Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Приборы, устройства и методы функциональной электроники. Учебное пособие
.pdf
1.4. Элементы квантовой механики. Уравнение Шредингера
11
тромагнитное поле в простейшем случае имеет вид плоской волны с электрическим вектором [4]:
( )
( )
E r t E j k r t, exp= −
0
, (1.3)
где
k
− волновой вектор (
k k c= = =2
); λ − длина волны; ω − ча-
стота; с − скорость света в вакууме. С другой стороны, электромагнитное
поле квантуется, т.е. представляет собой совокупность фотонов − частиц,
обладающих импульсом
p k=
иэнергией
W =
. Здесь обозначено:
=
h
2
, где h = 6,6210
–34
Джс − постоянная Планка.
В соответствии с блестяще подтвердившейся гипотезой де-Бройля
частице вещества, имеющей импульс
p
и энергию W, также можно при-
писать некоторую частоту ω и волновой вектор
k
, такие что
= W
, (1.4)
k p=
. (1.5)
Тогда частице вещества будет соответствовать в простейшем слу-
чае плоская волна де-Бройля
( )
r t j
p
r
W
t, exp= −
0
. (1.6)
Поле проявляет квантовые свойства в том случае, если плотность
фотонов невелика, т.е. если дискретность изменения энергии поля заметна
при добавлении и изъятии одного фотона. Выполним численную оценку
последнего утверждения, количественно определив каково относительное
изменение интенсивности весьма слабого лазерного пучка с плотностью
потока мощности П = 1 мкВт/см2, если в 1 нс будет пролетать на один
фотон больше? Предположим, что длина волны излучения λ = 1 мкм. То-
гда энергия фотона
hf
−
20 10
20
Дж, и относительное изменение интен-
сивности составит ничтожную величину
%02,00002,0
10
9
==
=
hf
.
1. Электромагнитные явления в сверхпроводниках
12
Очевидно, если не рассматривать чрезвычайно малые уровни сигналов (квантовые шумы), то электромагнитное поле можно описывать
классически с помощью волн.
Вещество проявляет квантовые свойства в том случае, если характерный размер взаимодействующей с полем частицы оказывается сопоставимым с длиной волны де-Бройля. Поле, как известно, взаимодействует с атомами и молекулами. Рассмотрим в качестве примера тепловое движение атома водорода (его масса m = 1,710
-27
кг). При тепловом
движении средняя кинетическая энергия
p m
2
2
k T
B
*
(
*
k
B
=
= 1,3810
−28
Дж/град − постоянная Больцмана), откуда при
T
300К
имеем
p
−
3 10
24
Дж/с, а
=
−
h p 2 10
10
м, что сопоставимо с разме-
ром атома водорода l 510
−10
м. Отсюда можно заключить, что при опи-
сании взаимодействия поля с веществом последнее следует рассматривать
с позиции квантовой механики.
1.4.2. Уравнение Шредингера.
Физический смысл волновой функции
В развитие идеи де-Бройля о волновых свойствах вещества Э. Шредингер получил свое знаменитое уравнение. Шредингер сопоставил движению микрочастицы комплексную функцию координат и времени, которую
он назвал волновой функцией и обозначил ее буквой .
−
функция ха-
рактеризует состояние микрочастицы. Вид функции получается из решения
уравнения Шредингера, которое выглядит следующим образом:
.
2
2
2
t
ihU
m
h
=+−
(1.7)
Здесь m – масса частицы; U – функция координат и времени, равная
взятому с обратным знаком потенциалу силового поля, в котором движется частица.
Уравнение Шредингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Оно не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из
него следствия самым точным образом согласуются с опытными фактами.
1.4. Элементы квантовой механики. Уравнение Шредингера
13
В случае, когда U – стационарно,
−
функциюможно записать в
виде
( ) ( )
( )
thEi
ezyxtzyx
/
,,,,,
−
=
, (1.8)
где E – полная энергия частицы, остающаяся постоянной величиной.
Уравнение Шредингера для стационарного состояния имеет вид
( )
0
2
2
=−+ UE
h
m
. (1.9)
Решение уравнения (1.9) для неоднородной амплитуды волно-
вой функций можно представить в виде плоской волны
( )
zyxi
ea
,,
=
, (1.10)
где a – амплитуда; – фаза волновой функции.
Выясним физический смысл волновой функции.
Согласно Борну квадрат модуля функции определяет вероят-
ность dP того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV:
dVdP
*
=
. (1.11)
Для стационарного силового поля
( ) ( )
*/*/*
==
− thEithEi
ee
, (1.12)
тогда
*
==
dV
dP
P
– плотность вероятности.
Для образующегося в сверхпроводнике коллектива электронных пар
n=
*
, (1.13)
где n вдвое меньше концентрации электронов при T = 0К.
Плотность сверхпроводящих электронных пар (куперовских пар)
максимальна при абсолютном нуле. По мере увеличения температуры она
уменьшается, становясь равной нулю при критической температуре. При
изменении температуры в этом интервале происходит разрушение или
образование куперовских пар, обмен энергией между ними и неспаренными электронами.
−
1. Электромагнитные явления в сверхпроводниках
14
1.5. Квантование магнитного потока
в сверхпроводящем кольце
Из теории сверхпроводимости следует, что магнитный поток Ф,
связанный со сверхпроводящим кольцом (или цилиндром), по которому
циркулирует ток, должен быть целым кратным величины
qh /2
, где
q = 2e – заряд носителя тока:
q
h
n
2
=
. (1.14)
Величина
q
h
2
0
=
представляет собой квант магнитного потока.
Перейдем к доказательству. Из курса электродинамики известно выражение для скорости заряженной частицы в магнитном поле
( )
e
Aqp
m
U
0
1
−=
, (1.15)
где
p
– кинетический импульс частицы;
e
A
– векторный электрический по-
тенциал, который связан с магнитным полем известным соотношением [5]:
e
ArotH
=
. (1.16)
Будем считать, что мы имеем дело с немагнитным материалом и
поэтому μa = μ0, тогда
B
a
H rot A
e
= =
0
.
Для потока частиц будем иметь соотношение
( )
*
U
nq
m
h grad qA
e
= −
0
. (1.17)
Здесь учтено, что
−= gradihp
.
Тогда плотность электрического тока в кольце может быть записа-
на в виде
( )
j q U
nq
m
h grad qA
e
= = −
*
0
. (1.18)
Применив векторную операцию дифференцирования "ротор" к
обеим частям уравнения (1.18), получим
1.5. Квантование магнитного потока в сверхпроводящем кольце
15
( )
rot j q U
nq
m
h rot grad q rot A
nq
m
B
e
= = − =
*
0
2
. (1.19)
Рассмотрим кольцо из сверхпроводящего материала (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Сверхпроводящее кольцо в магнитном поле
Возьмем контур G, замкнутый внутри сверхпроводящего материала
и находящийся достаточно далеко от поверхности кольца. Эффект Мейс-
нера приводит к тому, что внутри кольца величины
B
и
j
равны нулю.
Из курса общей физики известно, что кроме отсутствия электрического
сопротивления для сверхпроводящего состояния характерно то, что поле
не проникает в толщу сверхпроводника. Если сверхпроводящий образец
охлаждается, будучи помещенным в магнитное поле, то в момент перехо-
да в сверхпроводящее состояние поле выталкивается из образца, и
B
в
образце обращается в нуль. Формально можно сказать, что сверхпроводник обладает нулевой магнитной проницаемостью (μ0 = 0). Это означает,
что сверхпроводник представляет собой идеальный диамагнетик.
Благодаря эффекту Мейснера правая часть уравнения (1.18) равна
нулю. Как следует из (1.18) это возможно при условии
e
Aqgradh
0
=
. (1.20)
Теперь вычислим криволинейные интегралы по замкнутому конту-
ру G от обеих частей уравнения (1.20). Тогда
( )
h grad dl h kh
G
= − =
2 1
2
, (1.21)
где k – целое число, так как функция должна быть однозначной и, следовательно, набег ее фазы при обходе по замкнутому контуру может
быть только кратным 2π.
1. Электромагнитные явления в сверхпроводниках
16
Соответственно по теореме Стокса [6]:
0 0
A dl rot A d B d
e
GGG
= = =
, (1.22)
где Ф – магнитный поток, пронизывающий G. Подставляя уравнения
(1.21) и (1.22) в уравнение (1.20), получаем
qkh =
2
(1.23)
или
...,2,1,0 где ,
2
== k
q
kh
(1.24)
Таким образом, поток через кольцо квантуется, т.е. всегда выража-
ется целым числом "порций" величины
qkh /2
. Для одного кванта потока
имеем
мА 106,1смГс 1007,2
2
2
927
0
===
−−
e
kh
.
Эту единицу потока называют флюксоидом.
Таким образом, магнитный поток квантуется и его квантом являет-
ся флюксоид. При этом следует заметить, что квантуется только полный
поток.
В то же время полный магнитный поток через кольцо есть сумма
двух потоков: Фвн – от внешних источников и Фсв – от сверхпроводящего
тока, текущего по поверхности кольца
.
сввн
+=
(1.25)
Полный магнитный поток Ф квантуется в целом, однако на магнит-
ный поток от внешних источников Фвн, обычно не накладывается какихлибо условий квантования, в то время как поток Фвн должен "самоподгоняться" так, чтобы полный поток Ф имел лишь квантованные значения.
Квантование магнитного потока было экспериментально обнару-
жено в 1961 г. Тогда же было показано, что величина q в формуле (1.24)
равна – 2e, что подтвердило сформулированное выше теоретическое положение о том, что носителями тока в сверхпроводнике являются куперовские пары, заряд которых равен – 2e.
1.6. Сверхпроводящий туннельный ток иэффекты Джозефсона
17
1.6. Сверхпроводящий туннельный ток иэффекты Джозефсона
Туннелирование неспаренных электронов сквозь изолирующий
слой диэлектрика, разделяющий между собой два сверхпроводника, является типичным квантовым эффектом.
При надлежащих условиях удается наблюдать эффекты, связанные
с туннелированием сверхпроводящих электронных пар из одного сверхпроводника через слой диэлектрика в другой сверхпроводник (рис. 1.2).
Рис. 1.2. Туннелирование сверхпроводящих электронных пар
Эффекты, связанные с туннелированием куперовских пар, совершенно не похожи на эффекты туннелирования неспаренных электронов.
Такие эффекты мы сейчас и рассмотрим. Пусть к переходу приложено
напряжение u. Это всегда можно сделать, поскольку существенной составляющей перехода является слой диэлектрика. Каждая электронная
пара с зарядом q = – 2e, пересекая переход, приобретает потенциальную
энергию qu. Можно сказать, что если пара на одной стороне перехода
имеет потенциальную энергию – eu, то на другой ее потенциальная энергия равна + eu Уравнение Шредингера для нестационарного состояния,
т.е. уранение, в котором волновая фукция зависит от времени t, может
быть записано в виде [7]
,=
t
ih
где
+− U
m
h
2
2
2
=
– оператор Гамильтона, применяемый к волновым
функциям:
1
и
2
. Здесь обозначено:
1
– волновая функция первого
сверхпроводника, обозначенного цифрой 1 на рис. 1.2; – волновая
2
1. Электромагнитные явления в сверхпроводниках
18
функция второго сверхпроводника, обозначенного цифрой 2 на рис. 1.2.
Таким образом, получаем следующую систему уравнений Шредингера:
+=
−=
,
;
21
2
12
1
euhK
t
ih
euhK
t
ih
(1.26)
где – eu = U1 и eu = U2 – потенциальные энергии частиц 1-го и 2-го сверхпроводников во внешнем силовом поле; hK – оператор, описывающий взаимодействие переноса электронных пар через слой диэлектрика в переходе.
Величина K имеет размерность частоты и служит мерой "перетека-
ния"
1
в область 2 и
2
– в область 1. Если слой диэлектрика толстый, то
величину K надо считать равной нулю, т.е. туннелирования не происходит.
Функции
1
и
2
, по аналогии с выражением (1.10), имеют вид:
2,1
2,12,1
i
en=
. (1.27)
Подстановка выражения (1.27) в систему уравнений (1.26) позволя-
ет записать первое уравнение системы (1.26) в виде
ih
n
n
t
i n
t
e hK n e eu n e
i i i
1
2
1
1
1
1
2 1
1 2 1
+
= −
.
После сокращения левой и правой частей на общий множитель e
i1
получим
( )
ih
n
n
t
i n
t
hK n e eu n
i
1
2
1
1
1
1
2 1
2 1
+
= −
−
. (1.28)
Аналогично второе уравнение системы (1.26) может быть записано
в виде
( )
21
2
2
2
2
21
2
1
neuenhK
t
ni
t
n
n
ih
i
+=
+
−
. (1.29)
Изуравнений (1.28) и (1.29) для комплексных чиселможно получить
уравнения для вещественных чисел, по-отдельности приравняв их действительные и мнимые части.
1.6. Сверхпроводящий туннельный ток иэффекты Джозефсона
19
Тогда для мнимых частей из уравнения (1.28) получим
( )
122
1
1
sin
2
1
−= nK
t
n
n
. (1.30)
Аналогично для мнимых частей из уравнения (1.29) получим
( )
211
2
2
sin
2
1
−= nK
t
n
n
. (1.31)
Для действительных частей из уравнения (1.28) получим
( )
1122
1
1
cos neunhK
t
nh −−=−
Умножив левую и правую части последнего уравнения на минус
единицу, получим
( )
1122
1
1
cos n
h
eu
nK
t
n +−−=
. (1.32)
Аналогично для действительных частей из уравнения (1.29) получим
( )
2211
2
2
cos n
h
eu
nK
t
n +−=−
. (1.33)
Обозначив разность фаз
=−
12
и считая сверхпроводники оди-
наковыми (n1 = n2 = n), можно переписать систему уравнений (1.30)–(1.33)
в виде
sin221=−= Kn
t
n
t
n
. (1.34)
Из уравнений (1.32) и (1.33) получим
( )
,2coscos
1212
h
eu
h
eu
K
h
eu
K
tttt
=+−+=−=
−
=
В результате сокращения получим следующее уравнение для разности фаз волновых функций сверхпроводников:
h
eu
t
2=
. (1.35)
Тогда при постоянном напряжении на переходе u = E0 получим
1. Электромагнитные явления в сверхпроводниках
20
00
2
+= t
h
e
E
. (1.36)
В этом случае ток между сверхпроводниками при условии, что
суммарный объем сверхпроводников 1 и 2 равен V составит:
,2 ,
св
eNQ
t
Q
i −==
.
2
sin4sin222
00
2
св
+==−=
tE
e
enKVKneV
t
n
eVi
(1.37)
Следует заметить, что соотношение (1.37) справедливо в том случае, когда оба сверхпроводника связаны с источником тока, поддерживающим в них постоянное значение концентрации куперовских пар.
Из выражения (1.37) следует, что сила постоянного туннельного
тока куперовских пар равна
0св
sin
=
m
II
, (1.38)
где Im = 4enKV/h– критический ток туннельного перехода может возникнуть и при отсутствии напряжения на изолирующем барьере (E0 = 0). Это
явление получило название стационарного эффекта Джозефсона.
Из выражения (1.37) также следует, что при постоянном напряжении на контакте E0 0 в нем возникает переменный ток, частота которого
heE /2
00
=
. Это явление получило название нестационарного эффекта
Джозефсона. Благодаря этому явлению туннельный переход может слу-
жить источником, генератором электромагнитного излучения с частотой,
управляемой в широких пределах постоянным напряжением E0. Например, напряжению 1 мкВ соответствует частота 483,6 МГц.
Нестационарное туннелирование возникает также и в том случае,
когда напряжение на переходе помимо постоянной составляющей содержит ещё и переменную составляющую:
.cos10tUEu
+=
Тогда из ра-
венства (1.35) следует, что разность фаз волновых функций сверхпроводников равна
0
0
1
2
sin
2
++= t
h
eE
t
h
eU
. (1.39)
и, в соответствии с соотношением (1.37), выражение для мгновенного
значения тока сверхпроводимости равно
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]