Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Их приложения к механике, физике и теплотехнике. Учебно-методическое пособие
.pdf
-11-
В этом случае
( )
( ) ( )
=−=−−=−
DD
ddrrradxdyyxadxdyaz
22222
2
( )
=
−=
2
0 0
22
a
drrrad
242
4
2
0
0
422
a
d
rra
a
=
−
.
1.2.2. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода
Поверхностные интегралы первого и второго рода связаны соот-
ношением
( ) ( ) ( )
=++
dxdyzyxRdxdzzyxQdydzzyxP ,,,,,,
( ) ( ) ( )( )
++= dSzyxRzyxQzyxP
cos,,cos,,cos,,
. (6)
В этой формуле
−
cos,cos,cos
направляющие косину-
сы нормали к выбранной стороне поверхности
.
Если поверхность
задана уравнением в неявном виде
( )
0,, =zyxF
, то направляющие косинусы нормали к поверхности
определяются формулами
,cos
2
2
2
+
+
=
z
F
y
F
x
F
x
F
,cos
2
2
2
+
+
=
z
F
y
F
x
F
y
F
-12-
2
2
2
cos
+
+
=
z
F
y
F
x
F
z
F
,
где знак перед радикалом должен быть согласован со стороной поверхности.
Пример 4. Вычислить поверхностный интеграл по координатам
−
dxdzy
, где
– поверхность тетраэдра, ограниченного плоскостя-
ми
0,0,0,1 ====++ zyxzyx
. Знак
означает, что ин-
теграл берется по замкнутой поверхности, а знак (−) перед
показы-
вает, что интегрирование ведется по внутренней стороне поверхности.
Решение. Замкнутая поверхность
состоит из четырех частей: треугольников
,, BCOABC ABOACO ,
, расположенных
в различных плоскостях (рис. 5). В соответствии с этим вычислим данный интеграл как
сумму четырех интегралов.
Преобразуя поверхностный интеграл по
внутренней стороне треугольника
ABC
в
двойной интеграл и вычисляя его, получаем
( ) ( )
=
−+=−−−=
−x
AOCABC
dzzxdxdxdzzxdxdzy
1
0
1
0
11
( ) ( )
( )
6
1
6
1
1
2
1
1
2
1
1
0
3
1
0
2
1
0
2
1
0
−=
−
−=−−=−+=
−
x
dxxdxzx
x
.
Здесь учтено, что
AOC
является проекцией
ABC
на плос-
кость
XOZ
.
Далее
==
ABOBCO
dxdzydxdzy 0
, так как плоскости
BCO
и
ABO
перпендикулярны плоскости
XOZ
.
C
x z y
A
B
1 1 1
Рис. 5
-13-
==
ACOACO
dxdzdxdzy 00
, так как
0=y
на плоскости
XOZ
.
Отсюда получаем
6
1
−=
−
dxdzy
.
Пример 5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
dydzx
, где
– внешняя сторона части параболоида
222
zyax −−=
, отсеченная плос-
костью
YOZ
(рис. 6).
Решение. Проекцией поверх-
ности
на плоскость
YOZ
являет-
ся круг с границей
222
azy =+
. Так
как интегрирование ведется по
внешней стороне поверхности, при
переходе от поверхностного интеграла к двойному ставим знак (+).
Тогда
( )
−−=
zy
dydzzyadydzx
222
.
Переходим к полярным координатам
( ) ( )
.
244
1
2
1
4
2
0
4
2
0
0
422
0
22
2
0
222
a
d
a
drra
drrraddydzzya
a
a
zy
==
−=
=−=−−
1.2.3. Формула Остроградского–Гаусса
Формула Остроградского–Гаусса связывает поверхностный ин-
теграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области V, ограниченной этой поверхностью:
x
z
y
2
a
Рис. 6
-14-
( ) ( ) ( )
dxdydz
z
R
y
Q
x
P
dxdyzyxRdxdzzyxQdydzzyxP
V
+
+
=
=++
,,,,,,
(7)
Пример 6. Вычислить интеграл из примера 4, используя форму-
лу Остроградского–Гаусса:
−
dxdzy
, где
( )
−
– внутренняя по-
верхность тетраэдра, ограниченного плоскостями
,1=++ zyx
0,0,0 === zyx
.
Решение. Поскольку
( ) ( ) ( )
0,,,,,,0,, === zyxRyzyxQzyxP
,
имеем
,0=
=
z
R
x
P
1=
y
Q
. Запишем формулу Остроградского–
Гаусса с учетом того, что интегрирование ведется по внутренней стороне поверхности:
( )
=−=++−=
−−
−
−
yx
x
V
dzdydxdxdydzdxdzy
1
0
1
0
1
0
010
( ) ( )
=
−−−=−−−=−=
−
−−
−−
1
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
2
1
11 dxyyxdyyxdxdyzdx
x
xx
yx
( ) ( ) ( )
( )
6
1
6
1
1
2
1
1
2
1
1
1
0
1
0
3
2
1
0
22
−=
−
=−−=
−−−−=
x
dxxdxxx
.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить поверхностные интегралы первого рода:
1.
( )
,
1
1
2
ds
zx
++
где – часть плоскости
1=++ zyx
, заклю-
ченная в первом октанте.
-15-
2.
dsyxz
++
3
4
2
, где
– часть плоскости
12346 =++ zyx
,
лежащая в первом октанте.
Вычислить поверхностные интегралы второго рода:
3.
++ dxdyzdxdzxdydzy
, где
– внешняя сторона треугольни-
ка, образованная пересечением плоскости
1=+− zyx
с координат-
ными плоскостями.
4.
++ dxdyzdxdzydydzx
222
, где
– внешняя сторона поверхно-
сти сферы
2222
azyx =++
, лежащей в первом октанте.
5.
( ) ( ) ( )
−+−+− dxdyyxdxdzxzdydzzy
, – внешняя сторона
конической поверхности
( )
hzzyx =+ 0,
222
.
Применяя формулу Остроградского–Гаусса, преобразовать по-
верхностные интегралы в интегралы по объему:
6.
( )
dSzyx
++
coscoscos
.
7.
( )
( )
dxdydxdzdydzzyx ++++
222
.
8.
++ dxdyxzdxdzydydzyx
32
.
C помощью формулы Остроградского–Гаусса вычислить следу-
ющие интегралы:
9.
( )
dSzyx
++
coscoscos
, где
– поверхность эллипсои-
да
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
.
10.
( )
dSzyx
++
coscoscos
333
, где
– поверхность сферы
2222
Rzyx =++
.
11.
++ dxdyzdxdzydydzx
222
, где – поверхность конуса
( )
bz
b
z
a
y
a
x
=−+ 0,0
2
2
2
2
2
2
.
-16-
12.
++ dxdyzdxdzydydzx
, где
– внешняя сторона поверхно-
сти сферы
2222
azyx =++
.
13.
++ dxdyxydxdzzxdydzyz
, где
– внешняя сторона поверх-
ности тела
hzayx + 0,
222
.
14.
++ dxdyzdxdzydydzx
333
, где
xzyx =++
222
внешняя сто-
рона поверхности сферы.
15.
++ dxdyzdxdzydydzx
222
, где – внешняя сторона поверхно-
сти куба
ax 0
,
ay 0
,
az 0
.
16. Вычислить поверхностный интеграл
+ dydzxydxdyzx
22
, где
– внешняя часть полной поверхности параболоида
22
yxz +=
,
ограниченного плоскостью
1=z
.
Ответы
1.
3
2
1
2ln
−
. 2.
614
. 3.
2
1
−
, 4.
4
8
3
a
. 5. 0, 6.
V
dxdydz3
.
7.
( )
++
V
dxdydzzyx2
. 8.
( )
++
V
dxdydzxyxy232
. 9.
abc
4
.
10.
5
5
12
R
. 11.
22
2
ba
. 12.
3
4 a
. 13. 0. 14.
5
. 15.
4
3a
.
16.
6
.
2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
2.1. Скалярное поле
2.1.1. Определение скалярного поля. Поверхности уровня
Пусть заданы область
R3 и числовая функция
→:u
R.
Эта функция
( )
zyxuu ,,=
принимает определенное значение для
-17-
любой точки
( )
zyxM ,,
. Тогда говорят, что определено про-
странственное скалярное поле
u
в области
. Если
R
2
, то та-
ким же образом определенное поле называется плоским.
Примерами скалярных полей являются поле температур, поле
концентраций вещества в растворе, поле напряженности электрического заряда и др.
Поверхностью уровня скалярного поля
( )
zyxuu ,,=
называ-
ется поверхность
( )
.,, Constzyxu =
Эти поверхности характеризу-
ются тем условием, что во всех точках такой поверхности функция
( )
zyxu ,,
сохраняет одно и то же значение С . Придавая этой посто-
янной различные значения, получим семейство поверхностей уровня
( )
.,, Czyxu =
При этом через каждую точку пространства будет
проходить определенная поверхность уровня. Например, для нагретого тела поверхности уровня – это точки с одинаковой температурой.
Для плоского скалярного поля аналогично вводится понятие линии
уровня. Линией уровня плоского скалярного поля называется линия
( )
., Constyxu =
Придавая константе различные значения, получают
семейство линий уровня
( )
., Cyxu =
2.1.2. Производная по направлению. Градиент
Производной скалярного поля
( )
zyxuu ,,=
по направлению
вектора
( )
pnml ,,
в точке
( )
0000
,, zyxM
называется
( )
( ) ( )
( )
lMM
MM
MuMu
M
l
u
MM
0
0
0
0
0
,lim
0
−
=
→
. (1)
Эта производная характеризует быстроту изменения функции
( )
Мuu =
в точке
( )
0000
,, zyxM
по направлению вектора
( )
pnml ,,
. Таким образом, функция имеет в каждой точке бесчис-
ленное множество производных, причем каждую из них можно выразить через производные функции по трем взаимно перпендикулярным
направлениям X, Y, Z по формуле
( )
cos)(cos)(cos)(
0000
+
+
=
M
z
u
M
y
u
M
x
u
M
l
u
, (2)
-18-
где
cos,cos,cos
– это направляющие косинусы вектора
l
. Они
определяются следующими формулами:
222
cos
pnm
m
++
=
;
222
cos
pnm
n
++
=
;
222
cos
pnm
p
++
=
.
Градиентом скалярного поля
( )
zyxuu ,,=
называется вектор
k
z
u
j
y
u
i
x
u
ugrad
+
+
=
. (3)
Направление
)(0Мugrad
в каждой точке является направлени-
ем наибольшего возрастания поля, а его модуль
)(0Мugrad
равен
скорости этого возрастания.
В целях упрощения обозначения и упрощения вычисления
ugrad
от сложных функций вводится оператор Гамильтона
k
z
j
y
i
x
+
+
=
.
Свойства градиента скалярного поля:
1.
2121
)( ugradugraduugrad +=+
(
2121
)( uuuu +=+
).
2.
ugradCuCgrad =
(
uCuC =
).
3.
211221
)( ugraduugraduuugrad +=
.
(
211221
)( uuuuuu +=
).
4.
)(
1
2112
2
2
2
1
ugraduugradu
u
u
u
grad −=
)(
1
2112
2
22
1
uuuu
uu
u
−=
.
5.
ugraduFuFgrad
= )()(
(
uuFuF
= )()(
).
6. Для производной по направлению верна формула
( )
( )
l
Mugradl
M
l
u
0
0
=
. (4)
-19-
Здесь
( )
0
Mugradl
– скалярное произведение векторов
l
и
( )
0
Mugrad
.
2.1.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть поверхность задана уравнением
0),,( =zyxF
, левая
часть которого является функцией
),,( zyxFu =
, определяющей
скалярное поле, для которого данная поверхность является одной из
поверхностей уровня. Пусть
0)(
0
Мugrad
. Тогда все касательные
прямые к линиям, лежащим на этой поверхности и проходящим через
точку М0, расположены в одной плоскости, перпендикулярной
)(0Мugrad
и называемой касательной плоскостью. Уравнение каса-
тельной плоскости имеет вид
0))(())(())((
000000
=−
+−
+−
zzМ
z
u
yyМ
y
u
xxМ
x
u
. (5)
Нормалью к поверхности называется прямая, проходящая через
точку М
0
параллельно
)(0Мugrad
. Уравнение нормали имеет вид:
)()()(
0
0
0
0
0
0
М
z
u
zz
М
y
u
yy
М
x
u
xx
−
=
−
=
−
. (6)
Итак,
)(0Мugrad
– направляющий вектор нормали. Тогда
единичный вектор нормали
)(
)(
0
0
0
Mgradu
Mgradu
n =
=
2
0
2
0
2
0
000
)()()(
)()()(
+
+
+
+
М
z
u
М
y
u
М
x
u
kМ
z
u
jМ
y
u
iМ
x
u
(7)
Пример 1. Найти производную скалярного поля
2
2
z
y
zx
u +=
в
направлении вектора
kjil −+=
в точке
( )
2,1,10−M
.
Решение. Найдем частные производные нашей функции по
X, Y, Z:
-20-
y
xz
x
u 2
=
,
2
2
y
zx
y
u
−=
,
z
y
x
z
u
22+=
.
Подставим в найденные производные координаты точки:
( )
40−=
М
x
u
,
( )
20−=
М
y
u
,
( )
30=
М
z
u
.
Далее найдем направляющие косинусы вектора
)1,1,1( −l
:
( )
3
1
111
1
cos
2
22
=
−++
=
;
( )
3
1
111
1
cos
2
22
=
−++
=
;
( )
3
1
111
1
cos
2
22
−
=
−++
−
=
.
Подставим найденные значения в формулу (2).
( )
33
3
9
3
324
3
1
3
3
1
)2(
3
1
4
0
−=−=
−−−
=
−
+−+−=
M
l
u
.
Тот же самый результат можно получить, используя формулы
(3) и (4). Для этого сначала найдем по формуле (3):
kz
y
x
j
y
zx
i
y
xz
k
z
u
j
y
u
i
x
u
ugrad
++−=
+
+
= 2
2
2
2
2
.
Вычислим
( )
kjiMugrad 324
0
+−−=
, подставив в форму-
лу координаты точки
( )
2,1,10−M
. По формуле (4) определим
( )
( )
( ) ( )
( )
33
3
9
3
324
111
324
2
22
0
0
−=−=
−−−
=
−++
+−−−+
=
=
kjikji
l
Mugradl
M
l
u
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]