Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет электрических цепей для строительных машин. Учебное пособие
.pdf
Пример 4
10 10 cos 30 j10 sin 30
=
= = ⋅ °− ⋅ °=
U
ɺ
Ом
.
= + ⋅ − ⋅ = + ⋅ − ⋅ = −
10 10 14,14
cos 0,707 45 ;
= = = = °
Вектор комплексного тока расположен в четвертой четверти.
10 А;
I
30 330 ;
= °=+ °
−
α
j30
− °
ɺ
I e
8,66 j5 A.
= −
Рис. 2.6
Пример 5
Определить ток в цепи с активным сопротивлением
R = 10 Ом, индуктивным XL = 20 Ом и емкостным XC = 30 Ом
при
= 100 В. Рассчитать падение напряжения на сопротивле-
ниях; построить векторную диаграмму тока и напряжений.
Определяем комплексное сопротивление цепи в алгебраической форме:
Z R X X
j j 10 j 20 j 30 10 j10
L C
Для перевода в показательную форму определим модуль
комплексного сопротивления и угол:
2 2 2 2
= + = + =Z R X
10
R
α α
14,14
Z e
=
Z
14,14
j45
− °
Ом.
21
Рис. 2.7
Ом;
Комплексное значение тока
7,07 A.
ɺ
В
;
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
ɺ ɺ
В;
В.
ɺ ɺ
50 j50 100 j100 150 j150
= + + = + − + + − =
ɺ ɺ ɺ ɺ
500 500 707,11B A
= + = + = ⋅
U e
ɺ
I e
= = =
Z
14,14
⋅
⋅
e
j45
− °
j45
°
j0
100
Определим падение напряжения на сопротивлениях:
j45 j45
U R I e e
R
70,7 cos 45 j70,7 sin 45 50 j50
= ⋅ °+ ⋅ ° = +
j 20 7,07 141,4
U X I e e e
= ⋅ ⋅ = ⋅ = =
L L
141,4 cos 45 j141,4 sin 45 100 j100
= ⋅ ° + ⋅ ° = +
− −
ɺ ɺ
U X I e e e
= ⋅ = ⋅ = =
C C
212,2 cos 45 j212,1 sin 45 150 j150
= ⋅ ° − ⋅ ° = −
10 7,07 70,7
j90 j45 j135
° ° °
j90 j45 j45
− ° ° − °
30 7,07 212,1
° °
Проверка по второму закону Кирхгофа:
U U U U
R L C
100 j0 100 В закон выполняется.
= + = −
Проверяем баланс мощностей:
– полная мощность источника
S
= U·I = 100 · 7,07 = 707 В·А;
ист
– активная мощность источника
P
= S
ист
· cos α = 707·cos 45° = 500 Вт;
ист
– активная мощность приемников
= R·I
2
= 10 · 7,072 = 500 Вт;
Р
пр
– реактивная мощность источника
Q
= S
ист
· sin α = 707·sin 45° = 500 вар;
ист
– реактивная мощность приемников
Qпр = (XL – XC) · I 2 = (20 – 30) · 7,072 = –500 вар –
знак «–» означает, что реактивная мощность цепи носит
емкостный характер;
– полная мощность приемников
S Р Q
пр пр пр
2 2 2 2
–
баланс всех видов мощностей выполняется.
22
Построение векторной диаграммы
I
ɺ
,RU
ɺ
,LU
ɺ
.CU
ɺ
,RU
ɺ
,LU
ɺ
C
U
ɺ
,
U
ɺ
L
U
ɺ
I
ɺ
C
U
ɺ
I
ɺ
R
U
ɺ
,
I
ɺ
Задаемся масштабами тока MI и напряжения МU. Под углом
+45° (против часовой стрелки) к оси действительных чисел +1
откладываем векторы комплексных тока:
под углом +135° – вектор напряжения
и напряжения
а под углом –45° (по
часовой стрелке) к оси действительных чисел +1 – вектор напряжения
Геометрическая сумма векторов
дает расположенный на оси +1 вектор напряжения источника
который задан действительным числом U = 100 В. Вектор
напряжения на индуктивности
90°, вектор напряжения на емкости
ка
на 90°, вектор напряжения на активном сопротивлении
совпадает с вектором
что соответствует физике процессов
опережает вектор тока
отстает от вектора то-
на
в рассматриваемой электрической цепи (рис. 2.8).
Рис. 2.8. Векторная диаграмма
к примеру 5
Пример 6
Определить токи и падение напряжения на участках цепи;
проверить баланс мощностей; построить векторную диаграмму
напряжений и токов (рис. 2.9).
U = 220 B;
R1 = 1 Ом;
Х
= 4 Ом;
1
R2 = 12 Ом;
Х
= 3 Ом;
2
R3 = 5 Ом;
Х
= 7 Ом.
3
Рис. 2.9
23
Находим комплексное сопротивление ветвей:
Ом;
= − ⋅ = −
cos 0,2425;
75,964 75 58;
ϕ
′
= ° = °
Ом
;
′
Ом
;
Ом;
cos 0,97;
14,04 14 02 ;
′
= ° = °
Ом
;
′
Ом;
= − ⋅ = −
cos 0,581;
54,4623 54 28 ;
′
Ом.
′
2 3
2 3
;
Z Z
Z Z
⋅
Ом;
′
Ом.
Z R X
1 1 1
= + = + =
Z R X
1 1 1
R
= = =
ϕ
1
Z
Z e
= + = + =Z R X
2 2 2
= = =
ϕ
2
Z e
Z R X
3 3 3
Z R X
= + = + =
3 3 3
R
= = =
ϕ
3
Z
j 1 j4 Ом;
2 2 2 2
1
1
4,123
1
1 j4 4,123
= − =
1
= + ⋅ = +
Z R X
2 2 2
2 2 2 2
R
2
12,37
Z
2
12 j3 12,37
= + =
2
j 12 j3
12 3 12,37
12
j 5 j7 Ом;
2 2 2 2
5
3
8,6
3
5 j7 8,6
Z e
= − = ⋅
3
1 4 4,123
1
j75 58
− °
ϕ
2
j14 02
°
5 7 8,6
ϕ
= ° = °
3
j54 28
− °
Комплексное сопротивление параллельных ветвей 2 и 3
Z Z e
+ = + + − = − =
2 3
12,3 7 8
⋅ ⋅
Z e e
= = = −
Z e
23
17,464
Z
23
′ ′
j14 02 j54 22
° − °
′
j13 14
− °
e
=
+
j13 14
− °
′
j27 12
− °
6,09 5,42 j2,784
24
12 j3 5 j7 17 j4 17,464
Общее комплексное сопротивление всей цепи
1 j4 5,42 j2,784 6,42 j6,784
= + = − + − = − =
23,56 23,56 cos 46 35
′
= = = = ⋅ ° +
ɺ
1
:
Z
10 4,123 23,56
′ ′
= ⋅ = ⋅ ⋅ =
ɺ ɺ
23 1
U U U
= −
ɺ ɺ ɺ
23 1
;
U Z I
= ⋅
ɺ ɺ
220 84,64 j47,66 135,4 j47,66 143,5 B.
′
ɺ
11,6 11,55 j1,082 A;
16,69 4,64 j16,03 A.
′
ɺ
2 3
;
Z Z
2 3
;
Z Z
Z Z Z
общ
=
1 23
′
j46 35
− °
9,34 Ом.
e
Определяем токи в ветвях цепи:
j0
U e
ɺ
I e
1
Z
общ
j23,56 sin 46 35 16,2 j17,11A.
+ ⋅ ° = +
220
9,34
e
j46 35
− °
′
j46 35
′
° °
Токи в ветвях 2 и 3 можно определить двумя способами:
1. Определяем падение напряжения на комплексном со-
противлении первого участка
U Z I e e
1 1 1
j29 23
e
− °
= 97,14 84,64 j47,66 В.
j75 58 j46 35
− ° °
′
= −
Определяем напряжение на параллельных ветвях 2 и 3 по одной
из формул:
или
U e
= − + = + =
23
23
j19 23
− °
Определяем токи в ветвях 2 и 3:
j19 23
e
e
j14 02
e
j19 23
e
j54 28
− °
°
′
°
′
°
′
j5 21
°
j73 51
U
143,5
23
ɺ
I e
= = = = +
2
Z
12,37
2
ɺ
U
143,5
23
ɺ
I e
= = = = +
3
Z
8,6
3
2. Токи в ветвях 2 и 3 определяем по формулам:
Z
ɺ ɺ
I I
=
2 1
3
+
25
ɺ ɺ
I I
=
3 1
′
′
°
Z
2
+
23,56 11,6 11,55 j1,082 A;
23,56 16,69 4,64 j16,03 A.
′ ′
;
I I I
+ =
ɺ ɺ ɺ
2 2 2
;
U Z I
= ⋅
ɺ ɺ
3 3 3
,
U Z I
= ⋅
ɺ ɺ
2 3
,
U U
ɺ ɺ
1 2
.
U U U
ɺ ɺ ɺ
2 2 2 2 2
1 23,56
= = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ +
вар
.
В A.
= + = + = ⋅
j46 35 j5 21
ɺ
I e e
= ⋅ = = +
2
ɺ
I e e
= ⋅ = = +
3
° °
′ ′
j46 35 j73 51
° °
e
17,464
12,37
17,464
e
e
e
j13 14
− °
j14 02
°
j13 14
− °
′
′
′
′
j54 28
− °
8,6
Проверка по первому закону Кирхгофа:
2 3
11,5 + j1,082 + 4,64 + j16,03 = 16,19 + j17,11 A –
первый закон Кирхгофа выполняется.
Если токи в ветвях 2 и 3 находились по второму способу,
то следует определить падение напряжения на этих ветвях
по формулам:
причем, так как ветви 2 и 3 параллельны, то
нить проверку по второму закону Кирхгофа:
= +
=
и выпол-
Активная мощность потребителей
n n
P P R I R I R I R I
+ ⋅ + ⋅ =
∑ ∑
потр i i i
12 11,6 5 16,69 3652,6 Вт.
1 1
2 2
1 1 2 2 3 3
Реактивная мощность потребителей
n n
Q Q X I= = ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅ = −
∑ ∑
потр i i i
1 1
2 2 2 2
3 11,6 4 23,56 7 16,69 3766,5
Знак «–» означает, что суммарная реактивная мощность носит
емкостный характер.
Полная мощность потребителей
S P Q
потр потр пот р
2 2 2 2
3562, 6 3766, 5 5184, 4
26
Определяем мощности источника:
Вт;
вар,
′
= = ⋅ ° =
ϕ
1
I
ϕ
1
и
.
U I
ɺ ɺ
( ) ,
= + − =
Z R X X R
= =
U U
Z R
arctg 0.
= =
R
0,
= − =
S
= U·I1 = 220 · 23,56 = 5183,2 B·A;
ист
cos 5183,2 cos 46 35 3562,4
1
sin 5183,2 sin 46 35 3765,0
= = ⋅ ° =
ϕ
1
′
где
P S
ист ист I
Q S
ист ист I
– угол между векторами
Мощности потребителей и источника практически равны,
т.е. баланс мощностей соблюдается (рис. 2.10).
Рис. 2.10. Векторная диаграмма
к примеру 6
2.3. Режим резонанса напряжений
В электрической цепи с последовательным соединением активного сопротивления R, индуктивности L и емкости С может
возникнуть равенство напряжений на индуктивности и емкости:
UL = UC.
Это явление называется резонансом напряжений. Необходимым условием резонанса напряжений является равенство сопротивлений индуктивного и емкостного XL = XC. В этом случае
общее реактивное сопротивление цепи Xp = XL – XC = 0, комплексное сопротивление цепи равно активному сопротивлению
2 2
L C
ток в цепи
I
определяется
только значением активного сопротивления R (т.е. ток для этой
цепи максимален), угол сдвига фаз между приложенным напря-
жением и током
ϕ
напряжение цепи равно нулю
X
p
Хотя суммарное реактивное
U U U
p L C
27
но каждое
в отдельности напряжение
и
L C
U U
,
U X I
= ⋅
,
= ⋅
U X I
Ом.
= =
Ом;
j j 3 3 0;
= ⋅ − ⋅ = − =
Ом.
В;
arctg 0;
= =
j 3 16,923 50,769 B;
ɺ
значения:
L L
C C
может принимать большие
что приводит к пробою изо-
ляции и другим аварийным явлениям в промышленных электрических сетях. Режим резонанса напряжений широко применяется в радиотехнике, где характеризуется и другими параметрами, которые в данном учебном пособии не рассматриваются.
Рассмотрим режим резонанса напряжений для примера 6,
но без ветви 3 (рис. 2.11).
U = 220 B;
f = 50 Гц;
R1 = 1 Ом;
R2 = 12 Ом;
Х2 = 3 Ом.
Рис. 2.11
Условие резонанса напряжений:
X X
1 2
p
3
Сопротивление цепи:
X X X
ц р
2 1
Другие параметры:
U U
I
= = = =
Z R
U R I
= ⋅ = ⋅ =
1 1
R
U R I
= ⋅ = ⋅ =
2 2
R
U U U
= + = + =
R R R
ϕ
U X I e e
= ⋅ ⋅ = ⋅ =
L
220
16,923 А;
13
1 16,923 16,923 В;
12 16,923 203,077 В;
1 2
X
ц
R
ц
2
16,923 203,077 220
j90 j90
° °
= + = + =
R R R
1 2
ц
Z R= =
28
1 12 13
13
ц
j90 j90
j 3 16,923 50,769 B;
ɺ
В A.
= + = + = ⋅
Ф
1062
мкФ
.
2 2 2 2
.
L L C C
R X R X
U X I e e
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
3 1
рез p
2 2
P R I
= ⋅ = ⋅ =
ц
Q X I
= ⋅ =
S P Q
13 16,923 3723Вт;
2
ц
0;
2 2 2
− ° − °
3723,0 0 3723
Емкость конденсатора при резонансе напряжений
(рис. 2.12)
С
= = = ⋅ =
1
рез
1 1
2
π
f X
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2 3,14 50 3
1
p
1,062 10
3
−
Векторная диаграмма:
Мu 1 см – 50 В;
МI 1 см – 10 A.
Рис. 2.12
2.4. Режим резонанса токов
В электрической цепи, состоящей из двух параллельных
ветвей, в одной из которых имеется индуктивность L, а в другой – емкость С (причем в каждой из ветвей может присутствовать и активное сопротивление R), может возникнуть равенство
реактивных составляющих токов ветвей IL = IC. Это явление называется резонансом токов. Необходимым условием резонанса
токов является равенство индуктивной и емкостной проводимо-
стей: bL = bC, или
X
L
X
=
C
+ +
В этом случае реактивные составляющие токов параллель-
ных ветвей взаимно компенсируются Ip = IL – IC = 0, ток в общей
(неразветвленной) ветви минимален, что обеспечивает минимальные потери в электрических проводах Р
пров
= I
2
·R
пров
. Режим
29
резонанса токов широко применяется в электроснабжении и ра-
2 2 2 2
( )
2 2
C L
X X
2 2
2 2
C
R X
2 2 2 2
1 1 2 2
L C
R X R X
2 2
( )
−
2
1
C
X
диотехнике, где характеризуется и другими параметрами.
Изобразим различные варианты схем параллельных ветвей
и запишем для них условие резонанса токов:
X XX
−
2 2
1
L
R X R X X
+ + −
1 1 2 2 2
=
L C L
C L
;
X
L
2 2
+
R X
1 1
1
=
L
1
.
−
а) б)
1
X
X
2
C
=
1
L
+
+ +
XX
21
CL
=
в) г)
1
X
1
L
X X
=
C L
+ −
R X X
2 2 2
д) е)
2 2
C L
30
X
L
2 2
+
R X
1 1
1
L
=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]