Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Их приложения к механике, физике и теплотехнике. Учебно-методическое пособие
.pdf
-1-
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Казанский национальный исследовательский
технологический университет»
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.
ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ,
ФИЗИКЕ И ТЕПЛОТЕХНИКЕ
Учебно-методическое пособие
Казань
Издательство КНИТУ
2019
-2-
УДК 517.3(075)
ББК 22.161.1я7
П42
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Казанского национального исследовательского технологического университета
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук О. Е. Тихонов
канд. физ.-мат. наук Е. А. Турилова
П42
Авторы: Д. Н. Бикмухаметова, Р. Ф. Ахвердиев,
А. Р. Миндубаева, Л. В. Веселова, Г. Б. Гурьянова,
О. Н. Тюленева
Поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Их приложения к
механике, физике и теплотехнике : учебно-методическое пособие /
Д. Н. Бикмухаметова [и др.]; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед.
технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2019. – 96 с.
ISBN 978-5-7882-2581-4
Изложены теоретические сведения по разделам курса «Математика:
Поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Их приложения к механике, физике и теплотехнике». Приведены разнообразные задачи и примеры
по темам, также подобраны задачи для самостоятельного решения. Включено
тридцать вариантов расчетного задания.
Предназначено для бакалавров всех направлений подготовки, изучаю-
щих дисциплину «Математика».
Подготовлено на кафедре высшей математики.
ISBN 978-5-7882-2581-4
©
Бикмухаметова Д. Н., Ахвердиев Р. Ф.,
Миндубаева А. Р., Веселова Л. В.,
Гурьянова Г. Б., Тюленева О. Н., 2019
©
Казанский национальный исследовательский
технологический университет, 2019
УДК 517.3(075)
ББК 22.161.1я7
-3-
z
y x 0
D
i
S
1. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Поверхностные интегралы являются обобщением двойного инте-
грала (как и криволинейные интегралы по отношению к определенному).
1.1. Поверхностные интегралы первого рода
Рассмотрим гладкую поверхность
в трехмерном пространстве,
заданную уравнением
( )
yxfz ,=
. Разобьем ее произвольным образом
на n частей с площадями
( )
niS
i
,.......3,2,1, =
,
обозначив за
i
характер-
ный размер каждой части
(например, длины частей)
(рис. 1). Пусть некоторая
функция
( )
zyxF ,
непре-
рывна в каждой точке
поверхности . Рассмотрим произведение вида
( )
iiii
SzyxF ,
, где
( )
−
iii
zyx ,
произвольная точка, принадлежащая i-му участку поверх-
ности
( )
yxfz ,=
.
Определение. Если при стремлении к нулю, где
nii,1
max
=
=
,
существует конечный предел интегральной суммы
( )
=
n
i
iiii
SzyxF1,
,
не зависящий от способа разбиения области
и выбора точек
( )
iii
zyx ,
, то этот предел называется поверхностным интегралом
первого рода (или интегралом по площади поверхности) и обозначается
( ) ( )
i
n
i
iii
SzyxFdSzyxF =
=
→
1
0
,,lim,,
. (1)
-4-
1.1.1. Свойства поверхностного интеграла первого рода
1)
SdS =
, где
−S
площадь поверхности
;
2)
( ) ( ) ( )
.,,,,, constcdSzyxFcdSzyxcF ==
;
3)
( ) ( )( )
=+
dSzyxFzyxF ,,,,
21
( ) ( )
dSzyxFdSzyxF
+= ,,,,
21
;
4)
( )
=
dSzyxF ,,
( ) ( )
,,,,,
21
dSzyxFdSzyxF
+
( )
21
=
;
5) если
( ) ( )
zyxFzyxF ,,
21
, то
( ) ( )
dSzyxFdSzyxF
,,,,
21
;
6)
( ) ( )
dSzyxFdSzyxF
,,,,
;
7) теорема о среднем. Если функция
( )
zyxF ,
непрерывна в любой
точке поверхности
, то существует такая точка
( )
000
, zyx
, что
( ) ( )
SzyxFdSzyxF
000
,,,, =
,
где
−S
площадь поверхности
.
1.1.2. Вычисление поверхностных интегралов первого рода
Если
– незамкнутая гладкая поверхность, не имеющая крат-
ных точек, а
−D
ее проекция на плоскость
XOY
, то поверхностный
-5-
интеграл первого рода вычисляется через двойной интеграл по формуле
( ) ( )( )
.1,,,,,
2
2
dxdy
y
z
x
z
yxfyxFdSzyxF
D
+
+=
(2)
Аналогично можно вычислить поверхностный интеграл первого
рода в случаях, когда уравнение поверхности
имеет вид
( )
zyx ,
=
или
( )
zxy ,
=
. В первом случае он сводится к двой-
ному интегралу по проекции поверхности
на плоскость
YOZ
, во
втором случае – по проекции на плоскость
XOZ
.
Пример 1. Вычислить интеграл по площади поверхности
xdS
,
где
– полусфера
22
1 yxz −−=
.
Решение. Проекция поверхности на плоскость
XOY
(область
D
) есть круг единичного радиуса с центром в начале координат. Гра-
ница области
D
– окружность
122=+ yx
. Вычислим в соответствии
с формулой (2):
2222
1
,
1 yx
y
y
z
yx
x
x
z
−−
−=
−−
−=
,
тогда
=
−−
−+
−−
−+=
D
dxdy
yx
y
yx
x
xxdS
2
22
2
22
11
1
.
1
1
1
22
22
dxdy
yx
x
dxdy
yx
x
DD
−−
=
−−
=
-6-
Для вычисления полученного двойного интеграла перейдем к
полярным координатам
( )
,r
, используя формулы
rdrddxdyryrx === ,sin,cos
. При этом
−
=
−
=
−−
2
0
1
0
2
2
222
1
cos
1
cos
1 r
drr
drdrd
r
r
dxdy
yx
x
DD
.
Вычислим внутренний интеграл:
( )
.
4
2sin
2
1
2
1
2cos1
2
1
sin
cos
cos1,sin
1
2
0
2
0
2
0
2
2
1
0
2
2
=
−=−=
==
=
=−=
=
−
ttdtt
dtt
dttdr
trtr
r
drr
Таким образом,
( )
.00sin2sin
4
sin
4
cos
4
1
2
0
2
0
22
=−=
===
−−
=
ddxdy
yx
x
dSx
D
Пример 2. Вычислить интеграл первого рода
( )
++ dSzyx 346
, где
– часть плоскости
632 =++ zyx
, рас-
положенная в первом октанте.
Решение. Поверхность интегрирования – треугольник
ABC
,
ее проекция
D
на плоскость
XOY
– треугольник
OAB
(рис. 2).
-7-
Рис. 2
Из уравнения плоскости имеем
( )
,
3
1
,26
3
1
−=
−−=
x
z
yxz
.
3
2
−=
y
z
Тогда из формулы (2) следует:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
=+−=
++=
=
++=++=
=++−−++=++
−
−
dyyydyxxyx
dxyxdydxdyyx
dxdyyxyxdSzyx
y
y
D
D
3
0
2
3
0
26
0
2
26
0
3
0
211014262
2
5
3
14
625
3
14
3
14
625
9
4
9
1
12646346
1454215
3
142
3
0
2
3
=
+−= yy
y
.
1.2. Поверхностные интегралы второго рода
Определение. Гладкая поверхность
называется двусторонней,
если для любой точки
M
и замкнутого контура L, лежащего на
поверхности , не пересекающего границы поверхности и проходящего через точку M, направление нормали n в этой точке после обхода контура
L
совпадает с исходным.
C
x z y
A
B
6
3
2
B
A
6
3
0
x
y
O
-8-
Если после обхода по кон-
туру направление нормали в точке M противоположно исходному, поверхность называется односторонней.
Выберем одну из сторон
гладкой двусторонней поверхности , задав одно из двух возможных направлении нормали к
ней, т. е. введем ориентацию поверхности (рис. 3). Считаем n
единичным вектором, тогда
cos,cos,cos=n
.
Разобьем выбранную сто-
рону поверхности
на m частей с площадями
( )
miS
i
,1, =
и в
каждой из этих частей возьмем произвольную точку
( )
iiii
zyxM ,
.
Зададим непрерывные на поверхности
функции
( ) ( ) ( )
zyxRzyxQzyxP ,,,,,,,,
и составим сумму
( ) ( ) ( )
xy
i
m
i
iii
xz
iiii
yz
iiii
SzyxRSzyxQSzyxP ++
=1
,,,,,,
, (3)
где
−
yz
i
xz
i
xy
i
SSS ,,
площади проекций i – части поверхности на
координатные плоскости
YOZXOZXOY ,,
соответственно.
Определение. Поверхностным интегралом второго рода (поверх-
ностным интегралом по координатам) от функций
( )
zyxP ,,
,
( )
zyxQ ,,
,
( )
zyxR ,,
двусторонней ориентированной поверхности
называется предел интегральной суммы (3) при стремлении к
нулю, если он существует и не зависит от способа разбиения поверхности на части и выбора в них точек
i
M
(
nii,1
max
=
=
, где
i
– ха-
рактерный размер каждой части).
x
z
y
0
i
j
k
M
n
Рис. 3
-9-
Итак,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
.,,,,,,lim
,,,,,,
1
0
xy
i
m
i
iii
xz
iiii
yz
iiii
SzyxRSzyxQSzyxP
dxdyzyxRdxdzzyxQdydzzyxP
++=
=++
=
→
(4)
Свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны
уже рассмотренным свойствам поверхностного интеграла первого рода.
Необходимо отметить, что поверхностный интеграл второго рода меняет знак при смене сторон поверхности интегрирования.
1.2.1. Вычисление поверхностных интегралов второго рода
Вычисление поверхностных интегралов второго рода сводится к
вычислению соответствующих двойных интегралов.
Пусть область интегрирования поверхностного интеграла
за-
дана уравнением
( )
0,, =zyxF
, тогда поверхностный интеграл вто-
рого рода вычисляется по формуле
( ) ( ) ( )
=++
dxdyzyxRdxdzzyxQdydzzyxP ,,,,,,
( )( ) ( )( )
=
yz xz
dxdzzzxyxQdydzzyzyxP ,,,,,,
(5)
( )( )
yz
dxdyyxzyxR ,,,
,
где
−
yzxzxy
,,
проекции поверхности
на плоскости
YOZXOZXOY ,,
соответственно;
( )
zyx ,
– выражение переменной
x
через yи z;
( )
zxy ,
– выражение переменной y через
x
и
z
;
( )
yxz ,
– выражение переменной z через
x
и yиз уравнения по-
верхности
.
Двойной знак в формуле (5) соответствует двум различным сто-
ронам поверхности
. Плюс соответствует интегрированию по верх-
ней стороне поверхности
(в этом случае угол между нормалью к
поверхности и осью
OZ
острый).
-10-
Пример 3. Вычислить интеграл
( )
− dxdyaz
2
по верхней сто-
роне полусферы
azaazzyx 2,2
222
=++
.
Решение. Преобразуем уравнение поверхности к виду
( )
2
2
22
aazyx =−++
, откуда
222
yxaaz −−+=
(рис. 4).
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4
-2
0
2
4
Заданная поверхность проецируется на плоскость
XOY
в круг
222
ayx +
(область
D
). Тогда
( )
( )
−−=−
D
dxdyyxadxdyaz
222
2
.
Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам, используя формулы
rdrddxdyryrx === ,sin,cos
.
Рис. 4
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]