Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Поверхностные интегралы. Учебное пособие
.pdf
Пример 4
dydxxz
1 zyx
0x
0y
0z
Idydxxz
4321
IIIII
00cos
1
AOB
dxz
AOB
dxz
AOB
dydxxzI
00
2
AOC
dydxx
AOC
dydxxzI
00
3
BOC
dydxz
BOC
dydxxzI
1
0
1
0
11
4
x
dyyxxdx
xy
dydxyxx
ABС
dydxxzI
24
1
1
0
2
3
2
2
1
0
1
0
2
2
1
1
0
2
2
1
dx
x
x
x
dx
xx
dx
x
y
yxx
24
1
000 I
24
1
x
y
z
О
А В С 1 1
1
Вычислить поверхностный интеграл второго рода
, где
– внешняя сторона пирамиды, образованной плоскостями
,
,
,
.
Решение
Обозначим искомый интеграл
, где
.
Рис. 12
(рис. 12);
;
;
.
Ответ:
.
.
31
Пример 5
dxdzy
22
yxz
0z
2z
xOz
1
2
1
2
2
xzy
2
xzy
xOz
21
dxdzydxdzydxdzy
1
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
1
dx
xz
dzxzdx
x
x
S
dxdzydxdzy
y
x
z
2
Вычислить поверхностный интеграл второго рода
– верхняя сторона части параболоида
между плоскостями
и
.
Решение
Рис. 13
, где
, заключенного
Разобьем поверхность координатной плоскостью
части
и
, расположенные по обе стороны от этой плоскости
(рис. 13).
и
определяются функциями
и
Эти функции имеют общую область определения S – проекцию
поверхности на плоскость
. Поэтому интеграл второго рода за-
пишем в виде
.
Вычислим интеграл по левой стороне поверхности –
.
на две
.
32
2
2
2
3
2
2
2
2
3
2
cos2sin22
cos2
sin2
3
2
3
2
tdtt
tdtdx
tx
dxxz
2
2
2
2
2
4
2
2
2
3
2
4
2cos1
coscos2cos2
3
8
3
8
3
2
dt
t
tdttdtt
2
2
8
4sin
22
2sin2
3
2
3
2
2
2
2
4cos1
2cos21
ttt
tdt
t
t
2
2
dxdzy
2
zdxdydxdzyxdydz
4
222
zyx
zdxdydxdzyxdydzI
zdxdyI
1
1
Izdxdydxdzyxdydz
1
3II
22
4 yxz
zdxdyI
1
zdxdyI
1
1
zdxdy
2
zdxdy
.
Вычисление интеграла по правой стороне поверхности
дятся аналогично и также приводят к результату
.
Таким образом,
.
Ответ:
.
Пример 6
Вычислить поверхностный интеграл второго рода
, где – внешняя сторона сферы
Решение
Обозначим
, где
.
прово-
.
В силу симметрии
Выразим уравнение поверхности через переменную z:
Поверхность задается неоднозначно, поэтому разбиваем интеграл
на два интеграла по верхней и по нижней половинам сферы:
=
33
+
.
,
, тогда
.
где
1
22
4 yxz
2
22
4 yxz
1
2
S
dxdyyxzdxdy
22
4
1
0,22,0
22
4:
2
0
2
42
2
0
2
0
2
4
tприtпри
dttd
tзамена
ddd
3
16
3
8
2
0
2
3
3
2
0
2
2
t
dttt
3
16
22
4
22
4
2
S
dxdyyx
S
dxdyyxzdxdy
zdxdyI
1
1
zdxdy
2
zdxdy
3
32
3
16
3
16
32
3
32
3
1
3 II
32
– верхняя полусфера, задаваемая уравнением
,
– нижняя полусфера, задаваемая уравнением
На
внешняя нормаль составляет с осью z острый угол, на
внешняя нормаль составляет с осью z тупой угол.
Целесообразно перейти к полярной системе координат:
.
.
Аналогично
Значит,
поэтому
Ответ:
=
+
=
.
.
ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО – ГАУССА
.
,
Формула Остроградского – Гаусса связывает тройной интеграл
по трехмерной области с поверхностным интегралом II рода по
внешней стороне поверхности, ограничивающей эту область.
34
Рассмотрим гладкую замкнутую поверхность , ограничиваю-
zyxP ,,
zyxQ ,,
zyxR ,,
dxdyzyxRdxdzzyxQdzdyzyxP ,,,,,,
dxdydz
z
R
y
Q
x
P
dRQP coscoscos
dxdydz
z
R
y
Q
x
P
cos
cos
cos
dzdxzxdydzyzdxdyxy
P
xy
0
x
P
0
y
Q
0
z
R
dzdxzxdydzyzdxdyxy
0000
dxdydz
щую объем , и P =
, Q =
, R =
– функции,
непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области . Тогда имеет место формула
=
).
Её можно переписать так:
где
=
,
,
– направляющие косинусы внешней нормали к
,
поверхности .
Пример 1
Применяя формулу Остроградского – Гаусса, преобразовать поверхностный интеграл
по замкнутой по-
верхности , ограничивающей объем .
Решение
= yz; Q = zx; R =
.
Найдем частные производные:
;
;
.
Применяя формулу Остроградского – Гаусса, преобразуем исходный поверхностный интеграл:
Ответ: 0.
35
=
.
Пример 2
dxdyzdzdxydydzx
222
P
2
x
2
y
2
z
x
x
P
2
y
y
Q
2
z
z
R
2
dxdyzdzdxydydzx
222
dxdydzzyx 222
dxdydzzyx
2
dxdydzzyx
2
dxdyzdzdxydydzx
222
10 x, 10 y
10 z
P
2
x
2
y
2
z
Применяя формулу Остроградского – Гаусса, преобразовать поверхностный интеграл
по замкнутой по-
верхности , ограничивающей объем .
Решение
=
; Q=
; R=
.
Найдем частные производные:
;
;
.
Применяя формулу Остроградского – Гаусса, преобразуем исходный поверхностный интеграл:
=
Ответ:
=
.
.
Пример 3
С помощью формулы Остроградского – Гаусса вычислить поверхностный интеграл
сторона поверхности куба
,
, где – внешняя
.
Решение
=
; Q=
; R=
.
36
Найдем частные производные:
x
x
P
2
y
y
Q
2
z
z
R
2
dxdyzdzdxydydzx
222
dxdydzzyx 222
1
0
1
0
1
0
22 dzzyxdydxdxdydzzyx
3
2
3
212
2
1
2
1
0
1
0
1
0
dxxdyyxdx
dxdyzdzdxydydzx
333
1 zyx, 0x, 0y, 0z
P
3
x
3
y
3
z
2
3x
x
P
2
3y
y
Q
2
3z
z
R
;
;
.
Применяя формулу Остроградского – Гаусса, преобразуем исходный поверхностный интеграл:
=
=
=
.
Ответ: 3.
Пример 4
С помощью формулы Остроградского – Гаусса вычислить поверхностный интеграл
, где – наружная
сторона пирамиды, ограниченной поверхностями
.
Решение
=
; Q=
; R=
.
Найдем частные производные:
;
37
;
.
Применяя формулу Остроградского – Гаусса, преобразуем ис-
dxdyzdzdxydydzx
333
dxdydzzyx
222
333
yx
dzzyxdydxdxdydzzyx
1
0
222
1
0
1
0
222
33
1
0
222233
1
0
3
1
22222
3
4
3
4
3 dyyxxyxyyxyxyxdx
6333
3
6
1
3
2
3
4
3
234
1
0
23
xxxx
dxxxx
2
1
6
1
3
2
1
№
Инструмент
Значение
Доступ
к инструменту
Клавиши
быстрого доступа
к инструменту
1
2 3 4
5
1
:=
Определение
значения функции
Панель
«Математическая»,
подпанель
«Вычисление»
+
2
x2
Возведение
выражения
в степень
Панель
«Математическая»,
подпанель
«Калькулятор»
^ : Shift
ходный поверхностный интеграл:
=
=
=
Ответ:
=
=
.
.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ В ПАКЕТЕ MATHCAD
В данном разделе рассмотрены примеры решения разобранных
выше типовых задач в пакете MathCAD. В табл. 1 приведен перечень
основных используемых инструментов системы MathCAD.
Таблица 1
38
№
Инструмент
Значение
Доступ
к инструменту
Клавиши
быстрого доступа
к инструменту
3
Извлечение
квадратного
корня
Панель
«Математическая»,
подпанель
«Калькулятор»
4
Оператор
дифференцирования
Панель
«Математическая»,
подпанель
«Исчисление»
+
5
Оператор
интегрирования
Панель
«Математическая»,
подпанель
«Исчисление»
–
6
Матрица
или вектор
Панель
«Математическая»,
подпанель
«Матрица»
+
7
Нижний индекс,
номер элемента
матрицы (нумерация
начинается
с нулевого элемента)
Панель
«Математическая»,
подпанель
«Матрица»
8
→
Символьное
вычисление
Панель
«Математическая»,
подпанели
«Символьная» или
«Вычисление»
+
9
solve, p
Решить для
переменной p
Панель
«Математическая»,
подпанель
«Символьная»
–
10
simplify
Упростить
выражение
Панель
«Математическая»,
подпанель
«Символьная»
–
.
Ctrl
[ M Ctrl
?
Shift
\
Окончание табл. 1
39
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]