Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение инженерных задач в пакете MathCAD. Учебное пособие
.pdf
личеству металла (340 кг) достигнут уровень запаса – 340 кг (такое ограничение называют активным). ☻
Рис. 1.4. Решение задачи оптимального планирования
Пример 1.2.4 (задача оптимального распределения обору-
дования). Двум погрузчикам разной мощности не более чем за
24 часа нужно погрузить на первой площадке 230 тонн, на второй – 218 тонн. Первый погрузчик на первой площадке может
погрузить 10 тонн в час, на второй – 12 тонн в час. Второй погрузчик на каждой площадке может погрузить по 13 тонн в час.
Стоимость работ, связанных с погрузкой одной тонны первым
погрузчиком на первой площадке – 8 y. e., на второй – 7 y. e.
Стоимость работ второго погрузчика соответственно – 12 y. e. и
13 y. e. Нужно составить план работы, т.е. найти, сколько времени должен проработать каждый погрузчик на каждой площадке, чтобы стоимость всех работ по погрузке была мини-
11
мальной. По техническим причинам первый погрузчик на вто-
11 12 21 22
c c c c
x x x x
рой площадке должен работать не более 16 часов.
Решение. Фрагмент документа MathCAD, в котором решается рассматриваемая задача, приведен на рис. 1.5. В качестве
искомых параметров приняты следующие переменные: xij – время
работы i-го погрузчика на j-й площадке. Обратите внимание на
ограничения в виде равенств, стоящих в блоке Given, в которых
стоит «жирный» знак =, вводимый с палитры инструментов «Ло-
гическая».
решения (переменные
решение удовлетворяет ограничениям задачи. ☻
Рис. 1.5. Решение задачи распределения оборудования
В нижней части документа выполнена проверка полученного
, , ,
12
). Видно, что найденное
Решение оптимизационных задач из условий
( , ,..., )
m
f x x x
( , ,..., ) 0, 1,2,...,
f x x x j m
.
x x x x x x
1.3.
экстремума целевой функции
Один из подходов к решению оптимизационных задач как
с ограничениями, так и без ограничений является решение системы уравнений, полученной из условия экстремума целевой
функции относительно переменных оптимизационной задачи.
Напомним, что необходимые условия минимума или мак-
симума функционала
1 2
(условия экстремума)
имеют вид:
∂
∂
1 2
x
j
= =
m
. (1.3.1)
Достаточные условия максимума или минимума основаны
на исследовании знака определенности матрицы вторых частных производных:
2 2 2 2
f f f f
∂ ∂ ∂ ∂
2
x x x x x x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
1 1 2 1 1 1
2 2 2 2
f f f f
∂ ∂ ∂ ∂
x x
∂ ∂
2 1
Ω =
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
2 2 2 2
f f f f
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
1 1 1 2 1
m m m m
− − −
2 2 2 2
∂ ∂ ∂ ∂
f f f f
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
x x x x x x
1 2 1
m m m m
x x x x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⋯
m m
−
⋯
2
2 2 1 2
⋯
m m
−
2
∂
x
1
m
−
−
(1.3.2)
2
∂
x
m
Для упрощения изложения ниже будем полагать, что в точке экстремума, удовлетворяющей системе уравнений (1.3.1), будут удовлетворяться и достаточные условия. Поэтому решение
оптимизационной задачи будем находить как решение системы
уравнений (1.3.1).
13
Как найти это решение в пакете MathCAD? Условия экс-
( , ,..., )
m
Find x x x
, ,...,
m
x x x
2 2
( , ) 100 ( ) (1 )
f x y y x x
тремума (1.3.1) порождают систему уравнений (чаще всего нелинейных), которые располагаются в блоке Given, вместе с ограничениями, определяющими допустимую область. Само решение ищется с помощью функций Find, Minerr.
Краткая информация о функциях Find, Minerr применительно к решению систем уравнений есть в [3, 5].
Функция Find находит вектор решения системы уравнений.
Вызов этой функции имеет вид
1 2
– проекции вектора решения. Если система уравне-
1 2
, где
ний не имеет решения, то следует вызвать функцию Minerr(x),
которая возвращает вектор приближенного решения.
В функциях Find, Minerr реализованы различные численные алгоритмы, и пользователю предоставляется возможность
либо задать один из реализованных алгоритмов (к которому он
имеет «максимальное доверие»), либо предоставить право выбора алгоритма пакету MathCAD. Для этого необходимо щелкнуть правой кнопкой мыши на имени функции Find и в появившемся контекстном меню (рис. 1.6) и выбрать подходящий алгоритм. Пользователю, не «искушенному» в вычислительных
методах, рекомендуется предоставить выбор MathCAD, включив для этого команду «Автовыбор». В контекстном меню всегда можно увидеть выбранный алгоритм вычисления решения
системы уравнений.
Аналогично можно задать алгоритм решения и для функции Minerr.
Замечание 1.3.1. Использование численных методов в
функциях Find, Minerr требует перед блоком Given задать начальные значения переменным, по которым осуществляется поиск корней уравнения. ♦
Пример 1.3.1. В качестве тестового функционала при поис-
ке точки минимума часто используется функционал Розенброка:
= − + −
14
. (1.3.3)
x y y x
≥ ≥ ≤ −
(1,1)
(1 0.001,1)
+
(1,1)
Рис. 1.6. Задание алгоритма функции Find
«Поверхность» этого функционала напоминает глубокий овраг,
что сильно осложняет работу многих алгоритмов минимизации.
Требуется вычислить точку минимума функционала при ограничениях:
0; 0; 9
. (1.3.4)
Решение. Документ MathCAD решения этой задачи показан
на рис. 1.7. В последней строке вычислено значение функционала в точке экстремума
значение функционала возросло, т.е. точка
и показано, что в точке
– точка мини-
мума функционала (1.3.3). ☻
15
Рис. 1.7. Минимизация функции Розенброка
++=
≥≥≥
Вопросы и задания для самопроверки
1. Какова формулировка задачи безусловной оптимиза-
ции?
2.
Какова формулировка задачи условной оптимизации?
Какая функция в оптимизационной задаче называется
3.
целевой?
4.
Какие функции MathCAD вычисляют точки максимума и
минимума целевой функции?
5.
Решите задачу линейного программирования: опреде-
лить точку максимума функционала:
1592)( xxxxF
210
при ограничениях:
;0;0;0
xxx
210
;4737
≤++
xxx
210
≤+−
xxx
210
≤−+
xxx
210
;25835.0
.291029
Вычислить значения функционала в этой точке.
16
Ответ: максимум функционала достигается в точке (0, 13,
2
L
< <
ωωω
−+−+−
=
≥≥≥
ω
8).
6. Решите задачу оптимального раскроя. Из металлическо-
го листа прямоугольной формы (рис. 1.8) необходимо сварить
бак максимального объема. Размеры листа: L = 1, M = 2. Необходимо произвести вырез по углам прямоугольника на величину
и сформировать стороны бака.
a
М = 2
L = 1
Рис. 1.8. Заготовка для бака
Необходимо определить величину a, при которой объем бака
будет максимальным.
Рекомендация: выразите объем бака как функцию параметра a, а затем решайте оптимизационную задачу с ограничениями
0
торой дан функционал:
.
a
7.
Решите задачу 6 без ограничений на искомую величину a.
8. Решите задачу квадратичного программирования, в ко-
vvuuvuQ
Необходимо определить точку максимума этого функционала при ограничениях:
vu
ω
ω
17
≤++
.907
≤++
vu
vu
Ответ: максимум функционала достигается в точке (7.5,
10, 6).
;0;0;0
;100423
).12(2)20(5)15(),,(
9.
Решите пример оптимального выпуска продукции: предприятие выпускает два вида продукции – по 1.5 и 9.5 руб. за
единицу. Для выпуска продукции выделено 5 тыс. единиц ресурсов и 180 нормо-часов. На выпуск единицы продукции первого и второго вида уходит по 60 и 90 единиц ресурсов и 3.5 и
2.8
нормо-часа соответственно. Сколько нужно произвести продукции первого и второго видов, чтобы ее общая стоимость была максимальна?
Ответ: количество продукции первого и второго типа (15,
45).
10. Для питания нужно ежедневно принимать не менее 6
единиц белков, 8 единиц жиров и 12 единиц углеводов. Есть два
вида корма. Одна единица первого корма содержит 21 единицу
белка, 2 единицы жира, 4 единицы углеводов и стоит 3 руб. Для
второго корма соответствующие цифры cледующие: 3, 2, 2 и 2.
Составьте оптимальный рацион питания, т.е. сколько и какого вида
корма необходимо принимать ежедневно.
11. В условиях примера 3.1.3 найти решение задачи миними-
зации функции Розенброка без ограничений на переменные задачи.
18
Глава 2. ЗАДАЧИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
И СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
Эта глава содержит решение в пакете MathCAD часто
встречающихся задач теоретической механики и сопротивления
материалов.
2.1.
Единицы измерения физических величин в пакете
MathCAD
Процессор пакета MathCAD отличается от других вычислительных систем (электронные таблицы, языки программирования высокого уровня и др.) тем, что он может работать с размерными (физическими) величинами. На рис. 2.1 показано, как с
помощью диалогового окна Insert Unit («Вставка единиц изме-
рения») в формулы можно вставлять размерности физических в
расчет в среде MathCAD.
Рис. 2.1. Вставка размерности физической величины
19
Также пакет MathCAD содержит справочник по основным
математическим и физико-химическим формулам и константам,
из которого можно копировать в расчеты необходимые формулы и величины с соответствующими единицами измерения.
Справочник вызывается командой Reference Tables («Таблица
ссылок») из меню Help («Справка»). На рис. 2.2 показана вставка физической формулы в расчет. Результат вставки показан в
верхней части документа, показанного на рис. 2.1.
Рис. 2.2. Вставка формулы
Более подробно ознакомиться с возможностями, предоставляемыми пакетом MathCAD при работе с размерными физическими величинами, можно, например, в учебниках [14, 16].
С помощью команды Result («Результат») из меню Format
(«
Формат») или двойным щелчком мыши по ответу вызывается
диалоговое окно форматирования чисел, в котором можно поменять следующие установки:
систему счисления для представления чисел;
o
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]