Расчет электростатического поля конденсатора. Учебное пособие

Составимчетыреуравнениядляопределениячетырехпостоянных интегрирования (С1, С2, С3,С4), используя граничныеусловия.

1)Прих = 0U =0.Подставляяэтоусловиеврешениеуравнения Пуассона для 1-й области, получаем С2 = 0.

2)При х = 2d U = U0. Подставляем это условие в решение уравнения Лапласа для 2-й области:

Решая совместно уравнения (*), (**) и (***), относительно С1, С3,С4,находимзначенияпостоянныхинтегрирования.Призаданных числовых значениях U0, d, α получим С1 = –1,25 ∙ 104 В/м,

С3 = 1,57 ∙ 104 В/м, С4 = –94В.

Распределение напряженности электрического поля в 1-й

Во 2-й области

E2(x)=−dUdx2 =−C3 = 1,57 ∙ 104 В/м.

Графики зависимостей U(x) (рис. 12, а) и E(x) (рис. 12, б) изображены на рис. 12 (а, б), кривые 1.

Решим задачу, изменив полярность электродов конденсатора на противоположную: потенциал правого электрода примет

31

а) U, B

400

б)

U, B/M × 104

4

2

2

0

Рис. 12

значение U2 = –U0 =–220В,потенциаллевогоэлектродаостанется равным нулю. В этом случае изменится одно из граничных условий: при х = 2d U = –U0, следовательно, изменятся значения по-

стоянных: С1 = –3,45 ∙ 104 В/м, С3 = –0,627 ∙ 104 В/м, С4 = –94В.

Графики зависимостей U(x) (рис. 12, а) и E(x) (рис. 12, б) при обратной полярности напряжения на электродах конденсатора также изображены на рис. 12 (а, б), кривые 2.

Сравнив кривыеE(x) для обоих случаев, видим, что при первоначальной полярности электродов напряженность распределена достаточноравномерноотодногоэлектродакдругому:налевомэлектроде она принимает значение 1,25 ∙ 104 В/м, на правом электроде напряженностьпоабсолютнойвеличинеравна1,57∙104В/м.Присменеполярности на левом электроде напряженность увеличивается до зна-

32

чения 3,45 ∙ 104 В/м, т. е. практически втрое. Это говорит о том, что случайное (возможно, ошибочное) изменение полярности электродов может привести к резкому возрастанию напряженности поляуповерхностиодногоизэлектродовикпробоюдиэлектрика.

ПРИМЕР 4

Найти распределение потенциала и напряженности электрического поля в пространстве между электродами цилиндрического конденсатора с радиусами R12 и R2, сечение которого показано на рис. 13. Внешний электрод заземлен, внутренний присоединен к

Рис. 13

источнику напряжения U0. Расчеты выполнить для двухслойного диэлектрикасдиэлектрическойпроницаемостьюслоевε1 и ε2 и радиусом границы раздела R1 при условии, что во внешней области диэлектрика распределен объемный заряд с плотностью ρ = const. Считать, что поле конденсатора изменяется вдоль координаты, перпендикулярной поверхности электродов (координаты r).

Решение

Область расчета электрического поля конденсатора представляет собой пространство между его электродами и состоит из двух подобластей: 1 – внутренний слой диэлектрика,2 – внешний слой.

33

По условию задачи во внешнем слое диэлектрика распределен объемный заряд, следовательно, распределение потенциала находится с помощью уравнения Пуассона. Принимая во внимание условие, что поле конденсатора изменяется вдоль координаты, перпендикулярной поверхности электродов (координаты r), выбираем цилиндрическую систему координат для записи уравнения:

Учитывая симметрию поля относительно оси конденсатора, принимаем Eφ = 0, следовательно:

∂∂ϕU =0.

Крометого,полецилиндрическогоконденсатораявляетсяплоскопараллельным (картина поля во всех плоскостях, перпендикулярных оси конденсатора, одинакова), следовательно:

Ez = 0;

∂∂Uz =0 .

Таким образом, уравнение Пуассона принимает вид

По условию задачи во внутреннем слое диэлектрика объемный заряд отсутствует и распределение потенциала находится с помощью уравнения Лапласа:

Двукратное интегрирование уравнения Лапласа по r дает

U1 (r) = C1 ln r + C2 .

34

В области 2 двукратное интегрирование уравнения Пуассона по r дает

U 2(r)=−ρεr2 +C3 lnr +C4.

4 2

Составимчетыреуравнениядляопределениячетырехпостоянныхинтегрирования(С1,С2,С3,С4),используяграничныеусловия:

1) При r = R1 U = U0: U0 =C1 lnR1 +C2.

Сформируем систему уравнений для нахождения постоянных интегрирования С1, С2, С3, С4:

Решение этой системы уравнений для С3 дает

35

Далее определяем постоянные С1, С4, С2.

Распределениенапряженностиэлектрическогополяв1-йобласти диэлектрикаопределяетсявыражением

E1(r)=−dUdr1 =−Cr1 .

Во 2-й области диэлектрика имеем

E2 (r)=−dU2 =−C2 + 2ρεr . dr r 2

Далее дается пример решения задачи для числовых значе-

ний параметров: R1 = 1 см; R12 = 3,5 см; R2 = 8 см; ε1 = 2ε0; ε2 = ε0; ρ = 25 . 10–4 Кл/м3; U0 = 10 кВ.

Определим постоянные С1, С2, С3, С4 из приведенной выше си-

стемы уравнений: С1 = 73 000 В; С2 = 346 200 В; С3 = 319 000 В; С4 = 1 257 800 В.

15

10

5

Рис. 14

36