Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Поверхностные интегралы. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

К аф едра «Высшая математика и прикладная информатика»

С.А. БОРОДИНА

Е.П. ТУПОНОСОВА

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Учебное пособие

Самара

Самарский государственный технический университет

2020

Печатается по решению ученого совета СамГТУ, 2020 г.

УДК 517.373(075.8) ББК 22.161я73

Б 83

Бородина С.А. Поверхностные интегралы: учеб. пособие / C.А. Бородина,

Е.П. Тупоносова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2020. – 52 с.

Составлено в соответствии с программой по курсу высшей математики для

студентов инженерно-технических специальностей СамГТУ и входит в цикл учебных пособий для проведения теоретических и практических занятий.

Приведены теоретические сведения, методические указания, решения за-

дач, диагностическая контрольная работа и задания для самостоятельного решения.

Предназначено для студентов и преподавателей университета.

Р ец ензент: д-р пед. наук, профессор В.А. Курина

УДК 517.373(075.8)

ББК 22.161я73

Б 83

технический университет, 2020

ВВЕДЕНИЕ

Пособие представляет собой комплекс типовых задач по теме

«Поверхностные интегралы» с подробными решениями, что соответствует программе курса высшей математики.

Каждый из разделов пособия помимо типовых задач содержит

краткую теоретическую справку и список используемых формул.

В настоящем издании приведены примеры решения задач в паке-

те MathCAD.

Пособие содержит задания для диагностического контроля, которые могут быть использованы для самостоятельной работы студентов, проведения аудиторных занятий и в качестве вариантов контрольных работ.

Книга может быть полезна для студентов как на этапе изучения рассмотренного материала, так и в период подготовки к экзамену по высшей математике.

ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ

RD 

 

     

 



 



 M

vMvv ;;

 

     

kzyxRjzyxQzyxPMv i ,,,,,, 

 

zyxM ,,

 

   

jyxQiyxPMv ,, 

constz 

xOy

0z

 

     

zyxR

zyxQ

zyxP

,,,,,,



 

Если каждой точке некоторой области ветствии вектор

, то говорят, что задано

ставится в соот-

векторное поле.

Если ввести в пространстве какую-либо декартову систему координат, то вектор

в этой системе координат запишется в виде:

где P, Q и R – проекции вектора v, заданного в точке координат.

Если векторное поле плоское (то есть векторное поле задано в некоторой области плоскости), то

на оси

Векторы плоского поля расположены в плоскости пендикулярной оси

. Поэтому их можно рассматривать на одной

из этих плоскостей, например на плоскости

Векторной линией поля

называется линия, в каждой точ-

(

, пер-

ке M которой направление касательной совпадает с направлением соответствующего вектора поля (рис. 1).

Рис. 1

Семейство векторных линий поля

определяется системой

дифференциальных уравнений:

. (1)

При интегрировании этой системы надо иметь в виду, что если

jxiyF 35 

0x

0y

 

yyxP 5, 

 

xyxQ 3, 

0,35 dz

0,53  dzydyxdx

hzc

 ,

 

consthchzcyx  ,,

y z

одна из координатных функций вектора тождественно равна нулю, то соответствующая координата принимает постоянное значение на каждой векторной линии.

Пример 1

Найти векторные линии поля

Решение

Данное поле плоское, оно определено для всех точек, для которых

Имеем

Тогда, согласно (1), векторные линии данного поля определяются дифференциальными уравнениями:

;

Интегрируя их, получим:

или

Рис. 2

Таким образом, векторные линии данного поля представляют со-

xOy



0x

0y

 

yxP3, 

 

yxQ4, 

0,43 dz

ydyxdx

0,34  dzydyxdx

hzc

 ,

 

.,,

4 consthchzcyx 

xOy

бой семейство гипербол, расположенных в плоскостях, параллельных плоскости

(рис. 2).

Пример 2

Найти векторные линии поля

Решение

Данное поле плоское, оно определено для всех точек, для которых

Имеем

Векторные линии данного поля определяются дифференциальными уравнениями:

;

Интегрируя их, получим:

или

Векторные линии данного поля представляют собой семейство эллипсов, расположенных в плоскостях, параллельных плоскости

(рис. 3).

Рис. 3

Пример 3

laxiayF 

cons ta 

0x

0y

 

ayyxP ,

 

axyxQ ,

0, 



0,  dzaydyaxdx

hzc

ayax

 ,

 

.,,

consthchzcyx 

xOy

V 

0, 



0,  dzkydykxdx

Найти векторные линии поля

Решение

Данное поле плоское, оно определено для всех точек, для которых

. Имеем

Векторные линии данного поля определяются дифференциальными уравнениями:

;

Интегрируя их, получим:

или

Векторные линии данного поля представляют собой семейство окружностей, расположенных в плоскостях, параллельных плоскости

Пример 4

Движение жидкости задано проекциями скорости

, где k – постоянная величина. Найти линии тока.

Решение

Векторные линии данного поля определяются дифференциальными уравнениями:

;

Интегрируя их, получим:

hzc

 ,

 

.,,

consthchzcyx 

xOy

   

,,, RGyxyxfz 

   

,,, RGzyzyfx 

   

,,, RGzxzxfy 

 

0,, zyxF

 

RDvu

vuzz

vuyy

vuxx



 

 





или

Линии тока представляют собой концентрические окружности с центром в начале координат, расположенные в плоскости, параллельной плоскости

ОДНОСТОРОННИЕ И ДВУСТОРОННИЕ

ПОВЕРХНОСТИ

Поверхность в пространстве может быть задана различными способами. Пусть задана прямоугольная система координат с ортонормированным базисом i, j, k.

Поверхность в пространстве может быть задана как график некоторой непрерывной функции:

или

В этих случаях говорят о задании поверхности в явном виде.

Поверхность в пространстве может быть задана уравнением:

которое не разрешено относительно какой-либо из переменных. В этом случае говорят об уравнении поверхности в неявном виде.

Поверхность в пространстве может быть задана параметрически-

ми уравнениями:

где

 

,,vux

 

,,vuy

 

vuz ,

R

 

yxfz ,

– непрерывные функции в области опреде-

ления

Множество точек поверхности, соответствующих граничным

точкам области D, образуют границу поверхности.

Точки поверхности, не принадлежащие ее границе, называют

внутренними точками поверхности.

Поверхность, не имеющую границ, называют замкнутой.

Простая поверхность, не имеющая особых точек, является гладкой.

Установим понятие стороны поверхности. Если поверхность за-

дается явным уравнением вида

, можно говорить о верхней

стороне или нижней стороне поверхности. Если поверхность ограничивает некоторое тело, то также легко представить себе две ее стороны – внутреннюю, обращенную к телу, и внешнюю, обращенную к окружающему тело пространству.

Рассмотрим поверхность S, замкнутую или нет, и предположим, что в каждой точке поверхности имеется определенная касательная плоскость, положение которой непрерывно изменяется вместе с точкой касания.

Взяв на поверхности определенную точку M, проведем в ней нормаль, которой припишем определенное направление – одно из двух возможных (они отличаются одно от другого знаками направляющих косинусов). Касательная плоскость и нормаль к поверхности S показана на рис. 4.

Рис. 4

Проведем по поверхности замкнутый контур, исходящий из

AMМ

1001

MAMMМ

MМ

причем предположим, что он не пересекает границы поверхности (если таковая имеется). Заставим точку М обойти этот контур и в каждом из последовательных ее положений будем приписывать нормали то направление из двух возможных, в которое непрерывно переходит

направление, выбранное нами в начальном положении

. При этом

может случиться одно из двух: либо после обхода контура мы вернемся в точку

с тем же направлением нормали, либо – с направле-

нием, противоположным исходному.

Если для какой-либо точки

нее контура

имеет место последнее обстоятельство, то и для

любой другой точки выходя из

и возвращаясь в нее же, приведет нас в эту точку с на-

легко построить замкнутый контур, который,

и какого-либо проходящего через

правлением нормали, противоположным исходному. Таким, например, будет контур

проходящую по поверхности кривую, соединяющую пересекающую границы поверхности, а под

, если под

разуметь какую-нибудь

, но не

– ту же кривую в

обратном направлении.

В этом случае поверхность называют односторонней.

Классическим примером такой поверхности является так называемый лист Мебиуса (рис. 5).

Рис. 5

Предположим теперь, что какова бы ни была точка ни был замкнутый контур, проходящий через

и не пересекающий

и каков бы

границы поверхности, после обхода его мы неизменно возвращаемся

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]