Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в системах компьютерной математики. Учебное пособие
.pdf
61
Пример 2.28. Решить задачу Коши:
.
Рассматриваемое уравнение есть уравнение Бернулли, решим его в
системе Maple. Применив, функцию dsolve, получим решение в явном виде.
Решение представлено на рис. 32. Полученное решение имеет место,
поскольку возвращаемый результат функции odetest равен нулю. Результат
отличный от нуля не всегда означает, что полученное решение неверное;
иногда необходимы упрощения выражения с использованием функций типа
simplify, combine, expand, после чего функция odetest может вернуть ноль.
при начальном условии
Рис. 32
Пример 2.29. Решить уравнение:
.
Результат функции odeadvisor (рис. 33) показывает, что данное
дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Решение
получено в явном виде. В некоторых случаях удобнее представить решение
в неявном виде. Для этого используют функцию dsolve с опцией implicit.
Таким образом, общий интеграл данного уравнения имеет вид:
.
Считая все величины в соотношении вещественными, находим
62
Применив функцию odetest, проверим полученные явные и неявное
решения. Как видим получены верные решения.
Рис. 33
63
Задачи для самостоятельного решения
Найти общие решения линейных дифференциальных уравнений
первого порядка:
1.
2.
3.
4.
5.
6. .
7. .
8.
9. .
10.
11.
12. .
13. .
14.
Решить задачу Коши:
15. .
16. .
17.
Найти общие решения уравнений Бернулли:
1.
2. .
3.
4. .
5. .
6.
7. .
8.
Найти частные решения уравнений Бернулли, удовлетворяющие
начальным условиям:
1. .
2. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
64
3.
1. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением с
разделяющимися переменными?
2.Какова суть метода решения уравнения с разделяющимися
переменными?
3.Какие задачи могут быть решены с помощью дифференциальных
уравнений с разделяющимися переменными?
4.Что такое однородная функция?
5. Каков метод решения однородного дифференциального уравнения?
6. Что такое обобщенно-однородное дифференциальное уравнение?
Каков метод его решения?
7. Каков общий вид линейного дифференциального уравнения первого
порядка?
8. В чем суть метода Лагранжа решения линейного дифференциального
уравнения первого порядка?
9. В чем суть метода вариации произвольных постоянных?
10. Каков общий вид уравнения Бернулли?
11. Изложите метод решения уравнения Бернулли.
12. Каков общий вид и метод решения обобщенного уравнения
Бернулли?
.
Вопросы для контроля
65
3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Цели и задачи изучения темы
Рассмотреть основные типы дифференциальных уравнений высших
порядков.
Уметь определять тип дифференциального уравнения высшего порядка.
Уметь решать дифференциальные уравнения высшего порядка
понижением его порядка.
Рассмотреть методы решения однородных и неоднородных уравнений
высших порядков на примере соответствующего дифференциального
уравнения второго порядка.
3.1. Уравнения, допускающие понижение порядка
Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида
где х – независимая переменная, y – искомая функция, F определена и
непрерывна на некотором открытом множестве G.
Решение уравнения (14) на некотором интервале I действительной оси х
определяется как n раз непрерывно дифференцируемая функция y(x) такая,
что для всех х I точка (x,y(x),y'(x),y’’(x),…,y
которой в (14) это уравнение превращается в верное тождество.
Общим решением уравнения (14) называется функция
(15)
где С1, …, Сn – произвольные постоянные, которая при любом
фиксированном наборе этих постоянных определяет решение уравнения.
Если общее решение задано неявно соотношением
то (16) называется общим интегралом (14).
Чтобы поставить для (14) задачу Коши, позволяющую выделить
конкретное решение из всей совокупности решений, определённых
(14)
(n)
(x)) G и при подстановке
, (16)
66
формулой (15) или (16), нужно, в отличие от уравнения первого порядка,
задать не одно условие y=y(x0), x
значения производных искомой функции в точке х0 до n-1 включительно.
Задача Коши для уравнения (14) ставится следующим образом: найти
решение y(x) уравнения (14), удовлетворяющее начальным условиям:
Выбор чисел
подставить условия (17) в (15) или (16) и определить постоянные C1, C2,..,
Cn, удовлетворяющие уравнениям, полученным в результате подстановки.
Рассмотрим теперь различные случаи уравнения (14), которое при
помощи соответствующей замены неизвестной функции можно свести к
уравнению более низкого порядка.
3.1.1. Уравнения, содержащие производную функции высшего порядка
и функцию независимой переменной
Это уравнения вида
Интегрирование таких уравнений не сложно. Надо последовательно
проинтегрировать n раз.
Пример 3.1. Рассмотрим уравнение .
Решение.
Интегрируя данное уравнение один раз, получим:
Интегрируя далее:
Окончательно получаем:
I, а добавить к этому условию еще
0
. (17)
определяется тем, что точка
. Для решения задачи Коши нужно
.
.
.
.
67
3.1.2. Уравнения, не содержащие неизвестной функции y(x) и ее первых
k-1 производных
Это уравнения вида:
В таком случае использую подстановку z(x)=y
z’(x)=y
(k+1)
(x),…, z
(n)
(x)=y
порядок которого на k единиц ниже.
Находя общее решение для уравнения (18)
делаем обратную замену и решаем уравнение интегрированием k раз.
Если для уравнения (19) можно получить лишь общий интеграл
который удается разрешить относительно х, то решение уравнения
записывают в параметрическом виде, приняв за параметр z. Тогда
независимая переменная определится, как функция параметра, из
найденного общего интеграла, а при обратной замене мы получим значение
k-ой производной также как функции параметра. Таким образом, имеем:
Чтобы записать решение искомого уравнения в параметрическом виде,
надо определить y как функцию параметра. Запишем цепочку равенств:
(n-k))
. (18)
(k)
(x). Отсюда
(x) и от уравнения (19) переходят к уравнению
(19)
,
,
…
68
Определяя отсюда последовательно y
z, находим значение искомой функции в параметрическом виде и n
произвольных постоянных интегрирования, первые n-k из которых вошли в
параметрическое представление х, а остальные k появятся в процессе
интегрирования последних равенств. Значит, общее решение уравнения (18)
можно записать в виде:
Если общий интеграл уравнения (19) не разрешается относительно х, но
его удается параметризовать:
где t – параметр, то можно записать цепочку равенств:
Из этих равенств определяя последовательно y
параметра t, получим параметрическое решение уравнения (18).
Пример 3.2. Решим уравнение
Решение.
Уравнение не содержит искомой функции и ее первой производной,
поэтому, сделав замену z=y’’, придем к линейному уравнению z’+z=x, общее
решение которого имеет вид: . Значит,
.
Интегрируя дважды, получим:
(k-1)
,…,y’’,y’ как функции параметра
…
(k-1)
,…,y’’, y’ как функции
.
.
69
Согласно начальным условиям, имеем систему:
Из этой системы получаем: С1=1, С2=0, С3=0, следовательно, решение
задачи Коши имеет вид:
Пример 3.3. Решим уравнение .
Решение.
Положим y’=z(x), придем к уравнению с разделяющимися переменными
(z+1)z’=z/x, общий интеграл которого запишем в виде z+lnC1z=ln|x|. При
разделении переменных мы могли потерять решение z=0, которому
соответствует y=C. Проверкой удостоверяемся, что оно является решением.
Общий интеграл не удается разрешить относительно z, то, разрешив его
относительно х, получим x=C1zez. Будем искать решение в параметрическом
виде, приняв z за параметр. Записав равенство
dy=y’dx=y’d(C1zez)=C1z(1+z)ezdz, найдем y=C1(z2-z+1)ez+C2, что с
полученным выражением для х дает решение в параметрической форме.
Решение y=C содержится в этой серии при C1=0.
Пример 3.4. Решим уравнение .
Решение.
Сделаем замену y’=z(x), получим уравнение zz’+x=0. Общий интеграл
такого уравнения есть z2+x2=C
2
. Этот общий интеграл легко
1
параметризуется: x=C1sint, z=C1cost.
Имеем: dy=y’dx=C
2
cost d(sint)=C
1
2
cos2tdt=(1/2)C
1
3.1.3. Уравнения, не содержащие независимой переменной х
В таком случае уравнение имеет вид:
Используется прием введения новой функции y’=z(y). Тогда
.
.
2
(1+cos2t)dt. Отсюда
1
.
. (20)
70
y’’=z’(y)y’(x)=z’z. Аналогично вычисляются производные высших порядков.
Подставим выражения для этих производных в (20), получим уравнение,
порядок которого на единицу ниже, а роль независимой переменной играет
y:
Если для уравнения (21) удается найти общее решение z=(y,C1,…,C
то, подставив его в (20), придем к уравнению
интегрируя которое получим общий интеграл уравнения (20). Если для
уравнения (21), можно получить лишь общий интеграл
который удается разрешить относительно y, то решение уравнения (20)
записывают в параметрическом виде, приняв z за параметр. В этом случае
искомая функция, как функция параметра, определится из найденного
общего интеграла, а через первоначальную замену получим производную
параметра. Таким образом, имеем:
Интегрируя последнее уравнение, найдем x=(z,C1,…,Cn). В общем
случае, получим y=1(t,C1,…,C
n-1
интеграл. Подставляя эти равенства в (22), определим х как функцию
параметра t:
.
Пример 3.5. Решим уравнение
Решение.
Сделаем замену y’=z(y), y’’=z’z. Тогда имеем: yzz’=z2. Заметим, что z=0,
откуда следует, что y=C, является решением данного уравнения.
Пусть z0, тогда разделив на z, имеем: yz’=z. Разделяя переменные,
получим решение z=Cy. Производя обратную замену и интегрируя,
получаем общее решение исходного уравнения:
. (21)
,
), z=1(t,C1,…,C
.
,
. (22)
), параметризуя общий
n-1
n-1
),
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]