Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение инженерных задач в пакете MathCAD. Учебное пособие
.pdf
Пример 5.3.1. По заданным значениям
{}{
}
, , 1,...,9
,
x y
( , ) 2.641 1.005
S a x x
= − +
S a x a a x
1
2
Z X
=
0 1
S a z a a z
0 1
,
a a
(рис. 5.11, векторы
) вычислить коэффициенты
x y i =
i i
a
0
,
a
,…,
1
используя функции MathCAD, приведенные в табл. 5.1.
Решение. Фрагмент документа MathCAD, содержащий об-
ращения к функциям, показан на рис. 5.11. Построенная эмпирическая зависимость имеет вид:
. ☻
Рис. 5.11. Вычисление коэффициентов a0, a1
Вычисление коэффициентов парной нелинейной эмпирической зависимости. Нелинейность эмпирической зависимости
может быть обусловлена двумя причинами:
– нелинейность по объясняющей переменной;
нелинейность по коэффициентам регрессии.
–
Нелинейность по объясняющей переменной. Примером
такой нелинейности может служить эмпирическая зависимость
вида:
( , )
= + .
0 1
В этом случае, вводя новую переменную
, прихо-
дим к линейной зависимости:
( , )
= + ,
коэффициенты
которой вычисляются на основе метода
наименьших квадратов.
101
Нелинейность по коэффициентам. К такому классу нели-
ε
ε
= +
2
( , ) .
нейных зависимостей относятся уравнения, в которых зависимая переменная нелинейным образом зависит от коэффициентов. Примером таких нелинейных моделей могут служить функ-
a
ции: степенная
x
( , )
S a x a a
0 1
и т.д.
( , ) +
S a x a x=
1
0
; показательная
Вычислить коэффициенты нелинейной эмпирической зависимости в пакете MathCAD можно одним из следующих подходов:
• используя стандартные (встроенные) функции пакета
MathCAD,
которые непосредственно вычисляют коэффициенты
уравнения регрессии определенного вида;
используя функцию Minimize, которая вычисляет ко-
•
эффициенты регрессии из условия минимума заданного функционала.
Вычисление коэффициентов с использованием стандартных
функций MathCAD. Функции MathCAD, вычисляющие коэффи-
циенты регрессии, можно разделить на две категории:
•
специализированные;
•
универсальные.
Все эти функции находят коэффициенты уравнения регрессии из условия минимума функционала метода наименьших
квадратов, т.е. ищут точку минимума функционала метода наименьших квадратов:
n
F a y S a x
= −
( ) ( )
∑
i i
i
1
Так как точка минимума ищется численными методами, то
для некоторых функций MathCAD необходимо задать стартовую
точку (вектор a0). Для уменьшения числа итераций и вычисления
правильной точки минимума (при отсутствии глобального минимума) стартовую точку желательно задавать максимально близко
к искомой точке минимума функционала.
102
Специализированные функции вычисляют коэффициенты
i
x
i
y
1,2,...,
i n
=
1 3
S a x a e a
= +
3
, ,...,
k
a a a
k
S a x a a x a x
⋯
5
≤
зависимости
3
a x
(размерности 3)
1 2
S a x a x a
= ⋅ +
1 2 3
S a x a x a a
= ⋅ + +
1 3
S a x a x a
= +
уравнения регрессии определенного вида. Список таких функций приведен в табл. 5.2. В этой таблице X, Y – векторы, содер-
жащие исходные данные
,
,
соответственно.
Замечание 5.3.1. Для некоторых функций нумерация коэф-
фициентов зависимости начинается с 1 и отличается от введенной ранее. Однако это различие не вызовет путаницы при работе
с функциями MathCAD. ♦
Таблица 5.2
Функция Назначение функции
, a2, a3 экспоненци-
1
a x
( , )
2
. Вектор
0 1
для любого k (на
k
, a2, a
1
3
, a2 зависимости
1
, a2, a3 зависимости
1
. Вектор a0 (раз-
, a2, a3
1
expfit(X,Y,a0)
regress(X,Y,k)
lgsfit(X,Y,a0)
lnfit(X,Y)
logfit(X,Y, a0)
pwrfit(X,Y,a0)
Вычисляет коэффициенты a
альной зависимости
a0 (размерности 3) определяет точку старта, т.е.
задает начальное значение для a1, a2, a
Вычисляет вектор коэффициентов
полиномиальной зависимости вида
( , )
= + + +
0 1
k
практике
). Вычисленные коэффициенты
размещаются в результирующем векторе, начиная с четвертой проекции, но в определенном
порядке
Вычисляет коэффициенты a
a
( , )
S a x
=
1
. Вектор a0
−
1
+
a e
2
определяет стартовые значения для a1, a2, a3.
Вычисляет параметры a
( , ) ln( )
Вычисляет коэффициенты a
( , ) ln( )
мерности 3) задает стартовые значения для a1,
a2, a3
Вычисляет коэффициенты степени зависимости
a
2
( , )
. Вектор a0 (размерности 3)
задает стартовые значения для a
103
8
=
(
)
1 3
S a x a e a
= +
Пример 5.3.2. По данным, приведенным на рис. 5.12 (век-
торы x, y, число наблюдений
a x
рессии вида
,
2
n
), построить уравнение рег-
.
функцию expfit (см. табл. 5.2). Фрагмент документа MathCAD с
обращением к этой функции показан на рис. 5.12. Здесь же по-
Рис. 5.12. Построение нелинейной регрессии (к примеру 5.3.2)
Решение. Для вычисления коэффициентов используем
104
казаны исходные данные
{
}
,
i i
x y
(
)
,
S a x
2
R
e
Q
2
( ) ;
Q y y
2
( ( , ) ) ;
Q S a x y
y
2
R
0 1
≤ ≤
2
R
0.955
[][
]
+ −
(
)
k
S a x a a x a x
2
=
3.
=
и кривая, соответствующая за-
висимости
= 0.453; a3 = 3.006.
a
2
с вычисленными коэффициентами: a1 = 3.762;
В нижней части документа стоит оператор, вычисляющий
коэффициент детерминации
n
где
= −
∑
i
1
i
n
= −
∑
e i i
1
i
– среднее значение yi.
Величина
показывает, какая часть (доля) вариации за-
(переменная R2) по формуле:
2
1
RQ= −
,
висимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной, и изменяется в диапазоне
2
R
. (5.3.3)
Чем ближе
к 1, тем лучше построенная зависимость ап-
проксимирует эмпирические данные. Так как в этом примере
величина
2
R =
близка к 1, то можно сделать вывод об аде-
кватности построенной зависимости уравнения исходным данным.
Внимание! Стрелки, стоящие над операторами суммирова-
ния, задают векторизованные операции (выполняемые для каждого элемента) и вводятся нажатием
Ctrl
.
Пример 5.3.3. По исходным данным, приведенным на
рис. 5.13, построить полиномиальную эмпирическую зависимость вида
, ...
= + + +
0 1
k
при
k
k
,
105
Решение. Построение регрессий при заданных порядках по-
(
)
2
S a x a a x a x
(
)
2 3
S a x a a x a x a x
2
=
0.904
3
=
0.955
(
)
,
S a x
i
y
1,2,...,
i n
=
(
)
,
S a x
()()()(
)
S a x a x a x a x
(
)
x
j
a
(
)
,
S a x
линома показано в документе MathCAD, приведенном на
рис. 5.13. Для вычисления коэффициентов зависимости будем
использовать функцию regress. Коэффициенты полинома второго порядка (в программе обозначен y2(X))
,
2 0 1 2
= + +
(5.3.4)
являются проекциями вектора coef2 (начиная с 4-й проекции), а
коэффициенты полинома (в программе обозначен y3(X)
,
3 0 1 2 3
= + + +
(5.3.5)
находятся в векторе coef3 (начиная с 4-й проекции). В нижней
части документа вычисляется коэффициент детерминации:
•
•
для
для
k
k
R =
R =
2
2
;
.
Видно, что регрессия
3
проходит ближе к заданным
,
, по сравнению с
сопоставления графиков регрессий на рисунке.
Универсальные функции позволяют строить уравнение
регрессии в виде:
где функции
ции, а
интерпретировать как коэффициенты разложения
функции
, ...
ϕ
j
по заданным базисным функциям.
ϕ ϕ ϕ
= + + +
1 1 2 2
можно рассматривать как базисные функ-
106
2
. Это также видно из
m m
, (5.3.6)
j
b
(
)
,
S a x
Рис. 5.13. Построение нелинейной зависимости (к примеру 5.3.3)
В табл. 5.3 приведены имена двух функций. Первая функ-
ция – linfit – вычисляет коэффициенты
для уравнения регрес-
сии
вида (5.3.6).
107
linfit (X, Y,Ф)
, , ...,
m
a a a
( , ) ( ) ( ) ( )
S a x a x a x a x
⋯
( ),..., ( )
x x
, , ...,
m
a a a
нелинейного
( , )
S a x
функция размерности
( , )
S a x
и
, 1,...,
j m
составленный из стартовых
,ja
1,...,
j m
=
j
a
2
a a x a x
( )
x
Φ
2
=
2
1
x x
x
3
=
2
3
1
x
x
Таблица 5.3
Вычисляет коэффициенты
ной комбинации
ϕ ϕ ϕ
Базисные функции
циями вектор-функции Ф(x), формируемой до об-
ращения к функции linfit
= + + +
1 1 2 2
ϕ ϕ
1
1 2
m m
являются проек-
n
линей-
genfit(X,Y,a0,F)
Вычисляет параметры
уравнения регрессии
мируется F(x,a) – вектор-
(m+1), составленная из самой функции
частных производных
вектор размерности m,
значений параметров
5.3.5)
1 2
. До обращения фор-
( , )
S a x
∂
a
∂
j
Вторая функция – genfit – вычисляет коэффициенты
=
(см. пример
, a0 –
для
эмпирической зависимости произвольного вида. Например,
+ +
,
S a x e
( )
0 1 2
= . (5.3.7)
Пример 5.3.4. По исходным данным примера 5.3.3 опреде-
лить коэффициенты уравнений (5.3.4), (5.3.5).
Решение. В этом примере для вычисления коэффициентов
вместо функции regress будем использовать функцию linfit. При
этом вектор-функция
будет иметь следующий вид:
k
если
, то
( )
Φ =
; если
108
k
, то
( )xx
Φ = .
Обращение к функции linfit и вычисленные коэффициенты при-
( ), ( )
y X y X
2
a x a x
S a x e e e
(
)
1 ,
x a
(
)
,jS a x
1, 2,3.
=
2.822
1.197
ведены на рис. 5.14. Сравнивая эти коэффициенты с соответствующими проекциями векторов coef2, coef3 (рис. 5.13), видим
совпадение этих величин. Обратите внимание на задание функ-
ций
2 3
с использованием скалярного произведения
вектор-функции и вычисленных векторов коэффициентов.
Рис 5.14. Построение нелинейной зависимости (к примеру 5.3.4)
Пример 5.3.5. По исходным данным рис. 5.15 (векторы x, y)
построить эмпирическую зависимость вида:
Решение. Для вычисления коэффициентов будем использовать функцию genfit (см. табл. 5.3). Перед обращением к этой
функции необходимо задать вектор-функцию
(рис. 5.15), первой проекцией которой является сама зависи-
мость (5.3.8), а остальные три проекции – частные производные
a∂∂
проекциями вектора a и равны:
a
0
,
( )
= ⋅ ⋅
1 2
. (5.3.8)
Φ
,
j
Вычисленные коэффициенты являются
109
a = ;
1
a = − ;
2
0.179
a = . Тогда получаем следующую эмпирическую зависи-
2
2.822 1.197 0.179
x x
3
мость:
,
S a x e
( )
− +
=
.
Рис. 5.15. Построение нелинейной зависимости (к примеру 5.3.5)
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]