Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в системах компьютерной математики. Учебное пособие
.pdf
41
2.2. Однородные уравнения и приводящиеся к ним
2.2.1. Однородные уравнения
Это уравнения вида:
где – однородная функция.
Функция называется однородной степени m, если выполняется
условие .
Например, функции
являются однородными степеней 1 и 4, а функция
не является однородной.
Можно показать, что однородное уравнение (6) приводится к виду:
Однородное уравнение подстановкой сводится к
уравнению с разделяющимися переменными. Производная y’ и
дифференциал dy заменяются формулами соответственно:
или .
Тогда подставляя эти выражения в уравнение, имеем:
,
– уравнение с разделяющимися переменными.
После решения такого уравнения необходимо сделать обратную замену
.
Пример 2.12. Решим уравнение .
Решение. Выразим y’:
Делаем замену:
, .
Получим:
, (6)
.
.
42
,
,
Выражая из полученного равенства u и производя обратную замену
окончательно получаем:
.
Проверим условия x=0 и , на которые мы делили в процессе
решения. Получается, что x=0 не является решением исходного уравнения,
u=-1 является решением уравнения
получается из общего интеграла ни при каком значении С. То есть мы имеем
еще одно решение y=-x.
Пример 2.13. Решим уравнение (задачу Коши)
Решение. Сделаем замену .
Тогда уравнение перепишем в виде
Разделив переменные, получим:
.
Преобразуем дробь в левой части последнего уравнения:
.
Интегрируя полученное уравнение, имеем:
, или
Производя обратную замену, окончательно получаем:
, или
,
.
, откуда
.
.
,
. Однако, оно не
.
.
43
В процессе решения мы делили на x, u,
уравнения, а u=0 и u=1 являются решениями. То есть исходное уравнение
имеет еще два решения y=0 и y=x. Но последнее решение входит в общее,
а y=0 не входит.
Для решения задачи Коши подставим в общее решение x=0, y=-1.
Получим
.
Пример 2.14. Решим уравнение .
Решение.
При дифференциалах dx и dy стоят однородные функции, поэтому это
однородное уравнение. Сделаем подстановку ,
. Получим
Преобразуем данное уравнение
, , или
Решая последнее уравнение, получаем
, или .
Возвращаясь к прежней переменной, имеем:
.
В процессе решения мы делили на u. u=0 дает решение y=0, которое
является решением исходного уравнения и входит в общее решение при С=0.
; x=0 не является решением
.
.
2.2.2. Уравнения, приводящиеся к однородным
Уравнение вида
приводится к однородному заменой
(7)
, где (x0, y0) –
точка пересечения прямых и . Если же
эти прямые не пересекаются, то для некоторого
и уравнение (7) имеет вид и приводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
Пример 2.15. Решим уравнение
.
44
Решение.
Сначала решим систему уравнений
находим x0=-1, y0=3. Сделаем замену a=x+1, b=y-3; тогда x=a-1, y=b+3,
dy/dx=db/da. Исходное уравнение принимает вид
.
Решив его с помощью подстановки b=ua, получим
.
Возвратимся к исходным переменным:
.
2.2.3. Обобщенно-однородные уравнения
Уравнение называется обобщенно-однородным, если его можно привести
к однородному заменой y=zm, где m – некоторое действительное число.
Пример 2.16. Рассмотрим уравнение .
Решение.
Делая в нем замену y=z
m
, получаем
того чтобы это уравнение было однородным относительно x и z, необходимо,
чтобы степени всех одночленов были одинаковыми: 2m-1=1+m=3. Эти два
равенства образуют систему двух уравнений относительно неизвестного m,
которая в общем случае решения не имеет. Однако, видно, что m=2 является
ее решением. Поэтому делаем замену y=z2, приходим к однородному
уравнению
.
Теперь подстановка z=xu приводит к уравнению
или
,
. Для
.
45
Сделаем еще одну замену u2=v, тогда
Интегрируя, получаем
, откуда
Сделав обратные замены
Мы производили деление на x, 3v-2, 3v-1. Видно, что x=0 не является
решением исходного уравнения. Случаи v=2/3 и v=1/3 дают соответственно
и . Подставляя эти фукнции в уравнение
убеждаемся, что они являются его решениями. Они
соответствуют решениям y=x3/3 и y=2x2/3 исходного уравнения. Второе из
этих решений содержится в окончательном общем решении уравнения при
С=0, а первое не содержится, поэтому его надо включить в ответ.
Замечание. Чтобы определить, будет ли уравнение обобщенно-
однородным, удобно ввести понятие измерения. Переменной x ставят в
соответствие измерение 1, искомой функции y – измерение m, а производной
y’ – измерение m-1. Число m пытаются подобрать так, чтобы измерения всех
членов, входящих в уравнение, были одинаковыми. Действия с измерениями
аналогичны действиям со степенями: измерения складываются, если два
члена уравнения перемножаются, измерение умножается на показатель
степени, если какой-то член уравнения возводится в степень. В примере 2.16
измерения членов 9yy’, -18xy, 4x3 равны соответственно m+(m-1), 1+m, 3.
Приравняв их все: 2m-1=+1m=3, найдем m=2. Можно сразу же делать
использованную в примере замену.
или
.
.
, окончательно получим:
.
46
2.2.4. Решение однородных обыкновенных дифференциальных
уравнений и приводящихся к ним в системах компьютерной
математики
Пример 2.17. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
в системе Mathcad.
Рис. 21
47
Данное уравнение является однородным дифференциальным
уравнением. Его решение приведено на рисунках 21 и 22. С помощью
функции substitute сделаем подстановку и .
Применив функцию simplify, упростим полученное выражение. В результате
описанных действий получим уравнение с разделяющимися переменными,
решив которое и произведя обратную замену, получим общий интеграл
дифференциального уравнения.
Рис. 22
Как видим, возможна потеря решения y=0 при u=0. Но y=0 является
48
решением исходного уравнения и входит в общее решение при С=0.
Пример 2.18. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
в системе Mathcad.
Сделаем замену α и . Затем с помощью блока решения
уравнений Given…Find найдем значения α и β (рис. 23).
Функция Find(x1, x2, …) возвращает значения неизвестных x1, x2, … ,
обращающих уравнения в верные тождества, т. е. возвращает точное
решение системы уравнений или одного уравнения в частном случае. Для
системы из n уравнений с n неизвестными решение возвращается в виде
вектора, состоящего из n элементов.
Рис. 23
Далее вводим функцию G(u,v,du,dv) и переменные: u:=v*t и
du:=dv*t+v*dt. Полученную функцию умножаем на dv и выделяем
49
коэффициенты при dt и dv (рис. 24). Решаем полученное уравнение с
разделяющимися переменными, делаем обратную замену и получаем общий
интеграл дифференциального уравнения.
Рис. 24
50
Пример 2.19. Решить уравнение в системе
Maple.
Решим уравнение, применив команду dsolve (рис. 25).
Рис. 25
Поскольку C1 – произвольная постоянная, то полученное решение можно
записать в виде
Пример 2.20. Решить уравнение
в системе Maple.
Решение данного уравнения приведено на рисунке 26.
Рис. 26
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]