Расчет электростатического поля конденсатора. Учебное пособие

Условие на границе раздела проводящего тела и диэлектрика

На границе раздела проводящее тело-диэлектрик при отсутствии электрического тока в проводящем теле выполняются два граничных условия.

1. Отсутствует касательная к поверхности (тангенциальная), составляющая напряженности поля:

Eτ =0.

Следовательно, на поверхности проводника (как и во всем объеме проводника) потенциал постоянен:

U = const.

2. Нормальная составляющая вектора электрического смещения в диэлектрике на поверхности раздела «проводник-ди- электрик» численно равна поверхностной плотности заряда σ на поверхности проводящего тела:

Dn =σ.

Это условие может быть записано через производную потенциала в виде

−ε∂∂Un =σ.

Условие на границе раздела двух диэлектриков

На границе раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями ε1 и ε2 (индекс 1 относится к первому диэлектрику, индекс 2 – ко второму) выполняются два следующих условия:

Eτ1 = Eτ2

и при отсутствии на границе поверхностно распределенного заряда σ=0

Dn1 = Dn2 .

11

Применительнокпотенциалупервоеусловиезаписываетсякак

U1 =U2,

второе условие – как

−ε1 ∂∂Un1 =−ε2 ∂∂Un2 .

ПРИМЕР 1

В плоском конденсаторе (рис. 2,а) с однослойным диэлектриком с абсолютной диэлектрической проницаемостью ε=3ε0 потенциал правогоэлектродаравенU0=220В,левыйэлектродзаземлен.Расстояние d = 1 cм между электродами конденсатора существенно меньше размеров, определяющих их площадьs =10×10=10 2 см2. Рассчитать распределение потенциала и напряженности электрического поля между электродами конденсатора. Определить поверхностную плотностьзарядаэлектродовиихполныйзаряддляслучаев,когда:

1.1.Междуэлектродамиконденсатораотсутствуетобъемныйзаряд.

1.2.Впространствомеждуэлектродамивнесенобъемныйзаряд

спостоянной плотностью ρ = 2,5 · 10–4 Кл/м3 = const, при этом правый электрод конденсатора подключен к источнику ЭДС, левый заземлен (рис. 2, б).

Рис. 2

12

Рис. 3

1.3.Заряженный конденсатор (рис. 3, а) отключается от источника, при этом левый электрод остается заземленным (рис. 3, б), после чего в пространство между его электродами вносится объемный заряд с постоянной плотностью ρ = 2,5 · 10–4 Кл/м3 = const (рис. 3, в).

1.4.По результатам п. 1.1 (в отсутствие объемного заряда между электродами) определить емкость конденсатора.

Решение

1.1. Направим ось х перпендикулярно поверхностям пластин, как показано на рис. 2, а. По условию задачи, размеры электродов конденсатора значительно больше расстояния между ними. В этом случае можно не учитывать эффекты искажения поля вблизи краев электродов.Этопозволяетсчитать,чтовпространствемеждуними вектор напряженности поля направлен вдоль оси х, а его величина зависит только от х:

E = f(x).

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат имеет вид

∂2U + ∂2U + ∂2U =0. ∂x2 ∂y2 ∂z2

13

В рассматриваемой задаче проекции Ey = 0 и E z = 0. Поэтому уравнениеЛапласапереходитвобыкновенноедифференциальное уравнение второго порядка:

d 2U =0. dx2

Выполнив двукратное интегрирование по х, получим решение в виде:

dUdx =C1;

U (x)=C1 x +C2.

Константы С1 и С2 определяются из граничных условий:

1)x = 0, U = 0, следовательно, С2 = 0;

2)x = d, U = U0, откуда следует C1 =Ud0 .

Таким образом, потенциал и напряженность поля определяются выражениями

U (x)=Ud0 x; E =−Ud0 .

Из полученных выражений видно, что в пространстве между электродамиконденсаторапотенциализменяетсяполинейномузакону (рис. 4, а), а напряженность поля имеет постоянное значение.

Нарис.4,бприведенакартинаполявпространствемеждуэлектродами конденсатора. Вектор напряженности направлен против координаты x от электрода с большим потенциалом в сторону электрода с меньшим потенциалом.

В пространстве между электродами с равными по величине зарядами противоположных знаков векторы напряженности поля направлены в одну сторону, суммарная напряженность равна удвоенной напряженности, создаваемой каждым из электродов

14

x

Рис. 4

в отдельности. Напротив, в пространстве вне конденсатора эти векторы направлены в противоположные стороны и компенсируют друг друга. Действительно, поток вектора электрического смещения сквозь замкнутую поверхность, охватывающую весь конденсатор, равен нулю, так как суммарный заряд электродов равен нулю. Поэтому поле вне конденсатора отсутствует.

Определим поверхностные плотности зарядов на электродах σ1 и σ2. Вектор электрического смещения и напряженность поля

D =εE, имеющие по одной составляющей Dx =εEx и Ex =−dUdx , направлены по оси x: D =iDx , E =iEx (рис. 5), i – соответствую-

щий орт, при этом они имеют знак «минус», что указывает на отрицательное направление векторов E и D по отношению к оси x

(см. рис. 4).

Для расчета поверхностной плотности заряда охватим некоторую часть ∆s поверхности левого электрода замкнутой поверхностью s1 (рис. 5, а) в виде прямоугольного параллелепипеда, вертикальные части которого параллельны электроду конденсатора.

15

Выражение для потока вектора смещения через поверхность s1 в соответствии с постулатом Максвелла принимает вид

∫D ds =q = ∫σds.

s1 ∆s

Вектор D не пересекает горизонтальные участки s1бок поверхности s1, следовательно, поток вектора D через эти участки равен нулю:

∫D ds1бок =0. s

Посколькуполевнеконденсатораотсутствует,т.е.потоквекторасмещениячерезлевуювертикальнуючастьповерхностиs1равен нулю,тоинтегралберетсятолькопоправойвертикальнойчастиs1, равной ∆s:

∫D ds = ∫ D ds.

s1 ∆s

НаправлениявекторовэлектрическогосмещенияDx ивнешней (положительной) нормали n к поверхности s1 на левом электроде совпадают, поэтому последнее соотношение принимает вид:

Рис. 5

16

т. е. на левом электроде поверхностная плотность заряда σ1 отрицательная.

Аналогичным образом охватим некоторую часть ∆s правого электрода замкнутой поверхностью s2 (рис. 5, б). На правом электроде векторы Dx и n направлены в противоположные стороны, следовательно, угол между ними равен π, поэтому в этом случае имеем:

∫D ds = ∫Dx cosπds = ∫−Dx ds =∫σ2 ds.

Отсюда вытекает, что

положительная. Векторы D иE направлены от положительного заряда к отрицательному (см. рис. 4).

Для заданных параметров задачи U0 = 220 В, d = 1 см, ε = 3ε0, s = 0,01 м2 получим:

E = –22 000 В/м; σ1 = –5,841 · 10–7 Кл/м2; σ2 = 5,841 · 10–7 Кл/м2.

Полные заряды электродов равны: q1 =σ1 s =–5,841 10−9 Кл; q2 =−q1 =5,841 10−9 Кл.

1.2. При наличии объемного заряда потенциал описывается уравнением Пуассона:

∂2U + ∂2U + ∂2U =−ρ . ∂x2 ∂y2 ∂z2 ε

Поскольку проекции Ey = 0 и Ez = 0, то это уравнение переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

17

d 2U =−ρ . dx2 ε

Двукратное интегрирование дает dUdx =−ρεx +C1;

U (x)=−ρ2xε2 +C1 x +C2.

Если объемный заряд вносится при подключенном источнике, то граничные условия, описанные в п. 1.1, сохраняются:

1)x = 0, U = 0, откуда C2 = 0;

2)x = d, U = U0.

Подстановка выражения для потенциала U(x) в это условие дает

−ρdε2 +C1d =U0,

2

откуда найдем

C1 =Ud0 + ρ2dε .

Таким образом, потенциал описывается выражением

U (x)=−ρx2 +U0 x + ρxd .

2ε d 2ε

Напряженность поля равна

E =−dUdx = ρεx −Ud0 − ρ2dε .

Показаныкривыераспределенияпотенциала(рис.6,а)инапряженности (рис. 6, б) поля в конденсаторе при следующих данных:

U0 = 220 В, d = 1 см, ε = 3ε0, ρ = 2,5 · 10–4 Кл/м3.

Подобныйхарактерраспределенияпотенциала,имеющегомаксимум внутри области существования поля, возможен только при наличии объемно распределенного заряда в пространстве между

18

а)

U, B

300

200

100

x, M

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01

б) E, B/м × 104

5

0

–5

x, M

–100 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01

Рис. 6

электродами. В этом случае потенциал описывается уравнением Пуассона.Приотсутствиитакогозарядапотенциал,описываемый уравнением Лапласа, может иметь максимумы и минимумы только на границах области (ср. рис. 4, а и рис. 6, а).

Следует отметить, если на определенном отрезке (x < 0,0073 м) кривой U(x) потенциал возрастает, то напряженность поля имеет отрицательные значения. При убывающем потенциале (x > 0,0073 м) напряженность положительная. В точке экстремума (x = 0,0073 м) кривая напряженности переходит через нуль.

Поверхностные плотности зарядов электродов в этом случае определяются выражениями:

– на левом электроде:

19

– на правом электроде:

Для заданных параметров задачи получим:

σ1 =−1,8341 10−6 Кл /м2 ; σ2 =−6,659 10−7Кл /м2 .

Нетрудно заметить, что в данном случае σ1 ≠σ2, причем обе эти

величины отрицательные. Однако суммарный заряд, состоящий из поверхностных зарядов σ1 и σ2 и объемного ρ, равен нулю:

q=σ1s +σ2 s +ρsd =

=−1,8341 10−6 s −0,6659 10−7 +2,5 10−4 s 0,01=0.

Следует подчеркнуть, что емкость не может быть определена по результатамрасчетаэтогопункта,таккакмеждуэлектродамиприсутствует объемный заряд, а емкость определяется только при отсутствии объемного заряда.

1.3. Рассмотрим случай, когда заряженный конденсатор с потенциалами электродов – правого U = U0, левого U = 0, отключаетсяотисточникаЭДСизатемвпространствомеждуэлектродами вносится объемный заряд. В этом случае поле также описывается уравнением Пуассона, интегрирование которого дает

dUdx =−ρεx +C1;

U (x)=−ρ2xε2 +C1 x +C2 .

Однако для определения постоянных интегрирования необходимо использовать другие граничные условия. После отключения правого электрода от источника он оказывается окруженным диэлектриком. Поэтому при внесении объемного заряда его заряд

20