Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение инженерных задач в пакете MathCAD. Учебное пособие
.pdf
Задание 4.1.1. В условиях задачи 4.1.2 определить число
0.4, 0.7, 0.9
=
min
n
, , ,
n
x x x
…
, , ,
n
p p p
…
(
)
,
−∞ ∞
[
]
,
a b
()(
)
F x P X x
= <
f x F x
dx
(
)
F x
(
)
0 1
≤ ≤
наименьших выстрелов при
ленную закономерность изменения
4.2.
Случайные величины и их числовые характеристики
Напомним, что случайной называют величину, которая в результате испытаний принимает одно значение, априори (т.е. до
опыта) неизвестное и зависящее от некоторой совокупности
случайных причин, полный учет которых заранее не известен.
Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.
Дискретной называется такая случайная величина, которая
может принимать конечное или бесконечное счетное множество
значений. Для задания такой случайной величины перечисляют
все ее значения, например
1 2
Непрерывной случайной величиной называется величина,
которая может принимать (случайным образом) любое значение
на всей вещественной оси
. Непрерывные случайные величины являются предметом
дальнейшего рассмотрения.
Основными законами, полностью описывающими непрерывные случайные величины, являются:
• функция распределения
вероятность события, что значения случайной величины X
меньше заданного значения x;
•
появления этих значений.
плотность распределения
=
( ) ( )
p
1 2
или из конечного отрезка
– (4.2.1)
d
. (4.2.2)
. Объяснить выяв-
. ●
и вероятности
ная функция, для которой можно доказать следующие свойства:
В дальнейшем будем предполагать, что
1)
F x
; (4.2.3)
61
– непрерыв-
2)
()(
)
lim 0
−∞ = =
()(
)
lim 1
∞ = =
()(
)
F b F a
b a
>
(
)
F x
(
)
f x
(
)
F x
F x f z dz
(
)
0
≥
1
f x dx
=
(
)
F x
()()(
)
< < = ≤ < = < ≤ =
(
)
α β
(
)
,
α β
(
)
α β
[
)
,
α β
(
)
α β
(
]
,
α β
(
)
α β
[
]
,
α β
[
)
,
α β
()()(
)
α β β α
3)
4)
F F x
F F x
x
→−∞
x
→∞
≥
, если
; (4.2.4)
; (4.2.5)
. (4.2.6)
Последнее свойство говорит о том, что
убывающей функцией.
Плотность распределения
( ) ( )
является неотрицательной функцией
f x
и удовлетворяет условию
∞
∫
−∞
Заметим, что для непрерывных случайных величин с непрерывной функцией
ностей:
P X P X P X
α β α β α β
P X
где
< <
вал
P X
≤ <
имеют место следующие равенства вероят-
α β
P X
= ≤ ≤
( )
– вероятность попадания в открытый интер-
;
– в полузакрытый интервал
позволяет вычислить
∞
=
∫
−∞
( )
, (4.2.7)
(4.2.8)
. (4.2.9)
,
является не-
(4.2.10)
;
:
P X
< ≤
P X
≤ ≤
Вероятность попадания в интервал
двумя методами:
– в полузакрытый интервал
– в закрытый интервал
P X F F
≤ < = −
62
;
.
можно вычислить
; (4.2.11)
P X f x dx
β
(
)
F x
, 0 2;
7 11
, 2 ;
4 4
(
)
f x
(
)
1,2.5
(
)
F x
(
)
f x
(
)
1,2.5
(
)
A
(
)
B
α β
≤ < =
( ) ( )
Тогда, в силу равенств (4.2.10) соотношения (4.2.11),
(4.2.12) определяют вероятность попадания случайной величины в отрезки с другими типами границ.
Пример 4.2.1. Пусть функция
0, 0;
x
16
=
F x
( )
x если x
1, .
Определить плотность
∫
α
если x
2
− ≤ <
если x
<
если x
≥
и вероятность попадания случай-
. (4.2.12)
задается выражением:
≤ <
11
4
ной величины X в интервал
Решение. На рис. 4.4 приведен фрагмент документа
MathCAD,
вая 1 – график
падания в отрезок
жение
формула (4.2.10).
.
в котором решается данная задача. Приведены кри-
, кривая 2 – график
вычислялась двумя способами: выра-
(см. рис. 4.4) – формула (4.2.9), выражение
63
. Вероятность по-
–
0, 2;
, 2.
≥
(
)
F x
Рис. 4.4. Статистические вычисления к примеру 4.2.1
Пример 4.2.2. Задана плотность распределения случайной
величины
x
<
( )
=
A
2
x
x
f x
Определить:
1) коэффициент A;
2)
функцию
;
64
3)
1
A dx
= =
1
2
=
2A=
0, 2;
, 2.
≥
вероятность попадания случайной величины в интервал
(2, 3);
4)
вероятность того, что при четырех независимых испыта-
ниях случайная величина ни разу не попадет в интервал (2, 3).
Решение. Неизвестный множитель A определяем из условия (4.2.9):
∞ ∞
dx A
∫ ∫
2 2
x x
2 2
.
В документе, приведенном на рис. 4.5, показано вычисление интеграла в символьном виде, откуда следует уравнение
A
или
.
Тогда
Рис. 4.5. Вычисления к примеру 4.2.2
x
<
f x
( )
=
2
2
x
65
x
В этом же документе в символьном виде вычислена
(
)
F x
[
)
2,
∞
, 2.
≥
0.333
=
1 0.667 0.198
M x x f x dx
.
D x x M x f x dx
= − =
на интервале
Далее вычисляется вероятность
чайной величины в интервал (2, 3), и по формуле
вычисляется вероятность того, что при четырех испытаниях
случайная величина ни разу не попадает в интервал (2, 3). ☻
Напомним, что математическое ожидание случайной величины определяется как:
Дисперсия определяется выражением:
Заметим, что математическое ожидание и дисперсия являются уже не случайными величинами: первая характеризует
точку, вокруг которой группируются значения случайной величины; вторая – степень разброса значений случайной величины
от ее математического ожидания.
Задача 4.2.4. Для случайной величины, плотность распре-
деления которой задается формулой (пример 4.2.1):
, откуда следует:
0, 2;
x
F x
p q− = = =
( )
( ) ( )
∞
( ) ( )
∫
−∞
∞
x f x dx M x
= −
∫
−∞
=
( )
4
=
4 4
∞
∫
−∞
x
−
x
( )
2
( ) ( )
<
2
2
x
p
. (4.2.13)
попадания слу-
( )
(4.2.14)
2
( )
66
0, 0;
, 0 2;
11
1, 2 ;
4
≤ <
(
)
M x
(
)
D x
p
x
если x
x
8
( )
=
,
если x
0,
если x
f x
вычислить
Решение. На рис. 4.6 приведен фрагмент документа, в котором вычисляются искомые числовые характеристики. Вычисление дисперсии осуществляется двумя способами (4.2.14). ☻
<
если x
≤ <
11
≥
.
(4.2.15)
4
которого
Рис. 4.6. Вычисление числовых характеристик (пример 4.2.4)
Квантилем порядка p называется такое значение
67
, для
()(
)
p p
P X x F x p
< = =
f x dx p
=
p
x
0.05
x
0.05
x
0.894
0.5
x
0.75
x
, (4.2.16)
или
x
p
( )
∫
−∞
Таким образом, вычисление
. (4.2.17)
сводится к решению либо
уравнения (4.2.16), либо (4.2.17). Лучше всего решать уравнения
в пакете MathCAD.
Пример 4.2.6. Найти квантиль
случайной величины,
плотность распределения которой задана выражением (4.2.15).
Решение. На рис. 4.7 показан документ MathCAD, в кото-
ром вычисляется квантиль
ное значение равно
из уравнения (4.2.15). Найден-
. Здесь же выполнена проверка этого
значения. ☻
Задание 4.2.1. Для функции плотности (4.2.15) вычислите
квантили
Рис. 4.7. Вычисление квантилей (пример 4.2.5)
,
как решения уравнения (4.2.16). ●
68
Моделирование случайных величин
x
−
exp , 0
− >
(
)
, ,
µ σ
(
)
, ,
α µ σ
(
)
, ,
µ σ
2
M X a
σ
=
=
!
e
x
λ
−
−
x
0
>
λ
(
)
,
λ
(
)
,
α λ
(
)
,
λ
( )
M X
λ
λ
=
=
4.3.
В научных и инженерных исследованиях широкое применение находит метод статистического моделирования, или метод Монте-Карло. Для его реализации необходимо генерировать
случайные (точнее, псевдослучайные) числа, распределенные по
требуемому закону с заданными числовыми характеристиками
(математическим ожиданием, дисперсией и т.д.). Пакет
MathCAD включает большой набор функций не только для ге-
нерирования случайных чисел, но и для проведения различных
статистических вычислений.
Функции MathCAD для вычисления плотности распределения. В табл. 4.1 приведены функции (имена начинаются с буквы
d – первая буква слова density), позволяющие вычислить значе-
ния функции плотности наиболее используемых распределений
значение, для которого вычисляется плотность распределе-
(
ния).
Таблица 4.1
Числовые
характери-
стики
( )
D X
( )
( )
D X
Распределение
1 2 3
Нормальное распределение
1
2
⋅
π σ
Распределение Пуассона
целое неотрицательное
(
( )
x
λ
число,
2
x
µ
−
2
σ
σ
2
)
Функция
MathCAD
dnorm x
qnorm
rnorm m
dpois x
qpois
rpois m
69
1 2 3
1
b a
−
[
]
∈
[
]
∉
(
)
, ,
dunif x a b
(
)
, ,
qunif a b
(
)
, ,
runif m a b
2
12
a b
+
(
)
n
−
n
x
≤≤0
(
)
, ,
dbinom x n p
(
)
, ,
qbinom n p
(
)
, ,
rbinom m n p
(1 )
M X np
np p
=
0
≤
x
2
0>x
−>0
n
(
)
,
dchisq x n
(
)
,
qchisq n
(
)
,
rchisq m n
( ) 2
M X n
D X n
=
(
)
2
−>0
n
(
)
,
dt x n
(
)
,
qt n
(
)
,
rt m n
2
χ
Равномерное распределение
,
если
0, если
Биноминальное распределение
xn
,
ppC
распределение
;
x
−
n
2
xe
0, если
n
2
2/
xx
χ
1
Γ
−1
2
−
n
( )
bax ,
12/
−
bax ,
,
если
Окончание табл. 4.1
( )
M X
=
D X
=
( )
α
=
α
α
D X
= −
b a
−
( )
( )
( )
( )
2
=
=
в математической статистике. Пусть
нормально распределенные случайные величины с нулевым ма-
тематическим ожиданием и единичной дисперсией, т.е.
(
(
число степеней свободы)
Распределение Стьюдента
+
1
n
Γ
n
π
число степеней свободы)
Кратко о
2
( )
Γ⋅
1
+
n
-
распределении, которое широко используется
1
+
n
−
2
2
x
n
70
α
NN ,...,
– независимые,
n
1
–
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]