Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение инженерных задач в пакете MathCAD. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (СИБСТРИН)
Ю.Е. Воскобойников, А.Ф. Задорожный,
Л.А. Литвинов, Ю.Г. Черный
РЕШЕНИЕ ИНЖЕНЕРНЫХ
ЗАДАЧ
В ПАКЕТЕ MATHCAD
Учебное пособие
Рекомендовано Новосибирским региональным
отделением УМО вузов Российской Федерации по образованию
в области строительства в качестве учебного пособия
для студентов, обучающихся по направлению
270800.62 «Строительство»
Под редакцией д-ра физ.-мат. наук, профессора
Ю.Е. Воскобойникова
НОВОСИБИРСК 2013
УДК 004.9
ББК 32.97
Р 47
Решение инженерных задач в пакете MathCAD : учеб. пособие /
Ю. Е. Воскобойников [и др.] ; под ред. Ю. Е. Воскобойникова ; Новосиб. гос. архитектур.-строит. ун-т (Сибстрин). – Новосибирск : НГАСУ
(Сибстрин), 2013. – 120 с.
ISBN 978-5-7795-0641-0
В учебном пособии рассмотрено решение различных инженернотехнических задач в математическом пакете MathCAD версии 14, как
с использованием встроенных (стандартных) функций пакета, так и с
программированием необходимых вычислительных алгоритмов.
Изложение сопровождается большим числом примеров и задач,
что способствует лучшему усвоению материала. В конце глав приводятся вопросы и задания для самопроверки полученных знаний.
Учебное пособие предназначено для бакалавров, обучающихся по
направлениям «Строительство», «Информационные системы и технологии», при изучении учебных курсов «Информатика», «Математические пакеты». Учебное пособие будет полезно магистрантам, аспирантам и инженерам, использующим в своих расчетах этот математический пакет.
Печатается по решению издательско-библиотечного совета
НГАСУ (Сибстрин)
Рецензенты:
А.А. Воевода, д-р техн. наук, профессор (НГТУ);
М.С. Соппа, д-р физ.-мат. наук, профессор, завкафедрой
физики (НГАСУ (Сибстрин));
В.П. Умрихин, канд. техн. наук, доцент, завкафедрой
вычислительной математики (НГАВТ)
ISBN 978-5-7795-0641-0
Воскобойников Ю.Е.,
Задорожный А.Ф., Литвинов Л.А.,
Черный Ю.Г., 2013
Новосибирский государственный
архитектурно-строительный
университет (Сибстрин), 2013
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ....................................................................................... 5
Глава 1. РЕШЕНИЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ................ 6
Решение оптимизационных задач без ограничений ........... 6
1.1.
1.2.
Решение оптимизационных задач с ограничениями .......... 7
1.3. Решение оптимизационных задач из условий
экстремума целевой функции ................................................... 13
Глава 2. ЗАДАЧИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
И СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ ....................................... 19
2.1. Единицы измерения физических величин в пакете
MathCAD ..................................................................................... 19
2.2. Решение задач статики и кинематики в пакете
MathCAD ..................................................................................... 22
2.3.
Решение задач динамики в пакете MathCAD ................... 29
Глава 3. ЗАДАЧИ ТЕПЛОВОГО РАСЧЕТА
СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ........................................... 41
Распределение температуры в плоской
3.1.
неограниченной пластине .......................................................... 41
3.2. Сопоставление решений задачи аналитическим
и численным методами. ............................................................ 47
3.3. Распределение температуры в многослойной стене ........ 51
Глава 4. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ................................... 56
4.1.
Формула испытаний Бернулли ........................................... 56
Случайные величины и их числовые характеристики ..... 61
4.2.
4.3. Моделирование случайных величин ................................ 69
4.4.
Построение гистограммы относительных частот
по выборочной совокупности .................................................... 74
4.5. Вычисление выборочных оценок для точностных
характеристик случайных величин ........................................... 80
3
Глава 5. ЗАДАЧИ ОБРАБОТКИ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ......................................... 85
Фильтрация зашумленных данных .................................... 85
5.1.
5.2.
Интерполяция дискретных данных .................................... 94
5.3. Построение парных эмпирических зависимостей ............ 99
Множественная эмпирическая зависимость ................... 111
5.4.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................ 118
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ......................................... 119
4
ВВЕДЕНИЕ
При использовании вычислительной техники встает проблема реализации необходимых алгоритмов в виде так называемых программ. Для решения этой проблемы в различные годы
использовались следующие средства:
программирование в машинных кодах (включая языки ти-
па Ассемблер);
программирование на языках высокого уровня (включая
объектно-ориентированное программирование);
системы компьютерной математики.
Разработка программы (даже с использованием языков высокого уровня с приставками Visual) требует и соответствую-
щей подготовки (назовем ее программистской), и достаточно
большего количества времени. И то и другое часто отсутствует
у обычного пользователя, который является специалистом в
своей предметной области, но не в программировании. Поэтому
начиная с 90-х годов прошлого века широкую известность и заслуженную популярность приобрели так называемые системы
компьютерной математики, или математические пакеты.
Сейчас эти системы получили широкое распространение не
только в научных исследованиях, но и при решении широкого
круга инженерных задач.
Данное учебное пособие содержит примеры решения задач
математического программирования, теоретической механики,
сопромата, теории вероятностей, математической статистики и
обработки экспериментальных данных в пакете MathCAD (версии 14). Авторы надеются, что данное пособие и пакет
MathCAD станут хорошими помощниками при выполнении расчетов в курсовом и дипломном проектировании.
5
Глава 1. РЕШЕНИЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
Оптимизационные задачи возникают в связи с многочисленностью возможных вариантов функционирования конкретного объекта, когда возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по некоторому критерию, определяемому соответствующей целевой функцией.
Например, в ряде задач проектирования существует необходимость определить значения параметров (их называют пе-
ременными оптимизационной задачи), которые доставляют максимум или минимум некоторому функционалу (или целевой
функции), зависящему от этих параметров. Если на значения
этих параметров не накладываются какие-либо ограничения
(например, требование положительности), то приходим к задаче
безусловной оптимизации (или оптимизации без ограничений).
Если заданы ограничения, определяющие допустимые значения
параметров, то приходим к задаче условной оптимизации (оп-
тимизации с ограничениями). Вторая задача отличается от первой тем, что решение находится только среди допустимых зна-
чений, или на допустимом множестве параметров.
Все множество оптимизационных задач можно разделить
на задачи линейного и нелинейного программирования. Если
целевая функции и функции ограничения линейны, то соответствующая задача является задачей линейного программирования. Если хотя бы одна из указанных функций нелинейна, то
рассматриваемая задача является задачей нелинейного программирования.
1.1. Решение оптимизационных задач без ограничений
Для этого используются две функции MathCAD:
• Maximize(f, <список параметров>) – вычисление точки
максимума;
• Minimize(f, <список параметров>) – вычисление точки
минимума,
где f – имя функционала, определенного до обращения к функ-
ции;
6
<
( 1, 2.5)
−
список параметров> – содержит перечисление (через запятую) имен параметров, относительно которых решается оптимизационная задача.
Функции Maximize и Minimize возвращают вектор искомых
параметров, при которых исследуемая функция имеет максимальное или минимальное значение соответственно.
Перед обращением к функциям Maximize, Minimize надо
обязательно задать начальные значения параметров, по которым
ищется решение оптимизационной задачи.
Пример 1.1.1. Дан функционал:
22
1
),(
evuf
⋅=
4
π
32
204163241
+−−−−
vvuu
. (1.1.1)
Определить значения u, v, при которых функционал f(u,v) достигает максимального значения.
Решение. Фрагмент документа MathCAD, решающий эту за-
дачу, приведен на рис. 1.1. В последних строках документа выполнена проверка найденного решения на максимум – при небольшом отклонении от точки максимума
значение
функционала уменьшается (хотя и незначительно). ☻
1.2. Решение оптимизационных задач с ограничениями
При решении оптимизационных задач с ограничениями ис-
пользуются те же функции Maximize, Minimize, но они должны
использоваться в составе блока решения Given, имеющего следующую структуру:
<Функционал>
<
Начальные условия>
Given
Ограничения>
<
<Вызов функции Maximize или Minimize >
7
**********************************************************************************************************
d u v,( )
( , ) 100( ) 50
a
b
2 5; 1; 0.
+ ≤ ≥ ≥
4
u 0:= v 0:=
41− 32 u⋅− 16 u2⋅− 4 v2⋅− 20 v⋅+
1
e
⋅:=
ππππ
⋅
Задание точки "старта"
32
u
Maximize d u, v,( ):=
v
d u 0.01 u⋅+ v 0.01 v⋅+,( ) 0.0795673=
d u 0.001 u⋅− v 0.001 v⋅−,( ) 0.0795774=
u
v
1−
= d u v,( ) 0.0795775=
2.5
Рис. 1.1. Максимизация функционала (1.1.1)
Перед блоком решения надо задать начальные значения
искомых переменных. Внутри блока задаются ограничения в
виде равенств или неравенств, определяющие допустимую область значений параметров оптимизации. Рассмотрим ряд примеров.
Пример 1.2.1 (задача нелинейного программирования). Дан
функционал:
F a b a b
= − −
2
(1.2.1)
и ограничения в виде
a b b a
(1.2.2)
Определить значения a, b, доставляющие максимальное значение функционала (1.2.1) и удовлетворяющие неравенствам
(1.2.2).
Решение. Фрагмент документа, решающий эту задачу, показан
на рис. 1.2. Точка «старта» алгоритма берется из допустимой области, определяемой ограничениями (1.2.2). ☻
8
F a b,( ) 100 a b−( )
1 2 3
( ) 2 2 .
N v v v v v
1, 0.2, 1,3.
a 1:= b 1:=
Given
a 2 b⋅+ 5≤ b 1≥ a 0≥
⋅ 50
2
a
⋅−:=
b
a
a 2 b⋅+ 5=
Рис. 1.2. Условная максимизация функционала (1.2.1)
Maximize F a, b,( ):=
b
Проверка ограничений
b 2.5=
a
b
0
= F a b,( ) 625=
2.5
Пример 1.2.2 (задача нелинейного программирования).
Пусть вектор v состоит из трех проекций и дан функционал:
2
= + − +
(1.2.3)
Вычислить точку минимума этого функционала при ограничениях:
3
v v i
= ≥ =
∑
i i
=
i
1
(1.2.4)
Решение. Фрагмент документа, решающий эту задачу, показан
на рис. 1.3. В нижней части фрагмента выполнена проверка найденного решения – проекции вектора v. Видно, что все проекции
удовлетворяют ограничениям (1.2.4). ☻
В рассмотренных примерах целевая функция является не-
линейной, и примеры относятся к задачам нелинейного программирования. Рассмотрим несколько примеров задач линейного программирования, в которых и целевая функция, и ограничения являются линейными функциями переменных задачи
[12]. Рассмотренные задачи часто встречаются в планировании и
организации производства.
9
1 2 3
( , , )
x x x
(56, 20, 24)
N v( ) v
1:=
v
2
Given
v
∑
v Minimize N v,( ):= v
N v( ) 0.64= v
Рис. 1.3. Условная максимизация функционала (1.2.3)
Пример 1.2.3 (оптимальное планирование производства).
Цех малого предприятия должен изготовить 100 изделий трех
типов
изделия уходит 4, 3.4 и 2 кг металла соответственно, при его
общем запасе 340 кг, а также расходуются по 4.75, 11 и 2 кг
пластмассы, при ее общем запасе 700 кг. Прибыль, полученная
от каждого изделия, равна 4, 3 и 2 руб. Определить, сколько изделий каждого типа необходимо выпустить для получения максимальной прибыли в рамках установленных запасов металла и
пластмассы.
Эта задача относится к очень широкому классу задач, полу-
чившему название «оптимальный план производства при ограниченных ресурсах». Очевидно, что линейные ограничения могут распространяться не только на сырьевые ресурсы, но и на
оборудование, людские ресурсы и т.д.
Решение. Фрагмент документа MathCAD, решающий эту за-
дачу, показан на рис. 1.4. В конце фрагмента выполнена проверка
найденного решения
2
( )
1 v
v21−
⋅+:=
2
1
>
5
∑
и не менее 20 штук изделий каждого типа. На
1=
0
v
0
=
1
0.2
=
0.6
0.2
Проверка решения
. Видно, что по требуемому ко-
Точка старта
Решение
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]