Расчет электростатического поля конденсатора. Учебное пособие

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТПЕТРАВЕЛИКОГО

РАСЧЕТ

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ КОНДЕНСАТОРА

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2021

Ministry of science and higher education of the Russian Federation

PETER THE GREAT

ST. PETERSBURG POLYTECHNIC UNIVERSITY

CALCULATION

OF THE ELECTROSTATIC FIELD OF A CAPACITOR

Training manual

Saint-Petersburg

2021

ПРЕДИСЛОВИЕ

Задача учебного пособия – помочь студентам в работе над курсовым проектом, выполняемым при изучении дисциплины «Теоретические основы электротехники» (раздел «Теория электромагнитного поля»).

Тематика курсового проекта связана с расчетом электростатическогополя.Вучебномпособиирассматриваетсярасчетэлектростатического поля конденсаторов различных типов. Задание по курсовому проекту содержит несколько вариантов, выполнение которых потребует от студентов творческого подхода. Варианты, связанныесналичиемвмежэлектродномпространствеобъемного заряда, имеют прикладное значение.

Для успешной работы над курсовым проектом необходимо предварительное изучение соответствующего теоретического материала по учебнику. Теоретическая часть учебного пособия дополняется примерами с подробными решениями, которые охватывают основные варианты задания и могут служить образцом при выполнении проекта. Предлагаемые варианты заданий достаточно разнообразны, что позволит преподавателю – руководителю проекта – сформировать для каждого студента индивидуальные задания необходимого объема и сложности.

5

ЗАДАНИЕ

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ КОНДЕНСАТОРА

1. Вывести выражения и рассчитать распределения потенциала и напряженности электростатического поля в пространстве между электродами плоского, цилиндрического или сферического конденсатора с двухслойным диэлектриком (рис. 1, а, 1, б и 1, в соответственно).

Построить графики полученных зависимостей U (x) и E (x) для плоскогоконденсатора,U (r)и E (r)– дляцилиндрическогои сферического в случаях, когда:

1.1. Между электродами помещен двухслойный диэлектрик с абсолютными диэлектрическими проницаемостями слоев ε1 и ε2;

ε2

x

Рис. 1

6

конденсатор подключен к источнику электродвижущей силы (ЭДС) с напряжением U1 = U0, второй электрод заземлен – U2 = 0.

1.2.Двухслойный диэлектрик заменен однородным диэлектри-

ком с абсолютной проницаемостью ε1 = ε2 = ε3; замена произведенаприподключенномкэлектродамконденсатораисточникеЭДС.

1.3.Двухслойный диэлектрик заменен однородным диэлектри-

ком с абсолютной проницаемостью ε1 = ε2 = ε3; замена произведена после отключения конденсатора от источника ЭДС.

Во всех рассмотренных случаях определить поверхностную плотность зарядов σ каждого из электродов. Для плоского и сферического конденсаторов найти заряды q каждого из электродов,

атакже емкость C системы. Для цилиндрического конденсатора заряд электродов и емкость определяются на единицу его длины:

τ = q ;

C′=C .

2.Получитьипостроитьзависимостимаксимальнойнапряжен-

ностиполяEmax,зарядовq1,q2 каждогоизэлектродовиповерхностной плотности зарядов σ1, σ2 на них, а также зависимости емкости системы от одного из параметров конденсатора: R1, R12, R2, ε1 или ε2. При этом все остальные параметры остаются неизменными.

3.Определить, при каком значении радиуса граничной поверхности слоев диэлектрика приложенное к конденсатору напряжение делится поровну между слоями диэлектрика:

U1 − U r =R12 = U r =R12 − U2 =U20 .

4.Определить значение параметра задачи, указанного преподавателем,обеспечивающееравенствомаксимальныхвеличиннапряженности поля в каждом из слоев диэлектрика.

5.Получить выражения для потенциала и напряженности поля

впространстве между электродами конденсатора в случае, когда в одну из областей внесен объемный заряд с плотностью ρ,

7

распределенный по заданному закону в зависимости от координаты, перпендикулярной поверхности электродов (x – для плоского конденсатора, r – для цилиндрического и сферического). При этом один из электродов заземлен, другой присоединен к источникунапряженияU0.Построитьграфикизависимостипотенциала

инапряженности поля от координаты.

6.Решить задачу для случая, когда полярность электродов U1, U2 изменена на обратную. Сравнить максимальные значения напряженности в обоих случаях. Определить пробивное значение напряжения между электродами конденсатора при заданной пробивной напряженности электрического поля в диэлектрике.

Значения параметров конденсаторов приведены в табл. 1 и 2.

Таблица 1

Параметры цилиндрического (1–8) и сферического (9–16) конденсаторов

8

Вварианте 1 (9): ρ2 = ρ0 = const.

Вварианте 2 (10): ρ2 = – α(–r + R12), R12 < r < R2.

Вварианте 3 (11), 4 (12): ρ2 = ρ0eβ(r–R12), R12 < r < R2.

Вварианте 5 (13): ρ1 = ρ0 = const.

Вварианте 6 (14): ρ1 = α(–r + R12), R1 < r < R12.

Вварианте 7 (15), 8 (16): ρ1 = ρ0eβ(r–R1), R1 < r < R12.

Таблица 2

Параметры плоского конденсатора

Вариант 1 (9) 2 (10) 3 (11) 4 (12) 5 (13) 6 (14) 7 (15) 8 (16)

Параметры

Вварианте 1 (9): ρ2 = ρ0 = const.

Вварианте 2 (10): ρ2 = –α(–x + d1), d1 < x < d1 + d2.

Вварианте 3 (11), 4 (12): ρ2 = ρ0eβ(x–d1), d1 < x < d1 + d2.

Вварианте 5 (13): ρ1 = ρ0 = const.

Вварианте 6 (14): ρ1 = α(–x + d1), 0 < x < d1.

Вварианте 7 (15), 8 (16): ρ1 = ρ0e–βx, 0 < x < d1.

9

Здесьε1r, ε2r, ε3r –относительныедиэлектрическиепроницаемо- сти, ρ1, ρ2 – объемные плотности заряда в первом и втором слоях диэлектрика соответственно, α,β, ρ0 – параметры, характеризующие распределение объемного заряда в слое диэлектрика.

Примечание.Поуказаниюпреподавателямогутзадаватьсяиные значения U1, U2, ε3, а также значения других параметров.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Задачей расчета электрического поля является определение напряженности поля во всех его точках по заданным зарядам или потенциалам тел. Дляэлектростатическогополя задачаполностью решается отысканием потенциала как функции координат. Связь между напряженностью электрического поля и распределением потенциала в пространстве устанавливается соотношением E =−gradU . Если задан закон распределения свободных зарядов в пространстве как функция координат ρ(x, y, z), то задача нахождения распределения потенциала U(x, y, z) сводится к решению уравнения Пуассона:

div gradU =−ρ/ε.

При отсутствии объемного заряда ρ = 0 поле описывается уравнением Лапласа:

div gradU =0.

Записанные в выбранной системе координат, учитывающей симметрию системы, оба уравнения являются дифференциальными уравнениями в частных производных. В тех случаях, когда потенциал является функцией только одной координаты (в задании рассматриваются именно такие случаи), уравнение Пуассона (или Лапласа)переходитизуравнениявчастныхпроизводныхвобыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.

ПриинтегрированииуравненийПуассонаилиЛапласаврешении появляются постоянные интегрирования. Их определяют, исходя из граничных условий – условий, которым подчиняется потенциал на границахразделасредсразнымиэлектрическимисвойствами.

10