятность того, что абсолютная величина
разности между числом включенных ламп и средним
числом (математическим ожиданием) включенных ламп за
время T окажется: а) меньше трех; б) не меньше трех.
№ 9.4. Вероятность появления события в каждом
,
, если
,
.
.
,
испытании равна
оценить вероятность того, что число
события заключено в пределах от 150 до 250, если будет
произведено 800 испытаний.
законом распределения
. Используя неравенство Чебышева,
появлений
№ 9.5. Дискретная случайная величинаX задана
47
4,0 XMX
,...,...,,
21 n
XXX
0
AX
n
n
1lim
AXP
n
n
1AXP
n
AX
n
Используя неравенство Чебышева, оценить
вероятность того, что
.
№ 9.6. Оценить с помощью неравенства Чебышева
вероятность того, что: а) при бросании монеты 500 раз
число выпадений герба будет заключено между 200 и 300;
б) при бросании 10 игральных костей сумма очков
отклонится от математического ожидания меньше, чем на
8.
№ 9.7. Дисперсия каждой из данных независимых
случайных величин не превышает 5. Найти число этих
величин, при котором вероятность отклонения их средней
арифметической от средней арифметической их
математических ожиданий менее, чем на 0,1, превысит 0,9.
№ 9.8. Оценить вероятность того, что при бросании
монеты 500 раз частость появления герба отклонится от
вероятности появления герба при одном бросании по
модулю менее, чем на 0,1.
§10. Теорема Чебышева
Основное утверждение закона больших чисел
содержится в теореме Чебышева. В ней используется
понятие «сходимости случайных величин по вероятности».
вероятности к величине A (случайной или неслучайной),
если для любого
при
(или
требует, чтобы неравенство
Случайные величины
сходятся по
вероятность события
стремится к единице, т.е.
(10.1)
).
Следует отметить, что сходимость по вероятности
выполнялось для
48
Nn
N
n
,...,...,,
21 n
XXX
С
1
11
lim
11
n
i
i
n
i
i
n
XM
n
X
n
P
1
1
lim
1
aX
n
P
n
i
i
n
подавляющего числа членов последовательности (в
математическом анализе – для всех
некоторое число), а при
практически все члены
, где
-
последовательности должны попасть в - окрестность A.
Теорема Чебышева. Если последовательность
попарно независимых случайных величин
имеет конечные математические ожидания, и дисперсии
этих величин равномерно ограничены (не превышают
постоянного числа
), то среднее арифметическое
случайных величин сходится по вероятности к среднему
арифметическому их математических ожиданий, т.е. если
- любое положительное число, то
. (10.2)
Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что
если рассматривается достаточно большое число
независимых случайных величин, дисперсии которых
ограничены, то почти достоверным можно считать
событие, состоящее в том, что отклонение среднего
арифметического случайных величин от среднего
арифметического их математических ожиданий будет по
абсолютной величине сколь угодно малым.
В частности, среднее арифметическое
последовательности попарно независимых величин,
дисперсии которых равномерно ограничены и которые
имеют одно и то же математическое ожидание a, сходится
по вероятности к математическому ожиданию a, т.е. если
- любое положительное число, то
. (10.3)
49
i
X
i
X
.
1
1
XX
n
a
n
i
i
n
i
i
XX
1
ni
i
XM
n
1
1
a
i
X
n
n
i
i
X
n
X
1
1
2
1
XD
XMXP
Теорема Чебышева обосновывает «принцип среднего
арифметического случайной величины
», постоянно
используемый на практике. Например, произведено n
независимых измерений некоторой величины, истинное
значение которой a (оно неизвестно). Результат каждого
измерения есть случайная величина
. Согласно формуле
(10.3), в качестве приближенного значения величины a
можно взять среднее арифметическое результатов
измерений:
Равенство тем точнее, чем
больше n.
Теорема Чебышева подтверждает связь между
случайностью и необходимостью: среднее значение
случайной величины
от неслучайной величины
практически не отличается
.
Пример 1. Глубина моря измеряется прибором, не
имеющим систематической ошибки. Среднее
квадратическое отклонение измерений не превосходит 15
м. Сколько нужно сделать независимых измерений, чтобы
с вероятностью, не меньше 0,9, можно было утверждать,
что среднее арифметическое этих измерений отличается от
(глубины моря) по модулю меньше, чем на 5 м?
Решение. Обозначим через
результаты
независимых измерений глубины моря. Применим к
случайной величине
неравенство Чебышева в
форме (9.2):
внимание, что
. Примем во
50
n
i
i
n
i
i
n
i
i
XD
n
XD
n
X
n
DXD
1
2
1
2
1
111
n
XDXDXD
n
...
1
21
2
n
C
Cn
n
CCC
n
22
1
...
1
i
X
CXD
i
ni ,...,2,1
2
11
1
11
lim
n
С
XM
n
X
n
P
n
i
i
n
i
i
n
aXM
i
5
225С
мXD 15
9,0
25
225
15
1
1
n
aX
n
P
n
i
i
n
9
1,0
90n
,...,...,,
21 n
XXX
n
X
n
0
n
(т.к. по условию теоремы Чебышева дисперсии всех
ограничены и
,
).
Нужно найти число n, которое удовлетворяет
неравенству (10.2):
,
где
, что означает отсутствие при измерениях
систематической ошибки (т.е. измерения производятся с
одинаковой точностью). По условию
как
.Отсюда
,
, так
,
т.е.
,
. Измерение нужно производить не менее
90 раз.
Пример 2. Последовательность независимых
случайных величин
задана законом
распределения
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]