Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение инженерных задач в пакете MathCAD. Учебное пособие
.pdf
~ (0,1)
N N
2
n
χ
2
n
χ
( 0) 0
< =
2
n
χ
30
>
2
n
χ
( , )
σ
, 2
a n n
5
=
10
=
30
=
n
p
x
(
)
f x
.
x
f x dx p
=
i
, где N означает нормальное распределение, 0 – нуле-
вое математическое ожидание, 1 – среднеквадратическое отклонение, которое равно корню квадратному из дисперсии. Тогда
распределение случайной величины
χ
1
2
2
называется распределением
величина
– случайной величиной
2
2
...nnNNNN ++++=
3
с п степенями свободы, а сама
2
χ
с п степенями свободы.
22
Заметим, что количество степеней свободы п является
единственным параметром распределения, и значения
отрицательны, т.е.
2
P
χ
n
. Распределение
2
χ
не-
с п степе-
нями свободы имеет следующие математическое ожидание и
22
nDnM
2][;][
==
дисперсию:
свободы
n
-распределение хорошо аппроксимируется
нормальным распределением
σ
= = .
χχ
nn
N a
. При числе степеней
с параметрами
На рис. 4.8 показаны плотности распределения f(x) случай-
ной величины
кривая) и
n
2
χ
n
(штриховая кривая). Видно, что при увеличении
при
n
(сплошная кривая),
n
(точечная
плотность f(x) «приближается» к плотности нормального рас-
пределения.
Функции MathCAD для вычисления квантилей распределе-
ния. Напомним, что число
называется квантилем уровня p
распределения с плотностью
следующего нелинейного уравнения:
, если оно является решением
p
71
( )
∫
−∞
2
χ
(30,8)
2
30
-
χ
(30,8)
2
30
χ
2
30
-
χ
(30,8)
Рис. 4.8. Плотности распределения
В табл. 4.1 в правой колонке (вторая строка) приведены
функции MathCAD (имена начинаются с буквы q) вычисления
квантилей соответствующих вычислений.
Пример 4.3.1. Вычислить квантили уровней 0.90, 0.95, 0.99
для следующих распределений: нормального
N
,
рас-
пределения.
Решение. На рис. 4.9 приведен фрагмент документа
MathCAD,
сти распределений (сплошная кривая – распределение
точечная кривая – распределение
в левой части которого приведены графики плотно-
N
). В правой части доку-
мента вычислены нужные квантили. Видно хорошее совпадение
квантилей одного уровня, но разных распределений, что говорит
о хорошей аппроксимации
пределением
N
.
распределения нормальным рас-
,
72
m
−
(
)
rnd x
mean
var
Рис. 4.9. Графики распределений примера 4.3.1
Заметим, что чем больше уровень квантиля, тем больше его
значение. Объясните почему? ☻
Функции MathCAD генерирования случайных векторов.
Вектор, проекции которого являются случайными числами, распределенными по определенному закону, называется случайным
вектором.
В табл. 4.1 в правой колонке (третья строка) приведены
имена функций (начинаются с буквы r), вычисляющих случайный вектор с соответствующим распределением его проекций.
Параметр
Функция
размерность случайного вектора.
генерирует одно случайное число, равно-
мерно распределенное в интервале [0, 1].
Пример 4.3.2. На рис. 4.10 приведен фрагмент документа
MathCAD,
в котором генерируются два случайных вектора:
ξ
N
проекции имеют нормальное распределение (математическое
ожидание равно –20, дисперсия 100);
ξ
-проекции имеют
χ
χ
2
-распределение (с числом степеней свободы 20). Размерность векторов равна 100. Здесь же вычислено выборочное среднее (функция
) и выборочная дисперсия (функция
) этих векто-
ров. ☻
73
-
2
λ
=
10, 20
= =
{
}
, 1,
х i N
N
1 2 1
L L
z z z z
+
⋯
{}{
}
i L i
z x z x
Рис. 4.10. Моделирование случайных чисел
Задание 4.3.1. Составьте документ MathCAD, в котором ге-
нерируются случайные векторы с числом проекций 200, проекции которых подчиняются:
– распределению Пуассона с параметром
–
равномерное распределение с параметрами
;
a b
.
Построить графики проекций случайных векторов. Вычислить
выборочные среднее и дисперсию (пример 4.3.2). ●
4.4.
Построение гистограммы относительных частот
Напомним некоторые определения из математической статистики. Предположим, что дана выборочная совокупность (проще,
выборка)
ки). Введем L + 1 точку
по выборочной совокупности
= случайной величины Х (
i
< < < <
min ; max
≤ ≥
1 1
74
+
– объем выбор-
, при этом:
. (4.4.1)
Тогда число значений
i
x
1
[ , ),
n N
=
k
n
1.
=
[
)
, , 1,2,...,
z z k L
*
k
y
, 1, , .
y k L
( ),
y f x
x
−
[
)
1
z z
[
)
1
z z
( )
f x
[
)
1
z z
[
]
1 3.222lg( ) 1,
= + +
z z
вал
k k
k = 1,…,L, обозначим через nk и назовем частотой.
+
Очевидно, что
Величину
∑
k
, попавших в полузакрытый интер-
L
. (4.4.2)
k
1
=
wN=
k
(4.4.3)
назовем относительной частотой, для которой выполняется условие
L
∑
k
w
1
=
(4.4.4)
k
В качестве оценки плотности распределения вероятности
непрерывной случайной величины Х используют гистограмму
относительных частот, т.е. систему прямоугольников, k-й из
которых основанием имеет k-й интервал
высота
где
определяется по формуле
w
*
k
k
= =
−
z z
k k
1
+
Можно показать, что имеет место приближенное тождество
* *
≅
*
некоторое число из интервала
k
(4.4.6)
k k
(4.4.5)
…
,
k k
+
=
1
+
, а
.
Поэтому при больших объемах выборки и удачном выборе
длин интервалов
аппроксимацией плотности распределения
,
k k
гистограмма является ступенчатой
+
.
Возникает вопрос: как сформировать интервалы
Количество интервалов L рекомендуется вычислять по формуле:
где [Q] – целая часть числа Q.
L N
75
,
k k
?
+
(4.4.7)
Обычно интервалы берут равной длины
k k
h z z
= −
k
z
{
}
min ( 1), 1, , 1,
= + ⋅ − = +
…
{}{
}
x x
L
*
k
y
k
n
•
, 1, , 1.
= +
…
•
•
•
k
d
*
, , .
k k k
n w y
гда узлы
определяются выражением:
, и то-
1
+
z x h k k L
k i
(4.4.8)
где
max min
i
=
h
Значения wk,
определения
функции: hist(int, X), histogram(int, X).
вычисляются по частотам nk. Поэтому для
по выборке {xi} в MathCAD включены две
−
i i
i
. (4.4.9)
Параметры функции hist(int, X):
int – массив длины (L + 1), составленный из значений
z k L
k
Если параметр int задать целым числом, рав-
ным числу интервалов L, то при выполнении функции формируется рабочий массив узлов {zk} по формулам (4.4.8), (4.4.9);
X – массив длиной N, составленный из значений выборки
{xi}.
Результатом работы функции является одномерный массив
}, k = 1,…, L.
{n
k
Параметры функции histogram(int, X):
int – массив длины (L+1), составленный из значений zk,
k = 1,…, L + 1. Если int задать целым числом, равным числу интервалов L, то при выполнении функции формируется рабочий
массив узлов {zk} по формулам (4.4.8), (4.4.9);
Х – массив длиной N, составленный из значений выборки
{xi}.
Результатом работы функций является матрица размером
L×2, первый столбец содержит значения dk (середины отрезков
[z
, z
) k = 1,…, L, а второй столбец – значения nk.
k
k+1
На наш взгляд, более предпочтительной является функция
histogram, так как значения
графического отображения вычисленных величин
более удобны для дальнейшего
76
Пример 4.4.1. Построить гистограмму относительных час-
( 20,10)
−
N
ξ
тот по выборке случайной величины, распределенной по нормальному закону
N
(см. пример 4.3.2). Объем выборки
N = 1000.
Решение. На рис. 4.11 приведен фрагмент документа
MathCAD, в котором:
Рис. 4.11. Гистограмма выборки нормального распределения
• сформирован случайный вектор
, проекции которого
играют роль элементов выборочной совокупности (объем равен
1000);
•
по формуле (4.4.7) вычислено число отрезков гисто-
граммы;
77
•
k
d
, 1,...,12
*
k
y
k
p
( 20,10)
−
k
d
k
x d
=
*
k
y
k
p
в результате обращения к функции hist(int, X) вычисле-
ны значения середин отрезков
• вычислены высоты прямоугольников гистограммы
вычислены значения
•
деления
•
N
построены соответствующие графики, где точками по-
в точках
и частот
n k = ;
k
;
плотности нормального распре-
;
казаны значения плотности нормального распределения, вычисленные при
.
Видно хорошее совпадение высот гистограммы с теоретическими значениями плотности распределения. ☻
Замечание 4.4.1. Для отображения значений
в виде
прямоугольников необходимо сделать двойной щелчок на диаграмме (т.е. войти в режим «Форматирование»), затем активизировать закладку «Графики» и в списке «Тип» задать параметр
«Панель заливок». Для англоязычной версии задать параметр
Solidbar.
♦
Замечание 4.4.2. Фрагмент документа, представленного на
рис. 4.12, можно использовать для построения гистограммы по
реальной выборке (т.е. по экспериментальным данным). Для
этого вместо функции моделирования случайного вектора вставить функцию чтения READPRN данных из файла. Документ
для построения гистограммы по реальной выборке приведен на
рис. 4.12.
Файл с выборочными значениями имеет имя sample.prn.
Объем выборки равен 100. На графике отображается только гистограмма, так как теоретические значения плотности вероятно-
сти
на практике отсутствуют. Хотя выборка была сделана
из нормального распределения, ее малый объем привел к существенному отличию гистограммы от формы плотности нормального распределения. ♦
78
2
10
χ
2
10
χ
Рис. 4.12. Построение гистограммы по реальной выборке
Задание 4.4.1. Запрограммируйте в документе MathCAD
следующие процедуры:
формирование двух случайных векторов, содержащих
•
100 и 2000 случайных чисел, подчиняющихся
-распределе-
нию с числом степеней свободы 10;
• вычисление двух гистограмм и вычисление теоретиче-
ских значений плотности
-распределения;
79
•
,
X Y
−
(
)
mean X
(
)
var X
(
)
side X
(
)
median X
(
)
mode X
,
X Y
(
)
,
cvar X Y
построение графиков гистограмм и теоретических зна-
чений плотности (см. пример 4.4.1);
анализ построенных гистограмм и вывод о связи точ-
•
ности гистограммы с объемом выборки. ●
4.5. Вычисление выборочных оценок для точностных
характеристик случайных величин
К числовым характеристикам случайной величины относятся: математическое ожидание (или среднее), дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т.д. Часто возникает необходимость оценить эти характеристики по выборке значений случайной величины объема N. Такие оценки называют выборочными,
или точечными, оценками числовых характеристик.
В табл. 4.2 приведены имена функций, вычисляющих выборочные оценки часто используемых числовых характеристик.
Здесь
векторы размерности N, составленные из выбороч-
ных значений случайных величин X и Y.
Таблица 4.2
Числовые характеристики Функция MathCAD
Математическое ожидание
случайной величины X
Дисперсия случайной величины X
Среднеквадратическое отклонение
случайной величины X
Медиана случайной величины X
Мода случайной величины X
Корреляционный момент двух
случайных величин
Поясним некоторые числовые характеристики.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]