Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение инженерных задач в пакете MathCAD. Учебное пособие
.pdf
конечных разностей для решения различных задач строительной
теплотехники.
3.3. Распределение температуры в многослойной стене
Рассмотрим задачу распределения температуры в стене, состоящей из трех слоев с разными теплофизическими характеристиками.
Постановка задачи. Три неограниченные пластины толщиной l1, l2, l3 находятся в соприкосновении (рис. 3.8). Начальная температура в пластинах одинаковая (t0 = const). В начальный момент времени левая и правая свободные поверхности
системы пластин подвергаются охлаждению с постоянной температурой (tc = const).
Теплообмен с окружающей средой происходит по закону
Ньютона (граничные условия третьего рода). Заданы теплофизические характеристики: с1, λ1, ρ1 – соответственно удельная
теплоемкость, коэффициент теплопроводности, объемная масса
первой пластины; с2, λ2, ρ2 – второй пластины; с3, λ3, ρ3 –
третьей пластины, и α – коэффициент теплопередачи с поверхностей в окружающую среду. Требуется найти распределение
температуры по толщине системы из трех пластин в любой момент времени. Начало координат выберем на левой поверхности
системы пластин (см. рис. 3.8). Дифференциальные уравнения
для одномерной задачи и краевые условия запишутся таким образом:
$
f%&
$
$
%&
$
$
%&
&(% ) )9%
$
&( % 9) )9 97%
&( %9 97) )9 97 9g%
%<%
%<%
f
$%&
$%&
$
$f%&
$
'
$
'7
'g
%<%
51
$
,g
$
,
,
$
9 97%&
,7
где '
/0
1
% '7
пературопроводности.
*%&
f
$
%&
-.%&
$
9%&
$
$
$
/0
1
-.*%&
$
$
/f0f
1f
f
,7
,g
% 'g
%
%
9%&
%
$
9 97%&
$
%
коэффициенты тем-
Рис. 3.8. Система из трех неограниченных пластин
Для решения задачи используем метод конечных разностей,
который описан в предыдущих примерах.
Расчет температуры проведем для трехслойной стены (бетон, теплоизолятор, облицовочный кирпич) со следующими
52
размерами и теплофизическими характеристиками: толщины
слоев – l1 = 0.5 м, l2 = 0.1 м, l3 = 0.12 м, теплофизические характеристики – λ1 = 2,8 Вт/(м·град.), c1 = 0.28 Дж/(кг·град.),
ρ
1 = 2400 кг/м3. λ2 = 0,038 Вт/(м·град.), c2 = 0.38 Дж/(кг·град.),
ρ
2 = 600 кг/м3. λ3 = 2,4 Вт/(м·град.), c3 = 0.28 Дж/(кг·град.),
ρ
3 = 1800 кг/м3. Температура среды tc : = –20 град., температура
слоев в начальный момент времени t0 : = 20 град.
Коэффициент теплопередачи между поверхностями стены и
внешней средой α = 22.5 Вт/(м2·град.) (сильный ветер).
Документ MathCAD, реализующий рассмотренный алгоритм решения, включает следующие конструкции (в документ
вставлены комментарии, которые можно опустить):
ORIGIN : = 1
Исходные данные:
l1 : = 0.6
l2 : = 0.6
l3 : = 0.6
dx : = 0.01
t
: = –20 t0 : = 20 α : = 22.5
c
λ
1 : = 2.8 c1 : = 0.28 ρ1 : = 2400
λ
2 : = 2.8 c2 : = 0.28 ρ2 : = 2400
λ
3 : = 2.8 c3 : = 0.28 ρ3 : = 2400
τ
n : = 0 τk : = 48 dτ : = 0.01
Расчет количества узлов по толщине пластины и по времени:
BCDEBFb
9
c B7CDEBFb
$
97
cBgC DEBFb
$
9g
$
c8
HC DEBFb
&d&B
$&
c 'C
,
Fe
'7C
,7
F7e7
'gC
,g
Fgeg
;
В процедуре Temp производится расчет температуры во
всех узлах пространственно-временной сетки:
53
Temp
:=
i 1 b3..∈for
t
i 1,
t0←
k 1 m 1−..∈for
i 2 n1 1−..∈for
i k,
a1 dτ⋅
t
⋅+←
( )
i 1− k,
2
dx
2 t
⋅− t
i k,
+
i 1+ k,
t
i k 1+,
t
i n1 1+ b2 1−..∈for
t
i k 1+,
t
i k,
a2 dτ⋅
t
⋅+←
( )
i 1− k,
2
dx
2 t
⋅− t
i k,
+
i 1+ k,
i n1 n2+ 1+ b3 1−..∈for
i k,
2 t
3 t
⋅
n1 1+ k 1+,
⋅
b2 1+ k 1+,
a3 dτ⋅
t
⋅+←
( )
i 1− k,
2
dx
λ
λ
1λ2+
λ
λ
2λ3+
1 t
2 t
⋅+
n1 1− k 1+,
⋅+
b2 1− k 1+,
2 t
⋅− t
i k,
+
i 1+ k,
t
t
t
n1 k 1+,
b2 k 1+,
i k 1+,
t
λ
←
λ
←
dx⋅
α
tc⋅+
λ
1
α
dx⋅
+
1
λ
1
dx⋅
α
tc⋅+
λ
3
α
dx⋅
+
1
λ
3
t
t
1 k 1+,
b3 k 1+,
←
←
t
2 k 1+,
t
b3 1− k 1+,
t
54
t : = Temp
tn –
начальная температура в стене;
tk – конечная температура в стене ;
температура в стене на 24 ч;
tkc –
tkn – температура в стене на 12 ч.
25
20
tn
tk
tkc
tkn
15
10
5
0
5−
10−
15−
20−
0 0.12 0.24 0.36 0.48 0.6 0.72
x
Рис 3.9. Распределение температуры по толщине системы
Из рис. 3.9 видно влияние теплоизоляционного слоя. Отток
тепла из середины стены через правую границу значительно
слабее, чем через левую за счет теплоизоляционного слоя.
Вопросы и задания для самопроверки
1.
Какими уравнениями описывается теплопроводность и
какие условия должны быть заданы для решения задачи распределения тепла в стене?
2. На чем основан метод конечных разностей для решения
дифференциальных уравнений в частных производных?
3. Какие вычисления осуществляются функцией root?
55
Глава 4. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
q p
= −
(0 ),
k n
≤ ≤
n k
−
k
n
C
! !
n k k
n n
= ⋅ ⋅
⋯
(
)
Prob k
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Эта глава содержит решение в пакете MathCAD часто
встречаемых задач теории вероятностей и математической статистики. Используемые определения и понятия можно посмотреть в учебном пособии [11] или другой учебной литературе.
4.1. Формула испытаний Бернулли
Предположим, что один и тот же опыт производится при
неизменных условиях n раз. В каждом из этих опытов случайное событие A может произойти с вероятностью p и не про-
изойти с вероятностью, соответственно,
. Вероятность
1
того, что в этих n испытаниях событие A произойдет равно k
раз
вычисляется по формуле Бернулли:
k k
P k C p p
= −
( ) ( )
n n
1
, (4.1.1)
где
– число сочетаний равное
k
C
n
! 1 2 3
– факториал числа n.
=
( )
!
n
, (4.1.2)
−
Ценность формулы Бернулли состоит в том, что она дает
ответ, когда из-за слишком большого числа элементарных исходов обычные комбинационные способы подсчета вариантов неприменимы. Рассмотрим применение формулы Бернулли в некоторых вероятностных расчетах, часто встречающихся в теории вероятностей.
Вероятность того, что событие A произойдет не более,
чем k раз. Обозначим через
вероятность того, что со-
бытие A произойдет не более k раз. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеет место выражение
56
k
Prob k P P P k P i
(
)
R k
R k P k P k P n P j
0 1 1
= + + + + + =
()(
)
1 1
= − −
1 1 2 1 0
1
n
−
(
)
,
combin n k
k
n
C
(
)
, ,
dbinom k n p
(
)
P k
(
)
, ,
pbinom k n p
(
)
Prob k
0 1
= + + + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Вероятность того, что событие A произойдет не менее,
чем k раз. Эта вероятность
= + + + + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n n n
Учитывая, что
n
P i P P P k P n
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∑
n n n n n
0
=
i
имеем
Вероятность того, что событие A произойдет хотя бы
один раз. Это означает, что событие A произойдет не менее од-
ного раза, т.е. оно может произойти один, два и т.д. до n раз.
Вероятность такого события равна (4.1.4):
R P P P n P j P
= + + + = = −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n n n n
Вероятность того, что событие A произойдет не более
одного раза. Эта вероятность равна
n n n n
R k Prob k
n
⋯ . (4.1.7)
⋯
равна сумме вероятностей:
n
1
⋯ . (4.1.4)
∑
=
i
n
∑
j k
=
0
. (4.1.3)
⋯ ⋯
. (4.1.6)
n
∑
1
=
j
, (4.1.5)
1 0 1 1 1 1
Prob P P n p p
Рассмотрим, как вычислить эти вероятности в пакете
MathCAD. Для этого можно использовать следующие функции:
•
формуле (4.1.2);
•
роятность
•
формуле (4.1.3).
= + = + − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
– вычисляет число сочетаний
– вычисляет по формуле Бернулли ве-
(4.1.1);
n
– вычисляет вероятность
57
. (4.1.8)
по
по
Задача 4.1.1. Для проверки качества изготовленных деталей
10
=
2
=
0.05
=
1 0.95.
= − =
P A R P j
Prob P j
2 1 1
R P j Prob
(
)
,
Prob n k
(
)
,
R n k
была сформирована контрольная группа – 10 деталей, из которых наугад осуществляется выборка отдельных деталей с возвращением взятой детали в контрольную группу после проверки
(такая схема получила название выборки с возвратом). Доля
бракованных деталей во всей изготовленной партии составляет
0.05. Каковы вероятности обнаружить в контрольной группе:
• событие A – бракованных деталей;
•
событие B – не более двух кондиционных деталей;
• событие C – не менее двух бракованных деталей.
Решение. Из условий задачи следует:
p
,
q p
Вероятность события A равна вероят-
n
k
,
ности того, что в контрольной группе будет обнаружена хотя бы
одна бракованная деталь, и эта вероятность определяется по
формуле (4.1.7), т.е.
10
1
= =
( ) ( ) ( )
10
∑
j
=
1
. (4.1.9)
n
Вероятность события B определяется выражением (4.1.3):
2
2
=
( ) ( )
∑
=
j
0
. (4.1.10)
n
Вероятность события C определяется выражением (4.1.4):
10
= = −
( ) ( ) ( )
10
∑
j
=
n
2
. (4.1.11)
На рис. 4.1 показан фрагмент документа MathCAD, в котором вычисляются вероятности событий A, B, С с использовани-
ем функций пользователя
и
.
,
58
(
)
P k
10
=
30
=
(
)
Prob k
10
=
50
=
(
)
P k
2
=
3
=
50 0.05 2.5.
= ⋅ = ⋅ =
min
n
Рис. 4.1. Вычисление вероятностей событий примера 4.1.1
Эти функции также позволяют провести исследование
влияния исходных данных на результаты испытаний по схеме
Бернулли. В качестве одного из множества вариантов такого исследования (рис. 4.2) приводятся результаты анализа влияния
числа испытаний (n = 10 и n = 50) на вероятность
(рис. 4.2а, кривая 1 –
ность
(рис. 4.2б, кривая 3 –
n
и кривая 2 –
n
n
) и на вероят-
и кривая 4 –
n
n
).
Из приведенных графиков видно: кривая
максимум в точке между
кономерность, согласно которой максимум вероятности достигается при
при одном выстреле равна 0.2. Определить наименьшее число
стью, не меньшей 0.9, попасть в десятку хотя бы один раз.
приобретает
50
k
k n p
Пример 4.1.2. Пусть вероятность попадания в «десятку»
выстрелов, которые надо произвести, чтобы с вероятно-
59
и
k
. Этот факт отражает за-
☻
(
)
P k
(
)
Prob k
0.2.
=
n
P p q
− = − − = −
q p
= −
min
n
1 0.9
11
=
Рис. 4.2. Графики вероятностей
а) б)
,
n
Решение. Обратимся к формуле Бернулли. Событие A заключается в попадании в «десятку», и вероятность этого события равна
p
Вероятность попадания в десятку хотя бы
один раз при n выстрелов равна
n
,
определяется
где
1 0 1 1 1
( ) ( )
n
. Тогда искомое число выстрелов
1
неравенством
n
min
q− ≥ . (1.4.12)
На рис. 4.3 показан фрагмент документа, содержащий решение этого неравенства. Функция ceil округляет решение неравенства до ближайшего большого целого и дает результат
n
min
.
Рис. 4.3. Вычисления к примеру 4.1.2
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]