Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в системах компьютерной математики. Учебное пособие
.pdf
71
Пример 3.6. Решим уравнение .
Решение.
Сделаем замену y’=z(y), y’’=z’z. Разделим уравнение на z, учитывая, что
z=0, откуда следует, что y=C, является решением данного уравнения. Общее
решение полученного уравнения имеет вид: z=y2+C1.
Делая обратную замену, придем к уравнению y’=y2+C1. Здесь следует
различать два случая зависимости от знака С1 и также случай С1=0, поэтому
заменим С1 на С
2
и проинтегрируем уравнение, получим два семейства
1
решений:
которые вместе с найденным решением y=C и решением
получается при С1=0, дают все решения уравнения.
Пример 3.7. Решим уравнение
Решение.
Сделаем замену y’=z(y), тогда после подстановки исходное уравнение
будет иметь вид: 2zz’=ey и разрешится в виде общего интеграла y=ln|z2+C1|.
Приняв z за параметр, получим dx=2dz/(z2+C1). Поэтому, как в
предыдущем примере, имеем три параметрических семейства решений
уравнение, в которых параметрическое представление искомой функции
определено выше, а представление независимой переменной задается
формулами
Пример 3.8. Решим уравнение
Решение.
После замены y’=z(y) уравнение примет вид 2yzz’-3z2-y2=0. Это
уравнение Бернулли, общий интеграл которого: z2+y2-C1y3=0. Так как в него
входят однородные функции от z и y, степени которых отличаются на
единицу, для его параметризации сделаем подстановку z=ty, y0.
Получим y=(t2+1)/C1, z=(t3+t)/C1. Отсюда имеем dx=2dt/(t2+1),
x=2arctgt+C2. Кроме того, проверкой убеждаемся, что y=0 – тоже решение.
.
.
,
, которое
.
.
72
Исключив параметр t, можно записать общее решение уравнения.
3.1.4. Уравнения, не содержащие независимой переменной х,
а также неизвестной функции y(x) и первых ее k-1 производных
В таком случае уравнение имеет вид:
Уравнение (23) можно рассматривать как частный случай уравнения (20),
а также уравнения (18). Однако, если сразу сделать замену y’=z(y), то
порядок уравнения понизится лишь на единицу, и оно окажется уравнением
типа (20), но довольно сложного вида.
Поэтому сначала надо осуществить более простую замену z=y
приведет нас к уравнению (20), порядок которого будет n-k, а неизвестной
функцией будет z.
Далее сделаем замену z’=p(z) и понизим порядок уравнения (23) еще на
одну единицу. Если удастся найти общее решение полученного уравнения,
то, определив z(x), общее решение уравнения (23) можно найти, интегрируя
(k)
z=y
. В остальных случаях решение приходится искать в параметрическом
виде.
Пример 3.9. Решим уравнение
Решение.
Сделаем последовательные замены y’=z(x), z’=p(t), придем к уравнениям
z+z’’=1, z+pp’=1.
Общий интеграл последнего уравнения запишется:
p2+(z-1)2=C
2
.
1
Введем его параметризацию, полагая p=C1cost, t=1+C1sint.
Из равенства z’=p(t) находим dx=dz/p=dt, x=t+C2.
Следовательно, dy=zdx=(1+C1sint)dt, откуда y=t-C1cost+C3. Выразив
параметр t через х, можно записать общее решение уравнения.
3.1.5. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений высших
порядков в системах компьютерной математики
Пример 3.10. Решить задачу Коши
,
на отрезке [0,2π].
Рассмотрим решение в системе Mathcad.
Для решения уравнения применим вычислительный блок Given/odesolve,
реализующий численный метод Рунге-Кутты. В Mathcad пользователь
. (23)
(k)
.
при начальных условиях:
, что
73
может выбирать между тремя модификациями метода Рунге-Кутты. Для
этого для функции odesolve нужно вызвать контекстное меню и выбрать
одну из предложенных модификаций:
Adams/BDF - смешанный алгоритм Адамса и обратной формулы
дифференцирования;
Fixed – метод Рунге-Кутты с фиксированным шагом;
Adaptive – метод Рунге-Кутты с переменным шагом;
Radau – алгоритм RADAUS для жестких систем ОДУ.
Напоминаем, что результатом блока Given/odesolve есть функция y(x),
определенная на интервале (x0, x1). Средствами Mathcad построить график
функции y(x) или получить значение функции в какой-либо точке из
указанного интервала (рис. 34).
Рис. 34
Далее последовательно проинтегрировав исходное уравнение, получим
общее решение уравнения (рис. 35).
74
Рис. 35
Рис. 36
75
Затем при заданных начальных условиях вычислим значения C1, C2 и C3
(рис. 36). Подставив полученные значения постоянных в общее решение,
получим частное решение и построим график полученной функции. С
геометрической точки зрения частное решение определяет одну из кривых
семейства интегральных кривых на плоскости Oxy, определяемое общим
решением дифференциального уравнения.
Для решения исходного уравнения в системе Maple применим функцию
odesolve, а для построения графика интегральной кривой – функцию plot,
предварительно отделив в переменную y1 правую часть полученного
решения при помощи функции rhs (рис. 37).
Пример 3.11. Решить задачу Коши
условиях:
Рис. 37
.
при начальных
76
Рис. 38
Для решения в системе Maple применили функцию dsolve (рис. 38).
Найдем графическое решение исходного уравнения в Mathcad. Сначала
решим задачу Коши, используя функцию odesolve, и построим график
полученного решения (рис. 39).
Рис. 39
77
Для решения уравнения с помощью функции rkfixed (рис. 40) выполним
замену переменных:
дифференциальное уравнение третьего порядка к трем дифференциальным
уравнениям первого порядка:
получим решение дифференциального уравнения, представленное в
табличной форме. Расчетная матрица содержит четыре столбца: первый –
для аргумента x, оставшиеся столбцы – для y(x), y’(x) и y’’(x).
и приведем
. В результате
Рис. 40
78
Задачи для самостоятельного решения
Найти общие решения линейных дифференциальных уравнений
методом понижения порядка:
1. .
2. .
3.
4.
5.
6.
.
.
.
.
7. .
8. .
9.
10.
.
.
Найти частные решения дифференциальных уравнений,
удовлетворяющие начальным условиям:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
.
.
.
.
.
.
.
79
3.2. Линейные дифференциальные уравнения
3.2.1. Линейные однородные уравнения
Уравнение вида
в котором функции pi(x) определены на некотором интервале (a; b),
называется линейным однородным дифференциальным уравнением n- ого
порядка.
Остановимся на его некоторых свойствах:
1. Если y1 и y2 – решения (24), то y1 + y2 – тоже решение этого
уравнения.
2. Если у – решение (24) то су, где с – произвольное число, тоже
решение этого уравнения.
Для дальнейшего изложения нам понадобится понятие линейной
независимости функций. Функции y1(х), y2(х),…, yn(x) называются линейно
независимыми на (a;b), если из тождественного равенства
с1y1(х)+с2y2(х)+…+сnyn(x)0, где с
следует, что с1=с2=…=сn=0. В противном случае, функции линейно
зависимы.
Например, функции 1, х, х2, …, хn линейно независимы на (-;+),
поскольку с1+с2х+…+с
слева – многочлен степени n, а он может обращаться в нуль не более, чем в
n точках. А функции 1, sin2x, cos2x – линейно зависимы на (-;+), так как
sin2x +cos2x-10.
Пусть дана система функций y1(х), y2(х),…, yn(x), определенных на (a;b).
Определитель
называется определителем Вронского данной системы функций.
Справедливо утверждение: если функции y1(х), y2(х),…, yn(x) линейно
зависимы на (a;b), то их определитель Вронского тождественно равен нулю
на (a;b).
xn0 тогда и только тогда, когда все сi=0, так как
n+1
, (24)
, с2,…, сn – произвольные постоянные,
1
80
Утверждение, обратное данному, неверно, то есть из того, что
определитель Вронского тождественно равен нулю не следует, что
функции линейно зависимы.
Однако, справедливо следующее утверждение: если y1(х), y2(х),…, yn(x) –
решения (24) и их определитель Вронского не равен нулю хотя бы в одной
точке, то они линейно не зависимы.
Любая система n линейно независимых решений (24) называется его
фундаментальной системой решений (ФСР).
Справедливы утверждения:
1. Для всякого уравнения вида (24) ФСР существует.
2. Если y1(х), y2(х),…, yn(x) – ФСР уравнения (24), то его общее решение
имеет вид:
где с1, с2,…, сn – произвольные постоянные.
3.2.2. Линейные однородные ОДУ с постоянными
коэффициентами
Уравнение вида
в котором коэффициенты ai, i=1,…, n – действительные постоянные,
называется линейным однородным дифференциальным уравнением n-ого
порядка c постоянными коэффициентами.
Ограничимся рассмотрением уравнения вида (25) второго порядка. Оно
выглядит следующим образом:
. (26)
Будем его решения искать в виде
Подставим эти решения в (26) и разделим обе части уравнения на ekx.
Получим уравнение
,
, (25)
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]