Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение инженерных задач в пакете MathCAD. Учебное пособие
.pdf
o
представление дробной части числа (десятичная или
простая дробь);
o точность округления и др.
Необходимый набор установок можно сделать набором по
умолчанию, нажав кнопку Set as Default («Установить по умол-
чанию»).
На рис. 2.3 показано, как отформатировать дробную часть
результата в виде простой дроби.
Рис. 2.3. Форматирование результата вычислений
Если выбрать формат Engineering, то результат будет пред-
ставлен так, как показано на рис. 2.4.
21
( ) cos( )
ω β
= −
Рис. 2.4. Формат Engineering
2.2. Решение задач статики и кинематики в пакете
MathCAD
Ниже будут приведены решения в пакете MathCAD не-
скольких задач статики и кинематики различных конструкций.
Задача 2.2.1. Рассмотрим задачу о колебаниях упругой бал-
ки, закрепленной на двух опорах, на середине которой закреплен перфоратор с динамически неуравновешенной массой
(
рис. 2.5). Необходимо определить, как прогиб балки зависит от
времени.
вынужденные колебания. Перфоратор, расположенный на упругой балке, можно рассматривать как массу, висящую на пружине.
Вынужденные колебания массы описываются формулой вида
Рис. 2.5. Движение балки
Решение. Во время работы перфоратора балка совершает
y t A t
22
,
где A – амплитуда колебаний;
Тогда ось балки можно описать функцией синуса
=
приведен график положения оси балки
шатунный механизм
2.7. Известна постоянная круговая
необходимо определить зависимость
положения и поступательной скорости ползуна от времени
– круговая частота приложенной силы;
ω
– время;
t
– начальная фаза колебаний.
β
x
π
( , ) ( ) sin
y x t y t
= ⋅
L
,
где x – координата сечения балки;
L – длина балки.
Пусть заданы значения L = 2 м, А = 3 см, ω
β
= 0. На рис. 2.6
строенный в документе пакета MathCAD. ☻
10 рад/с и
о-
Рис. 2.6. Расчет движения балки
Задача 2.2.2. Дан кривошипно-
браженный на рис.
вращения кривошипа ω,
23
о-
С помощью инструмента «Анимация»
создать видеоролик
ения кривошипно
Рассмотрим математическую модель движения
Угол поворота кривошипа линейно зависит от времени
шатуна выражается следующим
.
Расстояние от начала координат до ползуна является
. Таким образом
как производная координаты
MathCAD
тором для определения зависимостей координаты и скорости
ычислений
«
Напомним, что этот оператор позволяет получать
воспроизводящий процесс движ
механизма.
Решение.
кривошипно-шатунного механизма.
-шатунного
Рис. 2.7. Кривошипно-шатунный механизм
, а угол поворота
образом:
мой проекций кривошипа и шатуна на ось х
и скорость ползуна определяется
по времени:
!
"#
"
.
На рис. 2.8 приведен фрагмент документа
времени используется оператор символьных в
расположенный в палитре инструментов Symbolic (
ская»).
зультат в аналитическом виде, т.е. в виде формулы.
24
т.е.
м-
, в ко-
→,
Символиче-
е-
расположение кривошипа и шатуна в некоторый
момент времени можно представить в виде графика на
использовать
,…,
будет
довательно строить графики для этих моментов времени
шатунного
в нижней части документа
Рис. 2.8. Расчет скорости ползуна
Взаимное
натной плоскости. Если в качестве времени
чения переменной FRAME, равные 0, 1, 2, 3
MathCAD (команда Animation из меню Tools [6, 9]
дет получена анимация движения кривошипнонизма в отдельном окне, показанном
(рис. 2.9). ☻
иа-
100, то
еуа-
25
Рис. 2.9. Анимация движения кривошипно-шатунного механизма
В курсе «Сопротивление материалов» для определения перемещений сечений балок при прямом поперечном изгибе используется метод непосредственного интегрирования [10, 15].
Покажем, как решить такую задачу с помощью пакета
MathCAD.
26
Задача 2.2.3. Дана стальная балка из прокатного двутавра
№ 20 (ГОСТ 8239-89) (рис. 2.10). Требуется определить прогиб
и угол поворота свободного края консоли.
Рис. 2.10. Закрепление балки из двутавра
Решение. В пособии по сопротивлению материалов [10,
с. 10–12] подробно изложен алгоритм решения этой задачи, поэтому ограничимся лишь самыми необходимыми пояснениями,
которые помещены в собственно документ MathCAD.
Здесь стоит еще раз отметить существенную и отличительную особенность пакета MathCAD: запись алгоритма вычислений в документе MathCAD (т.е. реализация математических
формул) выглядит так же, как и сами математические формулы.
Поэтому, в принципе, можно не приводить предварительно математических выкладок, а поместить их в математическую область документа MathCAD.
На рис. 2.11 приведено начало документа MathCAD, решающего рассматриваемую задачу. Рис. 2.12 демонстрирует
работу тандема операторов присваивания «: =» и символьных
вычислений «→». Оператор присваивания указывает, что неизвестная функция является интегралом другой функции, вид которой задан (в данном случае линейная функция с известными
коэффициентами). Затем оператор символьных вычислений определяет, как искомая функция зависит от аргумента (квадратичная зависимость).
27
Рис. 2.11. Начало рас
чета прогиба балки из двутавра
Рис. 2.12. Завершение расчета прогиба балки из двутавра
28
Решение задач динамики в пакете MathCAD
(
)
1
( )
( )
n
d y t
( )
y t
(
)
0 0
y t y
=
(
)
0 1
y t y
=
(
)
0 1
m
y t y
−
( , , )
odesolve t t n
2.3.
Первоначально рассмотрим некоторые задачи теоретической механики, которые сводятся к решению обыкновенных
дифференциальных уравнений (ОДУ). Для их решения будут
использоваться встроенные функции пакета MathCAD.
Функция MathCAD для решения обыкновенного дифференциального уравнения m-го порядка. Напомним [2–4], что обык-
новенным дифференциальным уравнением m-го порядка называется уравнение
m m
( ) ( )
= …
y f t y y y
′
, , , ,
−
, (2.3.1)
( )
где
ydt= – означает производную m-го порядка по пе-
m
m
ременной t.
Задача Коши для такого уравнения заключается в нахождении такой функции
(2.3.1) (
т.е. обращает его в тождество) и удовлетворяет началь-
, которая является решением уравнения
ным условиям:
1
m
′
,
, … ,
−
( )
=
. (2.3.2)
Для решения рассмотренной задачи Коши в пакете
MathCAD наиболее часто используются функция odesolve, об-
ращение к которой стоит в решающем блоке Given [5, 6, 16].
В этом блоке задаются само дифференциальное уравнение m-го
порядка и начальные условия (при этом используется жирный
знак «равно» – вводится с палитры инструментов «Логиче-
ский»).
Обращение к функции odesolve имеет вид:
, (2.3.3)
k
где t – имя переменной (аргумент искомого решения);
– значение, задающее конец интервала интегрирования
t
k
(начало интервала t0); указывается в начальных условиях,
29
задаваемых в блоке Given следующей конструкцией:
(
)
0 0
y t y
====
(
)
0 1
y t y
=
n
( , ).
k
t t
0
y
1
y
k y
− ⋅
( )
y t
′
,
и т.д. (при этом используется жир-
ный знак «равно»);
– необязательный параметр, определяющий число ин-
тервалов, на которые разбивается отрезок
0
Если этот
параметр опущен, то вычисление n происходит внутри
функции odesolve.
Результатом работы является значение решения дифферен-
циального уравнения в момент t.
Применение функции odesolve показано в следующем примере.
Пример 2.3.1. Задача о свободных колебаниях динамиче-
ской системы. Пусть груз Q покоится на упругой рессоре. От-
клонение груза от положения равновесия в начальный момент
времени обозначим через
, а значение скорости –
(на-
чальные условия). Отклонение вниз – положительное, вверх –
отрицательное. В положении равновесия вес уравновешивается
упругостью пружины. Предполагается, что сила, стремящаяся
вернуть груз в положение равновесия – так называемая восстанавливающая сила, – пропорциональна отклонению, т.е. равна
, где k – некоторая постоянная для данной рессоры вели-
чина («жесткость рессоры»). Предполагается, что движению
груза Q препятствует сила сопротивления, направленная в сторону, противоположную направлению движения, и пропорцио-
нальная скорости движения груза, т.е. сила
λ
= const ≥ 0 (амортизатор). Найти функцию
v ⋅λ−=⋅λ−
– координату
dy
dt
, где
движения груза.
Решение. Дифференциальное уравнение движения груза на
рессоре по II закону Ньютона имеет вид [15]:
Q ⋅λ−⋅−=⋅
dt
2
yd
2
dy
yk
, (2.3.4)
dt
где k, λ ≥ 0.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]