Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в системах компьютерной математики. Учебное пособие
.pdf
21
Рис. 10 (Окончание)
Пример 1.10. Решить дифференциальное уравнение четвёртого порядка
с начальными условиями: ,
на отрезке [0; 2π].
Решение данного уравнения приведено ниже (рис.11).
,
22
Рис. 11
DEtools – пакет для работы с ОДУ, содержит команды для исследования,
визуализации решений, преобразования ОДУ и т. д
Команда DEplot из указанного пакета строит двумерные графики
решений ОДУ, а также фазовые портреты и поле направлений. Эта команда
аналогична команде odeplot, но более функциональна, поскольку сама
производит численное решение дифференциального уравнения.
Ниже представлены основные параметры команды DEplot:
vars – список неизвестных функций;
trange – диапазон изменения независимой переменной;
inits – список или множество начальных условий;
xrange и yrange – диапазоны изменения первой и второй зависимых
переменных (функций);
options – дополнительные параметры.
23
Для решения дифференциального уравнения n-го порядка начальные
условия можно задавать в компактной форме: [x0, y0, y'0, y''0,…], где x0
точка, в которой задаются начальные условия; y0 значение искомой
функции в точке x0; y'0, y''0,… значения производных: первой, второй и т.д.
до (n1)-го порядка.
Наиболее часто используемые графические параметры команды DEplot:
linecolor цвет линии;
сolor – цвет стрелок;
arrows=SMALL, MEDIUM, LARGE, LINE или NONE – тип стрелок
(значение NONE установлено по умолчанию);
scene определяет, какие зависимости выводить на график: scene=[x,y] –
двумерный портрет, scene=[t,x,y] – трехмерный портрет;
iterations число итераций, необходимое для повышения точности
вычислений (по умолчанию это число равно 1);
stepsize число, равное расстоянию между точками на графике, по
умолчанию равно (x2x1)/48, параметр для вывода более гладкой кривой;
obsrange = true/false прерывать или нет вычисления, если график
решения выходит за установленный для рисования интервал.
Вопросы для контроля
1. Какое уравнение называется дифференциальным?
2.Что такое порядок дифференциального уравнения?
3.Какое дифференциальное уравнение называется обыкновенным?
4.Что такое общее и частное решения дифференциального уравнения?
5. Что такое задача Коши?
6. Какие дифференциальные уравнения называются разрешимыми в
квадратурах?
24
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Цели и задачи изучения темы
Рассмотреть основные типы дифференциальных уравнений первого
порядка.
Уметь определять тип дифференциального уравнения первого порядка.
Уметь решать дифференциальные уравнения первого порядка путем
соответствующей его типу подстановки.
Рассмотреть типовые задачи, решаемые с помощью дифференциальных
уравнений первого порядка.
2.1. Уравнения с разделяющимися переменными
2.1.1. Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнения с разделяющимися переменными – это уравнения вида
(5)
Если
Пусть , тогда разделим обе части уравнения (5) на
Записывая y’как
В последнем уравнении переменные разделены, т.е. с одной стороны
уравнения – одна переменная, а с другой стороны – другая (отсюда и
название).
Интегрируя обе части последнего уравнения, получим интегральное
уравнение и решение уравнения (5):
Заметим, что при разделении переменных могут теряться решения вида
, то y=y
– решение уравнения.
0
.
и умножая обе части уравнения на dx, получим:
.
.
:
25
x=x0 и y=y
за счет обращения в нуль функций и
0
потерянное решение не может быть получено из общего решения при какомто значении С=С0, его необходимо также включить в ответ.
Пример 2.1. Решим уравнение
.
Решение. Заметим, что y=0 – решение данного уравнения.
Пусть y0, тогда разделим переменные:
.
Интегрируем последнее уравнение (не нарушая правил, заменим
константу С на ln|C|):
Таким образом, – окончательное решение.
Заметим, что решение y=0 можно включить в данное решение, полагая в
нем С=0.
Пример 2.2. Рассмотрим уравнение (задачу Коши):
.
Решение. Разделяя переменные, получим:
.
Интегрируем полученные выражения:
,
.
Мы получили решение в неявном виде, т.е. так называемый общий
интеграл дифференциального уравнения. Подставим в него начальные
условия: x=1, y=1. Находим значение С=3 и подставляем его в общий
интеграл. Таким образом, решение задачи Коши следующее:
. Поэтому, если
26
В процессе преобразования уравнения мы делили на y. Подставив
в исходное уравнение, убеждаемся, что тоже является решением и не
получается из общего интеграла ни при каком значении С.
Пример 2.3. Решим уравнение:
Решение. Перепишем его в виде
Разделив переменные, получим:
Проинтегрируем:
Заменяя С на ln|C| и потенцируя, окончательно получаем:
Отдельно требуется исследовать случаи и . Первый
случай дает нам фукнции и , являющиеся решениями исходного
уравнения, а второй функции , которые уравнению не
удовлетворяют. Так как содержится в общем интеграле при С=0, то к
нему следует прибавить лишь решение .
.
.
,
откуда
.
.
.
.
27
2.1.2. Уравнения, приводящиеся к уравнениям
с разделяющимися переменными
К таким уравнениям относятся уравнения вида:
.
Сделав в таком уравнении замену , получим уравнение с
разделяющимися переменными
Пример 2.4. Рассмотрим уравнение
Решение. Сделаем замену .
Тогда
уравнение:
откуда
.
или
.
. Подставим это в исходное
,
.
Интегрируя последнее уравнение и делая обратную замену, получим:
, откуда
.
Поскольку выражение не обращается в нуль ни при одном
значении z, потери решений не произошло.
2.1.3. Задачи, приводящие к уравнениям
с разделяющимися переменными
Рассмотрим применение дифференциальных уравнений для решения
прикладных задач.
28
При составлении дифференциальных уравнений в физических задачах
важно правильно выбрать независимую переменную и искомую функцию,
описывающую происходящий процесс. За независимую переменную, как
правило, берется время t от начала процесса. Рассматривая приращение
искомой функции за произвольный малый промежуток времени и выражая
это приращение через данные, указанные в задаче, в пределе, при
стремлении времени к нулю, получают дифференциальное уравнение. Часто
дифференциальное уравнение можно составить, исходя из физического
смысла производной. Так производная неизвестной функции x(t) означает
скорость ее изменения: x(t) – путь, x’(t) – скорость, x’’(t) – ускорение и т.д.
При составлении дифференциальных уравнений в геометрических задачах
используется геометрический смысл производной.
Пример 2.5. Пуля, двигаясь со скоростью v0=400 м/с, пробивает стену
толщиной h=0,2 м и вылетает из нее со скоростью v1=100 м/с. Считая силу
сопротивления стены пропорциональной квадрату скорости движения пули,
найти время Т движения пули в стене.
Решение. Согласно второму закону Ньютона, сумма сил, действующих
на тело, векторно равна ускорению тела, умноженному на его массу.
Ускорение тела есть
(знак «-» соответствует направлению силы сопротивления).
Кроме того, на нее действует сила тяжести mg, которой в данной задаче
можно пренебречь. Следовательно, уравнение движения пули имеет вид
. Массу пули можно считать единичной. Поэтому запишем
уравнение в виде:
Решая его, получаем
получим 1/C=v
откуда
пулей в стене, равен
. После этого подставив С=Т, получим
0
. Осталось определить величину k. Путь, пройденный
. На пулю действует сила сопротивления
, откуда
. Вычислим этот интеграл:
.
.
. Подставив t=0,
,
29
Подставив сюда численные данные, указанные в условии, получим:
Наконец,
Пример 2.6. На дне цилиндрического резервуара, заполненного
жидкостью, образовалось отверстие. В течение первых суток вылилось 10 %
содержимого. Определить, когда из сосуда вытечет половина жидкости.
Скорость истечения жидкости через малое отверстие, находящееся на
расстоянии h ниже уровня жидкости, равна (закон Торричелли), где
- некоторый коэффициент. Будем считать =0,6.
Решение. Обозначим h(t) уровень жидкости в резервуаре. Пусть S –
площадь основания резервуара, а s0 – площадь отверстия. Рассмотрим
промежуток времени от t до t+t. За этот промежуток количество жидкости
в резервуаре изменится на величину Sh(t+t)-Sh(t). С другой стороны, в
течение этого промежутка уровень жидкости равен h(t)+(t), где (t)=о(t) –
величина большего порядка малости, чем t. Следовательно, количество
жидкости, вытекшей за это время, будет равно .
Отсюда
.
Поделим обе части уравнения на St и перейдем к пределу при t0.
Получим
уравнение
Его решение . Поскольку нам нужно найти время, а не
высоту, не будем выражать h из этого соотношения.
Будем считать высоту резервуара равной 1. Тогда из условий задачи
вытекает, что h(0)=1 и h(24)=0,9. Первое из этих равенств дает С=2, тогда из
второго следует, что . Нам требуется решить уравнение
, откуда .
. Обозначив
.
.
, получим для функции h
30
(x0,y0)
O
A
B
y
x
h(T)=0,5. Тогда Т удовлетворяет уравнению , из которого
Ответ: примерно через 68 ч 30 мин.
Пример 2.7. Найти кривую, проходящую через точку (2,3) и обладающую
тем свойством, что отрезок произвольной ее касательной, концы которого
лежат на осях координат, делится точкой касания пополам.
Решение.
Изобразим на рисунке эскиз графика функции y(x) и проведем в какойлибо его точке (x0, y0) касательную (рис. 12). Отметим точки А и В ее
пересечения с осями координат. Условие задачи означает, что точка касания
делит отрезок АВ пополам.
Очевидно, это равносильно тому, что абсцисса xA точки А по абсолютной
величине вдвое больше абсолютной величины абсциссы x0. Чтобы составить
дифференциальное уравнение кривой, нам необходимо определить xA.
Запишем уравнение касательной к кривой в точке (x0, y0):
Подставив y=0, получим
смысл производной (тангенс угла наклона касательной к графику функции в
точке с положительным направлением оси абсцисс), находим, что в
соответствующих квадрантах значения x0, y0, y’(x0) имеют следующие знаки:
в первом квадранте x0>0, y0>0, y’(x0)<0; во втором квадранте x0<0, y0>0,
y’(x0)>0; в третьем квадранте x0<0, y0<0, y’(x0)<0; в четвертом квадранте
x0>0, y0<0, y’(x0)>0. Следовательно, для искомой кривой должно
.
Рис. 12
.
. Учитывая геометрический
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]