Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в системах компьютерной математики. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Белгородский государственный технологический университет
им. В. Г. Шухова
М. В. Шевцова, М. В. Бронникова
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В СИСТЕМАХ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ
Утверждено ученым советом университета в качестве учебного пособия для
студентов направлений подготовки 09.03.04 – Программная инженерия профиля
«Разработка программно-информационных систем», 09.03.01 – Информатика и
вычислительная техника профиля «Вычислительные машины, комплексы,
системы и сети»
Белгород
2020
Ш37
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
в системах компьютерной математики: учебное пособие
/ М. В. Шевцова, М. В. Бронникова. — Белгород: Изд-во
БГТУ, 2020. — 114 с.
УДК 517.91
ББК 22.161.6
Ш37
Рецензенты:
Канд. физ.-мат. наук, доц. НИУ«БелГУ» В. А. Полунин
Канд. техн. наук, доц. БГТУ им. В. Г. Шухова А. С. Горлов
Шевцова, М. В.
В пособии изложены основные положения теории обыкновенных дифференциальных
уравнений и методы их решения. Все способы решения иллюстрируются на примерах. Для
задач рассмотрен вариант решения в системах компьютерной математики. Каждая глава
снабжена контрольными вопросами и заданиями для самостоятельной работы, что может
быть полезно при самоподготовке студентов.
Учебное пособие предназначено для студентов направлений подготовки 09.03.04 –
Программная инженерия профиля «Разработка программно-информационных систем»,
09.03.01 – Информатика и вычислительная техника профиля «Вычислительные машины,
комплексы, системы и сети», а также рекомендуется для студентов направления подготовки
09.03.03 – Прикладная информатика профиля «Прикладная информатика в бизнесе».
Данное издание публикуется в авторской редакции.
УДК 517.91
ББК 22.161.6
© Белгородский государственный
технологический университет
(БГТУ) им. В. Г. Шухова, 2020
3
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................... 5
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ЗАДАЧА КОШИ .......................................... 6
1.1.Основные понятия в теории дифференциальных уравнений ..................... 6
1.2. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в системах
компьютерной математики ........................................................................... 8
1.2.1. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в системе
Mathcad ............................................................................................... 8
1.2.2. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в системе
Maple ................................................................................................ 16
Вопросы для контроля ....................................................................................... 23
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ...... 24
2.1. Уравнения с разделяющимися переменными ........................................... 24
2.1.1. Уравнения с разделяющимися переменными ............................... 24
2.1.2. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися
переменными ................................................................................... 27
2.1.3. Задачи, приводящие к уравнениям с разделяющимися
переменными ................................................................................... 27
2.1.4. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с
разделяющимися переменными в системах компьютерной
математики ....................................................................................... 31
Задачи для самостоятельного решения ............................................................ 40
2.2. Однородные уравнения и приводящиеся к ним ....................................... 41
2.2.1. Однородные уравнения .................................................................. 41
2.2.2. Уравнения, приводящиеся к однородным .................................... 43
2.2.3. Обобщенно-однородные уравнения .............................................. 44
2.2.4. Решение однородных обыкновенных дифференциальных
уравнений и приводящихся к ним в системах компьютерной
математики ....................................................................................... 46
Задачи для самостоятельного решения ............................................................ 51
2.3. Линейные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним ............... 51
2.3.1. Линейные уравнения первого порядка.......................................... 51
2.3.2. Уравнения Бернулли ....................................................................... 54
2.3.3. Обобщенные уравнения Бернулли ................................................ 55
4
2.3.4. Решение линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка в системах компьютерной
математики ....................................................................................... 56
Задачи для самостоятельного решения ............................................................ 63
Вопросы для контроля ....................................................................................... 64
3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ... 65
3.1. Уравнения, допускающие понижение порядка ........................................ 65
3.1.1. Уравнения, содержащие производную функции высшего
порядка и функцию независимой переменной ............................. 66
3.1.2. Уравнения, не содержащие неизвестной функции y(x) и ее
первых k-1 производных ................................................................. 67
3.1.3. Уравнения, не содержащие независимой переменной х ............. 69
3.1.4. Уравнения, не содержащие независимой переменной х, а также
неизвестной функции y(x) и первых ее k-1 производных ............ 72
3.1.5. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений высших
порядков в системах компьютерной математики ......................... 72
Задачи для самостоятельного решения ......................................................... 78
3.2. Линейные дифференциальные уравнения ................................................. 79
3.2.1. Линейные однородные уравнения ................................................. 79
3.2.2. Линейные однородные обыкновенных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами ............................... 80
3.2.3. Линейные неоднородные уравнения ............................................. 82
3.2.4. Линейные неоднородные уравнения с постоянными
коэффициентами ............................................................................ 84
3.2.5. Решение линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений в системах компьютерной математики ....................... 86
Задачи для самостоятельного решения .......................................................... 109
Вопросы для контроля ..................................................................................... 111
ПРИЛОЖЕНИЕ. Правила отыскания частного решения линейного
неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
в зависимости от вида правой части уравнения .................................................. 113
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ............................................................ 114
5
ВВЕДЕНИЕ
Данное пособие предназначено для студентов направлений подготовки
09.03.04 – Программная инженерия профиля «Разработка программно-
информационных систем», 09.03.01 – Информатика и вычислительная
техника профиля «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети».
Широкое применение методов и средств компьютерной математики дает
возможность получить общие и частные решение обыкновенных
дифференциальных уравнений и их систем. С другой стороны, системы
компьютерной математики упрощают сам процесс решения, не требуя
определения типа уравнения и выбора метода решения. Поэтому данное
пособие может быть полезно для изучения дисциплины «Математический
анализ» в плане самоподготовки студентов, выполнения домашних и
контрольных заданий, самостоятельной работы.
Учебное пособие содержит изложение основных теоретических сведений
по теории обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем.
Рассмотрены методы решения каждого типа уравнений. Предложены
решения примеров средствами компьютерной математики. Материал
пособия разбит на три раздела. Первый раздел посвящен введению понятий
обыкновенного дифференциального уравнения, его общего и частного
решений, задачи Коши. Второй раздел посвящен изучению
дифференциальных уравнений первого порядка: уравнений с
разделяющимися переменными, однородных дифференциальных
уравнений, линейных уравнений первого порядка, в том числе уравнений
Бернулли. Третий содержит методы решения дифференциальных уравнений
высших порядков: уравнений, допускающих понижение порядка и
линейных однородных и неоднородных уравнений высших порядков.
В приложении приведена таблица правил отыскания частного решения
линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами в зависимости от вида правой части уравнения, которые
используются в примерах.
Каждый раздел пособия начинается с целей и задач изучения темы и
заканчивается вопросами для повторения и заданиями для самостоятельного
решения. Таким образом, для освоения каждого раздела необходимо
ознакомится с задачами изучения темы, найти решение этих задач внутри
раздела, и проверить себя в конце раздела.
6
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ЗАДАЧА КОШИ
Цели и задачи изучения темы
Освоить начальные понятия и основные определения теории
дифференциальных уравнений.
Научиться использовать начальные условия для решения задачи Коши.
1.1. Основные понятия в теории дифференциальных
уравнений
Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно
неизвестной функции, которое содержит хотя бы одну из производных этой
функции. Порядок старшей производной в уравнении называется порядком
уравнения.
Дифференциальные уравнения делят на две группы по количеству
входящих в них независимых переменных. Если переменная одна, то
уравнение называется обыкновенным. Если в уравнение входит функция
двух и более переменных, то уравнение называется уравнением в частных
производных.
Пример 1.1. – обыкновенное дифференциальное
уравнение первого порядка, – обыкновенное
дифференциальное уравнение (ОДУ) второго порядка,
дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.
В данном пособии рассматриваются ОДУ, которые имеют следующий
общий вид:
. (1)
Решением дифференциального уравнения называется любая функция,
ему удовлетворяющая. График этой функции называется интегральной
кривой.
Если решение уравнения (1) получено в неявном виде
, (2)
то соотношение (2) называется общим интегралом дифференциального
уравнения, а линия, определяемая соотношением (2), - интегральной кривой
–
7
данного уравнения.
Пример 1.2. Решим простейшее дифференциальное уравнение.
, (3)
.
Из примера 1.2 видно, что дифференциальное уравнение может иметь
бесконечно много решений. И это верно для любого дифференциального
уравнения: если оно имеет решение, то оно имеет бесконечное множество
решений. Решение (4) называется общим решением уравнения (3).
Решение, которое получено при конкретном значении С, называется
частным решением. Чтобы выделить частное решение, надо задать
начальное условие. Например, для уравнения (3):
. Геометрически
это означает, что из всех интегральных кривых надо найти кривую,
проходящую через точку .
Пример 1.3. Для уравнения (3) найти решение, удовлетворяющее
начальному условию . Подставив это условие в (4) и найдя
соответствующее значение С, получим частное решение уравнения (3):
Пример 1.4. Решим уравнение:
,
.
.
Чтобы найти частное решение, надо задать начальные условия:
,
. Из этих условий находят С1 и С2.
Из примеров следует, что начальные условия для разных уравнений
различны. Задача нахождения решения дифференциального уравнения,
удовлетворяющего данным начальным условиям, называется задачей Коши.
(4)
8
Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется
интегрированием дифференциального уравнения. При этом, если дело
свелось к вычислению интеграла, то уравнение считается решенным
независимо от того, можно взять интеграл или нет.
Дифференциальные уравнения, решения которых сводятся к
вычислению интеграла, называются уравнениями, разрешимыми в
квадратурах.
1.2. Решение обыкновенных дифференциальных
уравнений в системах компьютерной математики
Инженерные и научные задачи, возникающие при моделировании
технических устройств и процессов, приводят к решению различных
уравнений и их систем. Решение ОДУ занимает важное место среди
прикладных задач физики, техники, химии, например, ОДУ описывают
задачи химической кинетики, сопротивления материалов, электрических
цепей. Часто получение аналитического решения ОДУ трудно
алгоритмизировать, поэтому используют различные численные методы
решения для получения решения в явном виде или геометрически.
1.2.1. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
в системе Mathcad
Mathcad - это математически ориентированная универсальная система,
предназначенная для автоматизации решения массовых математических
задач в самых различных областях науки и техники.
Для решения дифференциальных уравнений с начальными условиями
система Mathcad имеет ряд встроенных функций, которые позволяют решать
задачу Коши различными численными методами:
rkfixed(y0, x0, x1, M, F ) – метод Рунге-Кутты 4-го порядка с
фиксированным шагом;
Rkadapt(y0, x0, x1, M, F) – метод Рунге-Кутты 4-го порядка с переменным
шагом (там, где решение меняется медленнее, шаг увеличивается, а в
области быстрого изменения решения шаг функции уменьшается).
Возвращается решение с равным шагом. Функция работает быстрее, чем
rkfixed;
Bulstoer(y0, x0, x1, M, F )– метод Булирша-Штера (дает более точное
решение);
9
y0 – вектор начальных значений в точке t0 размера 1N;
x0 – начальная точка расчета;
x1 – конечная точка расчета;
M – количество точек на интервале;
D – векторная функция размера N1 двух аргументов – скалярного x и
векторного y. При этом y – искомая векторная функция аргумента x того же
размера N1.
odesolve(x,x1,step) – методом Рунге-Кутты с фиксированным шагом. Для
решения задачи методом Рунге-Кутты с автоматическим выбором шага
нужно щелкнуть в рабочем документе по имени функции правой кнопкой
мыши и в контекстном меню выбрать пункт Adaptive.
x – переменная интегрирования;
x1 – конечная точка интегрирования;
step – шаг по переменной интегрирования;
В отличие от многих других встроенных функций Mathcad следует
соблюдать регистр первой буквы рассматриваемых функций, поскольку это
влияет на выбор алгоритма счета.
Пример 1.5. Решить дифференциальное уравнение первого порядка
при начальном условии на отрезке [1;5].
Решение данного уравнения представлено на рисунке 1.
Рис. 1
10
Рассмотрим ввод некоторых знаков, используемых в тексте:
– знак производной –комбинация клавиш Ctrl+F7;
– знак равно – комбинация клавиш Ctrl+=;
– знак присвоить – комбинация клавиш Shift+;
– степень числа – комбинация клавиш Shift+^;
– пара квадратных скобок с местозаполнителем внутри – комбинация
клавиш Ctrl+Shift+J;
– начальное значение индекса массива – определяет системная
переменная ORIGIN;
– индекс элемента массива – открывающаяся квадратная скобка ([);
– задание интервала – точка с запятой (;) либо кнопка на панели
Matrix (Матрица).
Все рассматриваемы комбинации клавиш вводятся в английской
раскладке клавиатуры (EN).
В Mathcad имеет значение вертикальный уровень расположения данных.
Если имя переменной используется выше, чем оно было определено, то оно
будет неопознанным (Not defined).
Чтобы увидеть само решение ОДУ – матрицы y1, y2, y3 – вводим имя
соответствующей матрицы и нажимаем на клавиатуре знак равно (=). По
полученной матрице можно построить график искомой функции. Для
наглядного сравнения алгоритмов счета отобразим графики полученных
решений ОДУ на одной координатной плоскости (рис. 2).
Чтобы вставить график функции следует нажать клавиши Shift+ @ или
на панели Graph (График) выбрать кнопку . В качестве абсциссы вводим
имя первого столбца матрицы y1. Для этого на панели Matrix нажимаем на
кнопку и вводим имя первого столбца . В качестве ординаты укажем
имена вторых столбцов полученных матриц. Подведем курсор к записи на
оси y и нажмем на запятую два раза, появится маркеры для ввода второй и
третьей функции. Введем описанным выше способом имена функций ,
, . Далее сделаем двойной щелчок левой клавишей мыши по
полученному графику. В появившемся диалоговом окне выберем вкладку
Traces (Столбцы) и изменим вид функций. Например, зададим следующие
параметры (рис. 3).
На одном графике можно наносить до 16 различных функций, для каждой
из которых можно изменять вид (сплошная линия, пунктир, точки), цвет,
толщину и т.д.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]