Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в системах компьютерной математики. Учебное пособие
.pdf
81
которое называется характеристическим.
Таким образом, для того, чтобы
необходимо, чтобы k являлось корнем характеристического уравнения.
Рассмотрим решение уравнения (26) в каждом из возможных случаев:
1. Корни характеристического уравнения действительные и
различные.
2. Корни действительные, но совпадают, то есть мы имеем корень
второй кратности.
3. Корни характеристического уравнения комплексные.
Разберем более подробно каждый из указанных случаев.
1. Если характеристическое уравнение имеет действительные и
различные корни k1 и k2, то ФСР уравнения (26):
, его общее решение запишем в виде:
Пример 3.12. Решим уравнение .
Решение.
Записываем характеристическое уравнение: его корни k
k
=-2. Поэтому ФСР:
2
, а общее решение имеет вид:
2. Если характеристическое уравнение имеет корень второй
кратности, то есть k1=k2=k, то ФСР (26) имеет вид:
, а общее решение будет:
дифференциального уравнения выше второго решения ищутся аналогично,
например:
, и т. д.
Пример 3.13. Решим уравнение
.
Решение.
Записываем характеристическое уравнение: его
корни k1=k2=-1, k
=-2. Поэтому
3
решение имеет вид:
было решением (26),
.
.
=2,
1
. При этом если, порядок
, а общее
.
82
3. Если характеристическое уравнение имеет пару сопряженно-
комплексных корней
, то ФСР (26) - это функции:
, а общее решение соответственно:
.
Пример 3.14. Решим уравнение .
Решение.
Его характеристическое уравнение имеет корни
. Поэтому общее решение будет:
.
Из свойств тригонометрических функций синуса и косинуса понятно, что
комплексно-сопряженный корень нового решения не дает.
3.2.3. Линейные неоднородные уравнения
Это уравнение вида
Запишем соответствующее однородное уравнение:
Справедливы утверждения:
1. Если u(x) – некоторое решение (27) и v(x) – некоторое решение (28),
то y(x)=u(x)+v(x) – решение (27).
2. Если u(x) –решение (27), а y1(х), y2(х),…, yn(x) – ФСР уравнения (28),
то решение (27) имеет вид:
Мы изложим метод нахождения решения (27), называемый методом
вариации произвольных постоянных.
Ограничимся случаем решения неоднородного уравнения второго
порядка. Пусть дано уравнение:
. (28)
(27)
.
83
. (29)
Пусть y1 и y2 – ФСР соответствующего однородного уравнения:
. (30)
Решения (27) будем искать в виде:
где с1(х), с2(х) – некоторые функции (если с1 и с2 – константы, то это решение
(30)).
Для определения с1(х), с2(х) требуется два уравнения. Одно мы получим,
подставив y в (29), а другое можно выбрать, как удобно. Найдем:
Выберем с1 и с2 таким образом, чтобы выражение для y’ было наиболее
простым. Пусть
, тогда
и
Подставим эти соотношения в уравнение (27) и сгруппируем слагаемые,
содержащие с1 и с2. Получим:
.
Поскольку каждая из скобок равна нулю, имеем:
Таким образом, для определения с1 и с2 имеем систему:
Находя из нее , находим потом с
Пример 3.15. Решим уравнение
Решение.
Запишем соответствующее однородное уравнение: . Решая
его путем замены y’=z(x), y’’=z’(x), получим z=c
.
(31)
и с2.
1
1
.
x,
,
.
.
.
84
Положим с1=0, с2=1, получим решение y1=1. Полагая с1=2, с2=0, получим
решение y2=x
2
. Тогда
Из второго уравнения получаем
уравнение, получаем:
. Тогда
общее решение исходного уравнения будет:
3.2.4. Линейные неоднородные уравнения с постоянными
коэффициентами
Если в уравнениях (27) и (28) функции pi(x) заменить на постоянные ai,
то они станут уравнениями с постоянными коэффициентами. Их также
можно решать методом вариации произвольных постоянных.
Мы рассмотрим другой метод решения уравнений второго порядка,
основанный на определении вида правой части уравнения. Мы находим
решение неоднородного уравнения как сумму решений общего
соответствующего однородного уравнения и частного решения
неоднородного:
Структуру частного решения неоднородного уравнения мы определяем
согласно таблице Приложения. А само решение получаем с помощью метода
неопределённых коэффициентов. Решение однородного уравнения
получаем путем метода, описанного в 3.2.2. Затем суммируем эти решения.
Пример 3.16. Решим уравнение
Решение.
Составим соответствующее однородное уравнение . Решая
характеристическое уравнение , получим: k
. Поскольку правая часть исходного уравнения
представляет собой многочлен второй степени, то учитывая общий вид
многочлена второй степени и данные таблицы Приложения, имеем:
. Составим систему (31):
, подставляя это в первое
.
.
. Поэтому
.
=1, k2=-1. Поэтому
1
85
.
Подставим эти соотношения в исходное уравнение и приравняем
коэффициенты при соответствующих степенях х. Имеем: А=1, В=0, С=2, то
есть Тогда
Пример 3.17. Решим уравнение .
Решение.
Составим соответствующее однородное уравнение .
Решая характеристическое уравнение , получим: k1=2, k2=1.
Поэтому
представляет собой выражение, содержащее sin(x), умноженный на
многочлен нулевой степени, то учитывая общий вид многочлена нулевой
степени и данные таблицы Приложения имеем:
.
Подставим эти соотношения в исходное уравнение и приравняем
коэффициенты при синусах и косинусах. Имеем: А=0,1, В=0,3, то есть
Тогда
Пример 3.18. Решим уравнение .
Решение.
Составим соответствующее однородное уравнение .
Решая характеристическое уравнение , получим
комплексные корни
Поскольку правая часть исходного уравнения представляет собой сумму
выражений, содержащее sin2x и содержащее экспоненту, умноженную на
многочлен нулевой степени, то мы должны рассмотреть вид правой части
для каждого отдельного случая, а потом просуммировать результаты.
Имеем:
Методом неопределенных коэффициентов находим
Далее:
. Поскольку правая часть исходного уравнения
. Поэтому .
.
.
86
Методом неопределённых коэффициентов получаем:
. Тогда
3.2.5. Решение линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений в системах компьютерной математики
Пример 3.19. Решить уравнение
Рассмотрим решение в системе Mathcad.
Запишем характеристическое уравнение и найдем его
корни:
. Зная корни характеристического уравнения,
запишем общее решение дифференциального уравнения (рис. 41).
Для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным
условиям, решим систему уравнений:
Решив систему, получим . Тогда частное решение имеет
вид:
.
.
.
87
Рис. 41
88
Пример 3.20. Решить уравнение
Рассмотрим решение в системе Mathcad.
Запишем характеристическое уравнение и найдем его
корни:
Уравнение имеет один действительный корень (кратности 2) (рис. 42).
Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид
Для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным
условиям, решим систему уравнений:
Решив систему, получим . Тогда частное решение имеет
вид
.
Пример 3.21. Решить уравнение .
Рассмотрим решение в системе Mathcad.
Запишем характеристическое уравнение и найдем его
решение:
.
Как видим, уравнение имеет комплексные корни (рис. 43). Общее решение
дифференциального уравнения в данном случае имеет вид
.
Следовательно, общее решение исходного уравнения
.
.
89
Рис. 42
90
Рис. 43
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]