Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Их приложения к механике, физике и теплотехнике. Учебно-методическое пособие
.pdf
-51-
−
+
−
+
−
= dS
R
cz
z
R
by
y
R
ax
x
222
и вычислим. Для этого запишем параметрические уравнения сферы:
uRczuRbyuRax cos,sinsin,sincos +=+=+=
,
20,0 u
. Так как
uRFEG sin
22
=−
, то
( )
cba
R
uduucRdR
ududbRRduudaRR
duuuRcuuRb
uuRauRd
++=+
++=
=+++++
++=
3
8
sincos2
sinsin2sincos2
]cos)cos(sinsin)sinsin(
sincos)sincos[(sin
3
2
0 0
22
2
0 0
322
2
0 0
322
22
0
22
2
0
Пример 14. Пусть точечный заряд
q
, помещенный в точку
N
,
создает электрическое поле напряженности
E
. Найти поток вектор-
ного поля
E
через внешнюю сторону сферы радиуса r с центром
в точке
N
.
Решение.
Рис. 9
-52-
Пусть
r NM=
(M – точка на сфере
); тогда
r NM=
,
3
()
kq
E M r
r
=
,
()
r
nMr=
,
( ) ( )
42
kq kq
E n r r
rr
= =
.
Поэтому поток
( )
2
22
0
44
kq kq q
E n dS dS r kq
rr
= = = =
,
где
0
– электрическая постоянная,
0
1
4
k=
.
Пример 15. Пользуясь формулой Остроградского–Гаусса, вы-
числить поток
жидкости через внешнюю сторону сферы
2222
)()()( Rczbyax =−+−+−
, если
kzjyix
222
++=
– век-
тор скорости течения жидкости в точке
),,( zyxM
.
Решение. Для решения данной задачи необходимо вычислить
поверхностный интеграл второго типа:
( )
++=++= dxdyzdzdxydydzxdSzyx
222222
coscoscos
,
где
– внешняя сторона сферы
2222
)()()( Rczbyax =−+−+−
.
По формуле Остроградского–Гаусса имеем
( )
++=++=
G
dxdydzzyxdxdyzdzdxydydzx 222
222
,
где
G
– шар
2222
)()()( Rczbyax −+−+−
. Для вычисления ин-
теграла перейдем к сферическим координатам:
sincosrax +=
,
sinsinrby +=
,
cosrcz +=
,
20
,
0
. Якоби-
ан перехода равен
sin
2
r
. Уравнение границы области
G
имеет вид
Rr =
. Следовательно,
( )
cba
R
drrcbardd
R
++=
=+++++=
3
8
)]cossinsinsin(cos[sin2
3
0
2
0
2
0
-53-
Пример 16. Доказать, что жесткая замкнутая поверхность, под-
вергнутая всестороннему равномерному давлению, остается в равновесии.
Решение. Установим, что равны нулю равнодействующая сил,
действующих на поверхность, и общий момент (относительно какойлибо точки) всех действующих на нее сил.
Выделим элемент
( )
dS
поверхности. Если через
constp =
обозначить давление, т. е. силу, действующую на единицу площади, то
элементарная сила, действующая на
( )
dS
по нормали к этому элемен-
ту, будет иметь проекции на оси :
dSpdF
x
cos−=
,
dSpdF
y
cos−=
,
dSpdF
z
cos−=
(знак минус поставлен потому,
что давление направлено внутрь поверхности, а
,,
– углы
внешней нормали с координатными осями).
Проекции результирующей силы
zyx
FFF ,,
получаются из
проекций элементарных сил интегрированием по поверхности:
−=
S
x
dSpF
cos
,
−=
S
y
dSpF
cos
,
−=
S
z
dSpF
cos
Введем тройку функций:
0),,(),,(,1),,( === zyxRzyxQzyxP
.
( )
( )
cos cos cos cos
0 0 0 0
x
SS
S G G
F p dS p P Q R dS
P Q R
p Pdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz dxdydz
x y z
= − = − + + =
= − + + = + + = + + =
по формуле Остроградского–Гаусса.
Аналогично доказывается
0==zyFF
.
0=F
.
Итак, результирующая сила равна нулю.
Для определения главного момента системы элементарных сил,
например относительно начала координат, просуммируем составляющие по осям моментов элементарных сил:
( )
dSyzpzdFydFdL
yzx
coscos −=−=
,
( )
dSzxpxdFzFdL
zxy
coscos −=−=
,
( )
dSxypydFxdFdL
xyz
coscos −=−=
.
-54-
Таким образом, проекции главного момента давлений относи-
тельно начала координат:
( )
−=
S
x
dSyzpL
coscos
,
( )
−=
S
y
dSzxpL
coscos
,
( )
−=
S
z
dSxypL
coscos
.
Если в формуле Остроградского–Гаусса задать
pyzyxRpzzyxQzyxP −=== ),,(,),,(,0),,(
, то получим
( )
( )
cos cos
0 ( ) ( )
0 0 0 0
x
SG
GG
P Q R
L p z y dS Pdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz
x y z
pz py
dxdydz dxdydz
x y z
= − = + + = + + =
−
= + + = + + =
Аналогично устанавливается, что и
0==zyLL
. Т. е. главный
момент давлений относительно начала координат равен нулю.
Обратим внимание на некоторые особенности векторного поля
P pn=−
(сила, приходящейся на единицу площади поверхности S)
при
( , , )p p x y z=
:
1. Равнодействующая сил, действующих на поверхность, в век-
торной форме:
SS
F PdS pndS= − = −
.
2. Поток через поверхность S:
( )
( )
S S S S
P ndS pn ndS p dS pdS = = − = − = −
3.
( )
cos
x
S S S
F p dS p i ndS pdydz
= − = − = −
( )
cos
y
S S S
F p dS p j ndS pdxdz
= − = − = −
( )
cos
z
S S S
F p dS p k ndS pdxdy
= − = − = −
То есть компоненты равнодействующей сил
,,
x y z
F F F
равны
потокам «искусственных» векторных величин
pi−
,
pj−
,
pk−
через поверхность S.
-55-
Если
A pi p j pk= − − −
, то
x y z
S S S S
A ndS pdydz pdxdz pdxdy F F F = − − − = + +
Пример 17. С помощью формулы Остроградского–Гаусса выве-
дем один из основных законов гидростатики – закон Архимеда.
Решение. Известно, что сила давления жидкости на погруженную в нее площадку направлено по нормали к площадке (независимо
от ее ориентации – по закону Паскаля) и равно весу столба жидкости,
основанием которого служит эта площадка, а высотой – глубина погружения площадки. Допустим, что в жидкость погружено твердое
тело (V), на каждый элемент его поверхности (dS) его поверхности (S)
по указанному закону давит жидкость. Требуется определить равнодействующую элементарных сил и ее точку приложения. Выберем
координатную систему, совместив плоскость xy со свободной по-
верхностью жидкости, а ось
Oz
направив вертикально вниз.
Пусть плотность жидкости равна , а глубина погружения эле-
мента
dS
есть z; тогда испытываемая этим элементом сила давления
будет
zdSg
, а составляющие его по осям
dSzgcos−
,
dSzgcos−
,
dSzgcos−
.
В таком случае для проекций равнодействующей сил на оси имеем:
−=
S
x
dSzgF
cos
,
−=
S
y
dSzgR
cos
,
−=
S
z
dSzgR
cos
.
C помощью формулы Остроградского–Гаусса, как в предыду-
щей задаче, можно показать
0y== FF
x
,
gVdVgF
V
z
−=−=
.
Таким образом, результирующая сила давления направлена вертикально вверх и равна весу вытесненной телом жидкости.
Рассмотрим теперь моменты элементарных сил относительно
центра тяжести
),z,yC(x
000
геометрического тела при равномерном
распределении масс, он может не совпадать с центром тяжести физического тела. Составляющие элементарных моментов по осям:
( )
dSyyzzpzdFzzdFyydL
yzx
cos)(cos)()()(
0000
−−−=−−−=
,
-56-
( )
dSzzxxpdFxxFzzdL
zxy
cos)(cos)()()(
0000
−−−=−−−=
,
( )
dSxxyypdFyydFxxdL
xyz
cos)(cos)()()(
0000
−−−=−−−=
.
Применяя к первому интегралу формулу Остроградского–
Гаусса, найдем:
0)(
)()(
00
00
=
−=−=
=
−
−
−
=
V V
V
x
ydVVydVyy
dV
z
yyz
y
zzz
pL
,
так как
V
ydV
– статический момент тела относительно плоскости
xz
и равен
Vy
0
.
Аналогично устанавливается, что
0==zyLL
, т. е. главный
момент силы давления относительно центра тяжести тела равен нулю.
Итак, на тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная
весу жидкости, вытесненной телом; эта сила приложена к центру геометрического тела и направлена вертикально вверх.
3.5. Обобщение и систематизация физических
приложений интегралов различного типа
Систематизируем группы физических задач, решаемых с помо-
щью интегрального исчисления.
– интегральные характеристики скалярных физических полей;
– определение силового поля по источнику.
К первой группе относится определение механических параметров заданного материального объекта: масса, статические моменты,
моменты инерции, координаты центра масс. Эти параметры характеризуются распределением массы в пространстве. Подынтегральное
выражение в соответствующих интегралах содержит массовую плотность (можно говорить о скалярном поле плотности масс).
Тип интеграла определяется формой протяженного объекта: для
материальной кривой – криволинейный интеграл первого типа; для
материальной поверхности – поверхностный интеграл первого типа;
-57-
для плоского тела – двойной интеграл; для объемного тела – тройной
интеграл.
Если у протяженного объекта задан линейный характер распределения массы, для решения подобных задач применяется определенный интеграл.
Отнесем к этой группе задач также определение напряженности
силы, источником которой является протяженный объект с распределенной массой.
Сила притяжения материальной точки единичной массы со стороны распределенной массы (напряженность гравитационного поля) в
векторной форме:
=
L
dlzyx
r
r
GF ),,(
3
при распределении массы по кривой L,
= dSzyx
r
r
GF ),,(
3
по поверхности S,
=
V
dVzyx
r
r
GF ),,(
3
по объему V.
Здесь «элементарный» вектор напряженности силы сонаправлен
с радиус-вектором элементарной массы относительно положения точки, в которой определяется напряженность, а компоненты напряженности по осям
OzOyOx ,,
выражаются соответственно криволиней-
ным интегралом первого типа, поверхностным интегралом первого
типа, тройным интегралом от скалярной функции координат.
Аналогично находятся интегральные параметры, характеризующиеся распределением электрического заряда: полный электрический заряд объекта; напряженность электрического поля, созданного
распределением заряда.
Так, напряженность электрического поля, создаваемого пространственным зарядом, в векторной форме:
=
L
dlzyx
r
r
E ),,(
4
1
3
0
при распределении заряда по кри-
вой
L
,
-58-
= dSzyx
r
r
E ),,(
4
1
3
0
по поверхности S,
=
V
dVzyx
r
r
E ),,(
4
1
3
0
по объему V.
Подынтегральное выражение в таких интегралах содержит
плотность заряда. Можно также говорить о скалярном поле плотности
заряда.
Определение силового поля (
F, E
) интегрированием по источ-
нику является математическим выражением принципа суперпозиции.
Неочевидный пример применения принципа суперпозиции – магнитная задача: найти магнитное поле тока, идущего по проводнику K.
Здесь «элементарный» вектор магнитной индукции перпендикулярен
радиус-вектору элемента тока и направлению элемента
ds
. Компо-
ненты магнитной индукции по осям
OzOyOx ,,
выражаются криво-
линейным интегралом второго типа вдоль проводника. Тогда магнитное поле тока, идущего по проводнику K в векторной форме имеет вид
( )
0
3
4
K
ds r
I
B
r
=
.
Кинетическая энергия тела также вычисляется по принципу суперпозиции при известном пространственном распределении массы и
модуля скорости.
К интегральным задачам второй группы отнесем определение
характеристик самих векторных полей. Физические примеры векторных полей разнообразны. Так, электрическое поле системы зарядов
характеризуется в каждой точке вектором напряженности E; магнитное поле, создаваемое электрическим током, задается вектором маг-
нитной индукции B; поле тяготения, создаваемое системой масс, ха-
рактеризуется в каждой точке вектором силы тяготения
T
F
, действу-
ющей в этой точке на единичную массу; поле скоростей потока жидкости описывается в каждой точке вектором скорости .
Важнейшими интегральными характеристиками векторных полей по различным геометрическим объектам являются:
-59-
– циркуляция по кривой
( )
xyz
LL
a dx a dy a dz a dl
+ + =
(криволинейный интеграл второго типа);
– поток через поверхность
( )
x y z
a dydz a dzdx a dxdy a n dS
+ + =
(поверхностный интеграл второго типа).
Здесь пространственный объект часто рассматривается независимо от происхождения или действия физической векторной величины. Например, поток векторного поля обычно рассматривают через
воображаемую поверхность, окружающую рассматриваемую точку.
Работа силового поля при движении материальной точки по
кривой L равна циркуляции поля по L. Здесь пространственный объект
(траектория) не связан с источником поля, хотя и определяется действием поля на материальную точку.
Формально к этой группе можно отнести и магнитную задачу,
если магнитную индукцию рассматривать как «характеристику» векторного поля токов.
К самостоятельной группе задач можно отнести ситуацию, когда распределенное поле сил действует на протяженный объект. Часто
такие задачи сводятся к вычислению равнодействующей для силы,
распределенной по объекту.
Например, в задаче о жесткой замкнутой поверхности, подвергнутой всестороннему давлению, компоненты равнодействующей силы
находятся с помощью поверхностного интеграла второго типа:
−=−=
SS
x
pdydzdSpF
cos
,
−=−=
SS
y
pdzdxdSpF
cos
,
−=−=
SS
z
pdxdydSpF
cos
В векторной форме:
−=
S
dSnpF
. Здесь пространственная
субстанция является уже не источником силы, а сама становится объектом ее действия. Если сила давления имеет линейное распределение
-60-
в пространстве, то задача сводится к определенному интегралу. Заметим, что задача о силе притяжения материальной точки со стороны
распределенной массы может быть переформулирована: найти результирующую силу, с которой материальная точка воздействует на
протяженный материальный объект. По III Закону Ньютона, эти силы
равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому задачи первой и третьей группы в нашей классификации легко могут
переходить друг в друга в зависимости от того, считать протяженное
тело источником силового поля или объектом его действия. Существует большое разнообразие задач подобного типа в механике, гидродинамике, электродинамике.
Естественным обобщением рассмотренных видов задач станет
вычисление характеристики (циркуляции или потока) векторного поля, создаваемого протяженным объектом, по другому протяженному
объекту. Эти объекты могут быть согласованы между собой (замкнутый контур и натянутая на него поверхность; замкнутая поверхность и
ограниченный ею объем) или даже совпадать.
При решении подобных задач могут применяться формулы
Стокса и Остроградского–Гаусса, связывающие характеристики векторных полей с их источниками и структурой.
Например, пусть электрическое поле создается объемным заряженным телом
1
V
:
kzzjyyixxrdzdydx
r
r
E
V
)()()(,
4
1
121212111
3
0
1
−+−+−==
2
12
2
12
2
12
)()()( zzyyxxr −+−+−=
.
Циркуляция напряженности электрического поля по произволь-
ному контуру
2
L
равна нулю.
0
2
2
==
L
dlEJ
.
Также циркуляция напряженности электрического поля, создаваемого протяженным объектом произвольной формы, равна нулю.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]