Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в системах компьютерной математики. Учебное пособие
.pdf
51
Поскольку C1 – произвольная постоянная, то полученное решение можно
записать в виде
Задачи для самостоятельного решения
Найти общие решения однородных линейных дифференциальных
уравнений первого порядка:
1. .
2. .
3. .
4.
5.
.
.
Найти решения однородных дифференциальных уравнений,
удовлетворяющие начальным условиям:
1. , если y(1)=0.
2.
, если y(-1)=0.
2.3. Линейные уравнения первого порядка
и приводящиеся к ним
2.3.1. Линейные уравнения первого порядка
Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида
. (8)
Функция q(x) называется свободным членом уравнения (8). Уравнение
. (9)
называется однородным линейным уравнением, соответствующим
уравнению (8).
Метод Лагранжа.
Рассмотрим метод решения уравнения (8), принадлежащий Лагранжу.
52
Будем искать решения в виде y(x)=u(x)v(x), где v(x) – какое-то любое одно
решение уравнения (9). Найдя v, мы подставим его в исходное уравнение и
найдем u.
Пример 2.21. Рассмотрим уравнение .
Решение.
Сделаем замену y(x)=u(x)v(x). Составим соответствующее однородное
уравнение (у нас p(x)=-2x): v’-2xv=0. Разделяя переменные, получим
, откуда имеем решение:
уравнение и выразим u’:
Беря по частям данный интеграл, получаем общее решение:
При решении мы делили на v, но оно не равно нулю, поскольку
Метод вариации произвольных постоянных.
Рассмотрим еще один метод решения уравнения (8). Суть метода
вариации произвольных постоянных состоит в том, что решение уравнения
(8) ищут в том же виде, что решение соответствующего уравнение (9), но С
уже считают не постоянной, а неизвестной функцией от x. Таким образом,
разделив переменные в уравнении (9), получим:
, откуда
Тогда
Подставляя y и y’ в уравнение (8), получим:
Следовательно,
.
.
. Подставим его в исходное
, или
. (10)
.
.
.
53
Подставив последнее выражение в (10), общее решение запишем в виде:
При решении конкретных уравнений не имеет смысл применять формулу
(11). Лучше проводить вычисления по схеме самостоятельно.
Пример 2.22. Рассмотрим уравнение
Решение.
Запишем соответствующее однородное уравнение:
Разделяя переменные и интегрируя, получаем .
Потенцируем:
. Найдем решение неоднородного уравнения в виде
Подставляя это выражение в исходное уравнение, получим:
откуда . Интегрируя, находим . Поэтому общее
решение уравнения имеет вид:
Пример 2.23. Рассмотрим уравнение .
Решение.
Оно не линейно относительно y, так как содержит y2, но линейно
относительно х. Иногда уравнения приводятся к линейным, если поменять
местами независимую переменную х и зависимую переменную y.
Данное уравнение можно переписать в виде
.
.
.
. (11)
.
,
.
54
,
Решая полученное уравнение, находим:
2.3.2. Уравнения Бернулли
Уравнение вида
(12)
называется уравнением Бернулли.
Разделим обе части уравнения на yn. Получим:
Так как
, то замена z=y
линейному относительно z:
.
При n>0 функция y=0 является решением уравнения (12), а при n<0 – не
является.
Пример 2.24. Рассмотрим уравнение
Решение.
Перепишем его в виде
Откуда
Это уравнение Бернулли при n=-1. Делаем замену z=y2, тогда
.
.
,
1-n
. (13)
.
приводит это уравнение к
.
55
Решая полученное линейное уравнение, находим:
Возвратимся к прежним переменным:
К этому общему решению следует добавить y=0, потерянное при
приведении уравнения к виду (13).
Обобщенным уравнением Бернулли называются уравнения вида
где (y) – некоторая дифференцируемая функция. Сделаем замену z=(y),
z’=’(y)y’, приходим к линейному уравнению
Пример 2.25. Рассмотрим уравнение
Решение.
Роль функции (y) в этом уравнении играет функция ln y.
Заменяя z(x)=ln y(x), z’=y’/y, приходим к уравнению
Делая обратную замену, получим
. Подставим эти выражения в (13):
откуда
.
.
2.3.3. Обобщенные уравнения Бернулли
.
.
.
.
56
2.3.4. Решение линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка в системах компьютерной математики
Рассмотрим примеры решения уравнений данного типа в компьютерной
системе Mathcad.
Пример 2.26. Решить задачу Коши:
.
Сначала сделаем подстановку (рис. 27).
, при начальном условии
Рис. 27
Решаем полученное уравнение с разделяющимися переменными,
находим функцию v(x). Вводим функцию P(x,u,v), выделяем коэффициенты
при du и dx (рис. 28). Решаем очередное уравнение с разделяющимися
57
переменными, находим функцию u(x)
Находим общее решение дифференциального уравнения и значение
константы C, удовлетворяющее начальному условию. Для этого применим
блок решения уравнений Given…Find и найдем значение α. Делаем
подстановку и находим решение дифференциального уравнения,
удовлетворяющее начальному условию (рис. 29).
Рис. 28
58
Рис. 29
Пример 2.27. Решить задачу Коши: при начальном
условии .
Рассматриваемое уравнение является уравнением Бернулли. Сделаем
замену y(x)=u(x)*v(x). Введем вспомогательную функцию
G(x,u,dx,du):=F(x,y,y’) и переменные:
, u(x)=x,
v(x)=v. Полученную функцию умножаем на dx, упрощаем и собираем
слагаемые с u. Далее алгоритм решения подобен алгоритму предыдущей
задачи.
,
59
В итоге, решив очередное уравнение с разделяющимися переменными и
сделав подстановку, находим решение дифференциального уравнения,
удовлетворяющее начальному условию (рис. 30, 31).
Рис. 30
60
Рис. 31
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]