Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение инженерных задач в пакете MathCAD. Учебное пособие
.pdf
Глава 3. ЗАДАЧИ ТЕПЛОВОГО РАСЧЕТА
СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Эта глава содержит решение в пакете MathCAD некоторых
задач теплопроводности строительных конструкций. Задача теплопроводности заключается в отыскании температуры в отдельных местах конструкции в любой момент времени. Эта задача описывается дифференциальным уравнением теплопроводности.
Распределение температуры в плоской
3.1.
неограниченной пластине
Рассмотрим задачу распределения температуры в стене дома с постоянной температурой в помещении и меняющейся в
течение суток температурой воздуха снаружи.
Постановка задачи. Дана неограниченная пластина, толщина которой равна b (рис. 3.1). Начальное распределение температуры в пластине задается некоторой функцией t(x,0) = f(x),
на левой границе пластины температура среды постоянная
= const), на правой границе температура среды задается не-
(t
c1
которой функцией времени tc2(τ) = F(τ).
Теплообмен с окружающей средой происходит по закону
Ньютона (граничные условия третьего рода). Заданы теплофизические характеристики с, λ, ρ – соответственно удельная теплоемкость, коэффициент теплопроводности, объемная масса и
коэффициенты теплопередачи. Требуется найти распределение
температуры по толщине пластины в любой момент времени.
Начало координат выберем на левой поверхности пластины
(рис. 3.2). Дифференциальное уравнение для одномерной задачи
и краевые условия запишутся в виде:
$%&
$
'
$
%&
$
&(% ) )*%
%+%
41
,
$*%&
$
-
&
.
*%&
%
Рис. 3.1. Распределение
температуры
Рис. 3.2. Неограниченная пластина
где '
$%&
,
/0
коэффициент температуропроводности.
1
$
-
.
%&
%
Схема расчета. Для решения задачи используем метод конечных разностей, который основан на замене производных их
приближенным значением, выраженным через разности значений функции в отдельных дискретных точках – узлах сетки.
Заменим область непрерывного изменения температуры
сетчатой (0 < x < b, τn < τ < τk). На оси абсцисс откладываем отрезок длиною b и делим его с шагом dx. Точки деления (узлы)
имеют значения xi = (i – 1)dx, i = 1, 2,…, n. По оси ординат отложим значения времени τ через равные промежутки dτ. Точки
деления –
τ
= τn + d
k
.
τ
(k – 1), k : = 1,…, m.
Проводим через полученные узлы на осях координат прямые, параллельные координатным осям (рис. 3.3). Задача состоит в нахождении приближенного значения функции t(x,τ) в каждом узле сетки. Значения t в узлах, лежащих на осях координат
и на прямой, параллельной оси ординат и расположенной от нее
на расстоянии b, находятся из начального и граничных условий.
42
Рис. 3.3. Схема расчета
Заменим частные производные в узлах сетки через разностные отношения, тогда дифференциальное уравнение и граничные условия запишутся в виде:
– дифференциальное уравнение:
$
2%34
2%3
'
$
67
25%3
2%3
24%3
8
– граничное условие на левой границе:
.
'$
.
-$
9
9
8
%34
%34
– граничное условие на правой границе:
:%34
:5%34
'$
.
34
9
'$
9
;
Расчет температурного поля проведем для бетонной стены
дома толщиной b = 0.6 м, теплофизические характеристики которой следующие: λ = 2,8 Вт/(м·град.), c = 0.28 Дж/(кг·град.),
43
ρ = 2400 кг/м3, температура в комнате постоянная tc1 : = 20 град.,
температура на улице меняется с периодом 24 ч:
@
.< $=>?
.
7
A;
Температура по толщине пластины в начальный момент
времени задана линейно:
&B
.
6
.
*
.;
%
Коэффициенты теплопередачи между поверхностями стены
и внешней средой α1 = 3.5 Вт/(м2·град.), α2 = 3.5 Вт/(м2·град.).
Документ MathCAD, реализующий рассмотренный алгоритм решения, включает следующие конструкции (в документ
вставлены комментарии, которые можно опустить):
ORIGIN: = 1
Исходные данные:
α
1 : = 3.5 α2 : = 3.5 b : = 0.6 λ : = 2.8 c : = 0.28 ρ : = 2400
: = 20 tc0 : = –10 dt : = 5 τn : = 0 τk : = 24 dτ : = 0.1
t
c1
Расчет количества узлов по толщине пластины и по времени:
BCDEBF?
HCDEBF?
/
'C
.1
G
A %
"#
I35I:
A %
"I
;
Расчет начальной температуры на правой границе:
C.< $=>?
.:
JI:
A.
Замечание. В подпрограмме-функции Temp производится
расчет температуры во всех узлах пространственно-временной
сетки. В теле подпрограммы-функции используются переменные, которые должны быть определены до обращения к Temp.
44
Temp
..
∈
:=
for
i 1 n
x
i
dx i 1−( )⋅←
t
i 1,
k 1 m..∈for
τ
tc2
k 1 m 1−..∈for
t
1 k 1+,
t
n k 1+,
k
k
t
i k 1+,
tc2n tc1−
τn dτ k 1−( )⋅+←
tc0 dt sin
i 2 n 1−..∈for
t
2 k 1+,
←
t
←
b
t
i k,
n 1− k 1+,
xi⋅ tc1+←
π τ
⋅
k
⋅+←
12
a dτ⋅
t
⋅+←
( )
i 1− k,
2
dx
α1 dx⋅
2 t
⋅− t
i k,
+
i 1+ k,
tc1⋅+
λ
α1 dx⋅
1
+
λ
α
2 dx⋅
tc2
⋅+
λ
α2 dx⋅
1
+
λ
k 1+
t
t : = Temp
Подготовка параметров для построения графиков (рис. 3.4, 3.5):
i : = 1 .. n k : = 1 .. m x
: = dx.(i – 1)
i
45
τ
: = τn + d
k
.
τ
(k – 1),
где tc2k – температура среды на улице
tni : = t
tk
i
tlk : = t
tp
k
– начальная температура в стене
i,1
: = t
– конечная температура в стене
i,m
– температура на левой поверхности стены
1,k
: = t
– температура на правой поверхности стены
n,k
20
12.5
tn
tk
5
2.5−
10−
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
x
Рис. 3.4. Распределение температуры в стене в начальный
и конечный моменты времени
20
tc2
tl
tp
12
4
4−
12−
20−
0 4 8 12 16 20 24
τ
Рис. 3.5. Распределение температуры на улице
и на поверхностях стены
46
Сопоставление решений задачи аналитическим
3.2.
и численным методами
Упростим задачу и решим ее аналитическим и численным
методами.
Постановка задачи. Дана неограниченная пластина, толщина которой равна b. В начальный момент времени температура в пластине во всех местах постоянная (t0 = const). Внезапно
на левой и правой границе пластина подвергается охлаждению с
постоянной температурой (tc = const).
Теплообмен с окружающей средой происходит по закону
Ньютона (граничные условия третьего рода). Заданы теплофизические характеристики с, λ, ρ, α – соответственно удельная
теплоемкость, коэффициент теплопроводности, объемная масса
и коэффициент теплопередачи. Расчет температуры проведем
для бетонной стены толщиной b = 0.6 м, теплофизические характеристики которой следующие:
c = 0.28
Дж/(кг·град.), ρ = 2400 кг/м3, начальная температура в
λ
= 2,8 Вт/(м·град.),
стене t0 = 20 град., температура среды tc = –10 град.
Коэффициент теплопередачи между поверхностью стены и
внешней средой α = 3.5 Вт/(м2·град.).
Аналитическое решение задачи для плоской стенки получено в следующем виде [13]:
%& . <.
K
M
2N
L2
OP2
#
S
Q
R
T
5U
R
WX
V
,
где P2 корни характеристического уравнения YZPP[\],
Q
^
\] критерий Био \]
_` критерий Фурье _`
L2 начальные тепловые амплитуды:
R
;
/
aI
;
R
Q
?
A
R
L2
7=>P
P2 =>P2P
2
;
2
47
⋅
Так как пластина будет остывать симметрично с обеих сторон, то начало координат поместим в середине стенки.
Документ MathCAD, реализующий аналитический метод
решения, включает следующие конструкции (в документ вставлены комментарии, которые можно опустить):
ORIGIN : = 1
Исходные данные:
α
: = 3.5 b : = 0.6 λ : = 2.8 c : = 0.28 ρ : = 2400 tc : = –10
t
: = 20
0
τ
: = 0
n
τ
: = 24 dτ : = 0.1 dx : = 0.01
k
Расчет количества узлов по толщине пластины и по времени:
BCDEBFb
*]C
*
c H CDEBFb
$
Q
^
R
+CY
/
&d&B
$&
c ' C
#
;
G2
,
Fe
В процедуре P производится расчет корней характеристи-
ческого уравнения и начальных тепловых амплитуд. Для нахождения корней применяем функцию root [5].
bi
µ
:=
x
←
π
2 1 bi+( )⋅
i 1 30..∈for
x1 0.0001
x2
y
1 i,
y
2 i,
y
π
⋅←
root f x( ) x, x1, x2, ( )←
2
π
i 1−( )⋅+←
1
i+
2
sin y
( )
⋅←
y
1 i,
sin y
( )
48
1 i,
1 i,
cos y
⋅+
( )
1 i,
В процедуре Tet производится расчет температуры на по-
..
∈
:=
верхности и внутри стены:
Tet
for
j 1 m
k dτj 1−( )⋅←
Fo a
v 0←
r dx l 1−( )⋅←
P
P
k
⋅←
2
b
2
l 1 n..∈for
i 1 30..∈for
2
j l,
y
v v y+←
µ
2 i,
v t0 tc−( )⋅ tc+←
cos
⋅←
2
µ
⋅ r⋅
1 i,
b
− Fo⋅
e
⋅
µ
( )
1 i,
t : = Tet
Численное решение задачи получим, используя приведенный выше алгоритм метода конечных разностей. Для сравнения
результатов построим графики (рис. 3.6, 3.7) полученных температур:
начальная температура в стене;
tn –
tka – распределение температуры в стене, вычисленное аналити-
чески на конечный момент времени;
tkr –
распределение температуры в стене, вычисленное численно
на конечный момент времени;
49
t
рa – распределение температуры по времени на поверхности
стены, вычисленное аналитически;
tpr – распределение температуры по времени на поверхности
стены, рассчитанное численно.
21
19
tn
17
15
tka
13
11
tkr
9
7
5
0 0.1 0.2 0.3
x
Рис. 3.6. Распределение температуры в стене на начальный и конечный
моменты времени
21
19
17
15
tpa
13
tpr
11
9
7
5
0 3 6 9 12 15 18 21 24
τ
Рис. 3.7. Изменение температуры на поверхности стены по времени
Из графиков видно, что расхождение температур, вычисленных различными методами, незначительное. Следовательно,
можно применять П-Ф Temp, основанную на численном методе
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]