Расчет электростатического поля конденсатора. Учебное пособие

измениться не может, т. е. поверхностная плотность заряда на нем σ2new останется равной σ2old =εUd0 , которая была до внесения

заряда ρ (см. п. 1.1). Следовательно, граничное условие при x = d примет вид

σ2new =σ2old

или

εdUdx =σ2old =εUd0 .

На заземленном левом электроде сохранится условие U = 0. Таким образом, для определения постоянных интегрирования

имеем два уравнения:

x= 0, U (0)=C2 =0;

x = d, dUdx =−ρεd +C1 = σ2εold =Ud0 ,

откуда

C1 =Ud0 + ρεd .

Выражение для потенциала принимает вид

U (x)=−ρx2 +U0 x + ρxd ;

2ε d ε

E =−dUdx = ρεx −Ud0 − ρεd .

На рис. 7 (а, б) показаны кривые распределения потенциала и напряженности поля в конденсаторе при следующих данных:

U0=220В,d =1см,ε=3ε0,ρ=2,5·10–4 Кл/м3.

21

а) U, B 800

600

400

200

x, M

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01

б) E, B/м × 104

0

–5

–10

Рис. 7

Обратимвниманиенато,чтовданномслучаепотенциалправого электрода U2 не равен U0:

22

суммарный заряд электродов равен нулю:

q=σ1s +σ2 s +ρ d s =

=– 3,0841 · 10–6 s + 5,8410 · 10–7s + 2,5 · 10–4 · 0,01s = 0.

1.4.Расчет емкости конденсатора. Емкость конденсатора определяется при условии, что заряды электродов равны по величине

ипротивоположны по знаку q1 = –q2, как

C =U2 q−U1 ,

где q – заряд электрода. При этом берется заряд того электрода, от которого отсчитывается потенциал, т. е. в данном случае q = q2. Подчеркнем, что емкость конденсатора определяется только при отсутствии объемного заряда между электродами. Как следует из п. 1.1,

q2 =−q1 =5,841 10−9 Кл.

Тогда

C = 5,841 10−9 = 2,655 · 10–11 Ф.

220

ПРИМЕР 2

В плоском конденсаторе (рис. 8) с двухслойным диэлектриком потенциал правого электрода равен U0, левый электрод заземлен.

Расстояние между электродами равно d. Граница раздела областей 1 и 2, заполненных диэлектриками с проницаемостями ε1 и ε2, расположена на расстоянии d1 от левого электрода. Рассчитать

23

Направим осьх перпендикулярно поверхностям пластин, как показано на рис. 8. Примем условие, что размеры электродов конденсатора значительно больше расстояния между ними. В этом случае можно не учитывать эффекты вблизи краев электродов. Это позволяет считать, что в пространстве между ними вектор напряженности поля направлен вдоль осих, а его величина зависит только отх: E =f(x).УравнениеЛапласавдекартовойсистемекоординатимеетвид

∂2U + ∂2U + ∂2U =0. ∂x2 ∂y2 ∂z2

В рассматриваемой задаче проекции Ey = 0 и E z = 0. Поэтому уравнениеЛапласапереходитвобыкновенноедифференциальное уравнение второго порядка:

d 2U =0. dx2

Поскольку диэлектрические проницаемости областей различны, необходимо рассматривать отдельно потенциалы в каждой из областей. Для первой области 0 < x < d1 имеем

d 2U1 =0. dx2

24

Выполнив двукратное интегрирование по х, получим решение в виде

dUdx1 =C1 ;

U1(x)=C1 x +C2 .

Аналогично для второй области d1 < x < d имеем уравнение

d 2U22 =0,

dx

и после двукратного интегрирования получим dUdx2 =C3 ;

U2(x)=C3x +C4.

Составимчетыреуравнениядляопределениячетырехпостоянныхинтегрирования(С1,С2,С3,С4),используяграничныеусловия.

1)При х = 0 по условию задачи U1 = 0. Подставив это условие

ввыражение для U1(x), получаем С2 = 0.

2)При х = d потенциал U2 = U0. Подставив это значение в соотношение для U2(x), найдем

C3d +C4 =U0.

3)Прих =d1 изусловияравенствапотенциаловU1 =U2 получим:

C1d1 =C3d1 +C4.

4) При х = d1 условие равенства нормальных составляющих вектора смещения можно записать в виде

−ε1 dUdx1 =−ε2 dUdx2 .

Подставляя это условие в выражения для производных U1(x) и U2(x), придем к соотношению

ε1C1 =ε2C3.

25

Решая совместно полученные уравнения, находим значения постоянных С1, С3, С4:

Распределение потенциала показано на рис. 9, а.

Распределение напряженности электрического поля в 1-й области определяется выражением

E1 (x)=−dUdx1 =−C1.

Во 2-й области имеем

E2(x)=−dUdx2 =−C3.

Отсюда следует, что напряженность поля не зависит от координаты x, при этом вектор напряженности направлен против координаты x от электрода с большим потенциалом в сторону электрода с меньшим потенциалом (рис. 9, б).

Определимтеперьзначениеd1,прикоторомнапряжениеделится поровну между слоями диэлектрика. Выполним расчет численно. Будем рассчитывать величину потенциала на границе раздела слоев диэлектрика при различных значениях d1.

На рис. 10, а представлена зависимость величины потенциала на границе раздела сред от d1. Видно, что напряжение между электродами делится поровну между слоями диэлектрика при значениях d1, лежащих в окрестности 0,012 м. Для уточнения результата

26

а) U, B

250

200

150

100

50

x, м

E1 E2

ε1 ε2

x

Рис. 9

27

а)

U1|d1 = U2|d1, B

250

200

150

100

0,012

50

d1, м

140

130

120

110

100

d1, м

90

Рис. 10

28

проведем аналогичные вычисления с более мелким шагом в окрестности этой точки (рис. 10, б).

Уточненный расчет показывает, что напряжение между электродами конденсатора делится пополам при d1 = 0,012 м.

ПРИМЕР 3

Вплоскомконденсаторе(рис.11)своздушнойизоляциейоколо левого электрода распределен объемный заряд с плотностью ρ=α(x −d), где х отсчитывается от левого электрода.

Границей объемного заряда является плоскость, параллельная пластинам электродов конденсатора. Расстояние между границей области заряда и левым электродом равно d. Расстояние между электродами равно 2d. Левый электрод заземлен (имеет нулевой потенциал). Правый электрод имеет потенциал U0. Найти распределение потенциала и напряженности поля в пространстве между электродами конденсатора и построить графики. Построить распределение потенциала и напряженности в конденсаторе, поменяв полярность электродов.

Задачу решить при U0 = 220В, d = 1 см, α =0,005 Кл/м4.

Рис. 11

29

Решение

Предположим, что размеры электродов конденсатора значительно больше расстояния между ними.

Направим ось х перпендикулярно поверхностям пластин, как показано на рис. 11. Считаем, что вектор напряженности поля направленвдольосих,аеговеличиназависиттолькоотх.Уравнение Пуассона в декартовой системе координат имеет вид

∂2U + ∂2U + ∂2U =−ρ . ∂x2 ∂y2 ∂z2 ε

В рассматриваемой задаче проекции Ey = 0 и E z = 0. Поэтому уравнение Пуассона переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

d 2U =−ρ =−α(x −d) . dx2 ε ε0

Производим двукратное интегрирование по х и получим решение для области с объемным зарядом (0 < x < d):

Длярасчетапотенциалавобластибезобъемногозаряда(d<x<2d) решаем уравнение Лапласа:

d 2U22 =0.

dx

Его решение имеет вид

dUdx2 =C3;

U2(x)=C3x +C4.

30