Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Поверхностные интегралы. Учебное пособие
.pdf
в исходную точку
0
М
zyxF ,,
yxfz ,
yxf ,
xOy
0max
i
d
n
i
dzyxF
ii
z
i
y
i
xF
i
d
1
,,,,lim
0max
i
i
z
i
y
i
x ,,
i
d
zyxF ,,
xOy
Oz
dydx
y
f
x
fyxfyxFdzyxF
S
22
1,,,,,
с исходным же направлением нормали. При
этих условиях поверхность называется двусторонней.
Если поверхность двусторонняя, то на ней существуют всего
лишь два способа выбора единичного вектора нормали. Задав в каждой точке единичный вектор нормали так, чтобы он менялся непрерывно, мы тем самым определяем сторону поверхности. Поэтому под
стороной поверхности будем понимать заданную на этой поверхности непрерывную функцию вектора единичной нормали.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Ι И II РОДА
ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ
Пусть
верхность , где
– непрерывная функция и
задана в некоторой области S плоскости
– гладкая по-
Поверхностным интегралом Ι рода называется предел инте-
гральной суммы при условии, что
:
,
где
лежит точка с координатами
биения. Функция
– площадь i-того элемента поверхности , которому принад-
,
– диаметр элементов раз-
определена в каждой точке поверхности .
Значение этого интеграла не зависит от выбора стороны поверхности , по которой производится интегрирование.
.
Если проекция S поверхности на плоскость
т.е. всякая прямая, параллельная оси
плоскости лишь в одной точке, то соответствующий поверхност-
ный интеграл Ι рода может быть вычислен по формуле
однозначна,
, пересекает поверхность
. (2)
11
Подобным образом можно проектировать части поверхности на
xOz
yOz
dzyx
10 x
10 y
10 z
1z
0z
101
0
101
0
122
101
0
1 dydxyxdydxyxdydxyx
3
1
0
2
2
1
0
22
1
0
1
0
2
2
xxdxxdxyyxy
1x
0x
0y
1y
1 1 y
z
координатные плоскости
и
.
Пример 1
Вычислить поверхностный интеграл
,
где – поверхность куба
,
,
.
Решение
Вычислим поверхностные интегралы по верхней грани куба
и по нижней грани куба
(рис. 6) и найдем их сумму:
Аналогично вычисляются поверхностные интегралы по передней
и задней (
,
), а также по левой и правой (
верхностям куба. Результаты вычислений будут также равны 3 и в
одном, и в другом случае.
Рис. 6
12
.
,
) по-
Очевидно, что искомый поверхностный интеграл
dzyx
dzyx
dyx
1052 zyx
0x
0y
0z
yxz 5210
2
x
z
5
y
z
dydx
y
f
x
f
S
yxfyxFdzyxF
22
1,,,,,
D
dxdyyxdxdy
D
yxdyx 30
2
5
2
21
X
Y
Z
5
2
10
D
X
Y 0 2
5
равен сумме всех вычислений.
=9.
Ответ: 9.
Пример 2
Вычислить поверхностный интеграл
плоскости
, лежащая в первом октанте (
Решение
Рис. 7
, где – часть
,
,
).
Разрешим уравнение плоскости через переменную z:
Найдем частные производные:
Применяя формулу (2), найдем:
.
,
.
;
.
13
Область интегрирования
D
5
0
5
2
2
0
2
2
30
5
2
2
0
5
0
3030 dx
x
y
xydy
x
yxdx
D
dxdyyx
3
3530
5
0
25
2
8
5
6
230
dx
xx
3
3530
dzyx
442 zyx
0x
0y
0z
244
1
1
y
x
z
4
1
x
z
2
1
y
z
dydx
y
f
x
fyxfyxFdzyxF
S
22
1,,,,,
dxdy
y
x
yxdzyx
D
2
2
1
2
4
1
1
24
1
dxdy
yx
D
4
21
24
3
1
(рис. 7).
представляет собой треугольник
.
Ответ:
.
Пример 3
Вычислить поверхностный интеграл
плоскости
, лежащая в первом октанте (
Решение
Разрешим уравнение плоскости через переменную z:
.
Найдем частные производные
, где – часть
,
,
).
Применяя формулу (2), найдем:
,
.
;
.
14
Область интегрирования
D
dyxyx
x
dx
yx
dydxdy
yx
y
y
D
2
0
0
42
2
2
3
0 0
16
21
1
24
3
4
21
4
21
24
3
1
24
2
24
dyyydyyyyy
2
0
2
44880
32
21
2
0
244242
2
24
2
3
16
21
3
217
2
0
3
3
2
620
8
21
2
0
2
1220
8
21
y
yydyyy
3
217
dyx
22
222
yxz
0z
1z
0 x y
2
4
D
(рис. 8).
представляет собой треугольник
Рис. 8
Ответ:
.
Пример 4
Вычислить поверхностный интеграл
.
, где – часть
конической поверхности
стями
и
. (рис. 9).
, заключенной между плоско-
15
Решение
22
yxz
22
yx
x
x
z
22
yx
y
y
z
dydxdydx
yx
yx
dydx
yx
y
yx
x
d 2
22
22
2
22
2
22
2
1
dxdy
D
yxdxdy
D
yxdyx
22
22
2222
2
1
2
1
,,
dfddxdy
D
yxf
.
2
2
2
0
1
0
3
2
22
2
dddxdy
D
yx
2
2
x
y
z
0
Разрешим уравнение плоскости через переменную z:
Рис. 9
.
Найдем частные производные:
,
.
Далее находим:
Получим:
.
При вычислении данного интеграла целесообразно перейти к по-
лярной системе координат:
.
Ответ:
.
16
, тогда
Пример 5
dxazy
22
222
ayx
0z, hz
22
xay
dxazy
22
dxazy
1
22
dxazy
2
22
22
:
1
xay
22
:
2
xay
zOx
axa
hz 0
22
xay
22
xa
x
x
y
0
z
y
0
h
y
z
x
а
-а
Вычислить поверхностный интеграл
,
где – цилиндр
между плоскостями
Решение
Рис. 10
Разрешим уравнение поверхности относительно y:
.
.
Поверхность задается неоднозначно, поэтому разбиваем исход-
ный интеграл на два интеграла:
=
где
,
Проекцией цилиндра на плоскость
.
+
является прямоугольник
,
Так как
(рис. 10).
, найдем частные производные:
,
;
,
17
dzdx
xa
a
dzdx
xa
a
dzdx
xa
x
d
22
22
2
22
2
1
1
I
dxazy
1
22
2
I
dxazy
2
22
1
I
dxazy
1
22
a
xa
dzdxa
h
xazxa
0220
2222
2
a h
dz
xa
z
dxadzdx
ah ah
xa
z
adzdx
xa
zxa
a
0 0
22
22
00 00
22
22
22
22
2
2
a
a
xh
xahdx
a a
xa
h
hadx
h
xa
z
za
0
arcsin
2
22
0 0
22
2
2
22
0
22
2
2
22
2
2
2
4
4
22
ah
ha
h
aah
2
I
dxazy
2
22
a
dzdx
h
xa
xazxaa
00
22
2222
2
a
xa
dxh
a
ah a h
dzz
xa
dx
adzdx
xa
z
a
0
22
2
2
2
00 0 0
22
2
22
2
2
2
arcsin
2
2
2
ah
a
xh
a
haah
ahah
haIIdxazy
4
2
2
2
2
2
4
21
22
haah
4
Посчитаем интегралы отдельно. Обозначим:
;
.
.
;
.
В результате исходный интеграл принимает значение
.
Ответ:
.
18
Пример 6
dyx
22
2222
azyx
222
yxaz
dyx
22
dyx
22
1
22
z
dyx
2
22
z
dyx
222
1
yxaz
222
2
yxaz
222
yxaz
222
2
2
yxa
x
x
z
222
2
2
yxa
y
y
z
dydx
yxa
a
dydx
yxa
y
yxa
x
d
222
2
222
2
222
2
1
.
222
yxa
dyadx
xOy
222
ayx
Вычислить поверхностный интеграл
, где – сфера
.
Решение
Разрешим уравнение поверхности относительно z:
.
Поверхность задается неоднозначно, поэтому разбиваем исход-
ный интеграл
на два интеграла по верхней и по нижней
половинам сферы:
=
+
,
где
Так как
имеем
Найдем
,
.
,
,
.
Областью интегрирования является проекция сферы на плоскость
, т.е. круг
.
19
Очевидно, что интегралы по верхней и по нижней половинам
1
22
2
22
z
dyxdyx
S
dydx
yxa
yx
a
S
dydx
yxa
a
yx
222
22
2
222
22
2
sin,cos yx
a
dttad
ta
замена
d
a
da
S
dd
a
a
0
sin
cos
:
22
3
2
0
8
22
3
2
2
0
0
2
3
cos
3
8
0
2
2
cos
22
3
cos
3
2
0
8
dttada
taa
dtta
da
2
0
0
2
3
3
sin
sin
4
8
2
0
0
2
sin
2
sin1
4
8
t
tatdtda
3
4
8
2
0
3
2
4
8
a
da
3
4
8a
dzyxm ,,
zyx ,,
сферы равны. Тогда исходный интеграл составит
Переходя к полярным координатам
=
, получим
.
Ответ:
ПОВЕРХНОСТНОГО ИНТЕГРАЛА Ι РОДА
1. Масса всей поверхности Σ составляет
где
– поверхностная плотность.
.
ПРИЛОЖЕНИЯ
, (3)
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]