Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Их приложения к механике, физике и теплотехнике. Учебно-методическое пособие
.pdf
-91-
Вариант 30
1. Вычислить работу векторного поля
{ , }F x y x y= − +
вдоль линии
3
:Г y x=
от точки А(0,0) до точки В(1,1).
2. Вычислить циркуляцию векторного поля
2
{ , 2 }F x y xy xy= + −
по контуру Г, состоящему из частей кривых
0, 1, 2y y x= = =
(направление обхода положительное).
3. Найти массу поверхности
22
: 2 , 0, 0 1G z x y x z= +
с поверхностной плотностью
4 3.z
=+
4. Найти поток векторного поля
{ , , }F yz xy z=
через часть
плоскости
: 2 3 2,P x y z+ − =
ограниченную координатными плос-
костями (нормаль к плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
5. Найти циркуляцию векторного поля
6 2 2 3
{2 3 , 2 , }a x y x y z= − − −
вдоль контура
22
1
: 1, , 0,
2
Г x y x y+ =
лежащего в плоскости
z = 0, в положительном направлении относительно орта k.
6. Вычислить поток векторного поля
2 2 2 2
1 1 1
5, , 5
2 2 2
a x x z z= + + −
через замкнутую поверхность
: 3, 0, 0, 0x y z x y z + + = = = =
в направлении внешней нормали.
7. Найти дивергенцию и ротор векторного поля
,,a c grad u=
если
2 , .c i j k u xz yz xy= − + = − +
-92-
8. Проверить, является ли векторное поле
2 3 2 2 3
2
2
(3 3 ) 3
1
z
a x y x z i xy j x k
z
= + + + + +
+
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и, предполагая, что в начале координат и = 0.
-93-
Список литературы
1. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисле-
ние / Н. С. Пискунов. – М.: Наука, 1985.– Т. 2.– 560 с.
2. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах /
П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевноков. – М.: Высшая школа,1986. –
Ч. 2. – 415 с.
3. Руководство к решению задач по высшей математике. В 2 ч. /
Е. Н. Гурский [и др.]. – М.: Высшая школа, 1990. – 400 с.
-94-
Содержание
1. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ .................................................... 3
1.1. Поверхностные интегралы первого рода ......................................... 3
1.1.1. Свойства поверхностного интеграла первого рода ...................... 4
1.1.2. Вычисление поверхностных интегралов первого рода ................ 4
1.2. Поверхностные интегралы второго рода .......................................... 7
1.2.1. Вычисление поверхностных интегралов второго рода ................ 9
1.2.2. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода ........ 11
1.2.3. Формула Остроградского–Гаусса ............................................... 13
2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ ............................................................ 16
2.1. Скалярное поле ................................................................................. 16
2.1.1. Определение скалярного поля. Поверхности уровня ................. 16
2.1.2. Производная по направлению. Градиент .................................... 17
2.1.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ...................... 19
2.2. Векторное поле ................................................................................. 23
2.2.1 Поток векторного поля ................................................................... 23
2.2.2. Вычисление потока векторного поля методом
проектирования на три координатные плоскости ............................... 25
2.2.3. Вычисление потока векторного поля с помощью
криволинейных координат ..................................................................... 28
2.2.4. Дивергенция векторного поля ...................................................... 29
2.2.5. Теорема Остроградского–Гаусса ................................................. 30
2.2.6. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса .......................... 31
3. ПРИЛОЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
К МЕХАНИКЕ И ТЕПЛОТЕХНИКЕ .................................................... 35
3.1. Применения поверхностных интегралов первого рода
в механике ................................................................................................ 35
3.2. Физические приложения поверхностного интеграла
второго типа ............................................................................................. 38
3.3. Применения поверхностных интегралов первого рода
в электростатике ...................................................................................... 41
3.4. Решение физических задач с помощью поверхностных
интегралов второго типа ......................................................................... 50
3.5. Обобщение и систематизация физических
приложений интегралов различного типа ............................................. 56
Варианты расчетных заданий ................................................................. 61
Список литературы .................................................................................. 93
-95-
УЧЕБНОЕ ИЗДАН ИЕ
Дильбар Наильевна Бикмухаметова
Рустем Фахраддинович Ахвердиев
Алсу Рафаэлевна Миндубаева
Лидия Владимировна Веселова
Генута Браниславовна Гурьянова
Ольга Николаевна Тюленева
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.
ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ,
ФИЗИКЕ И ТЕПЛОТЕХНИКЕ
Ответственный за выпуск Г. Ф. Захарова
-96-
Подписано в печать 07.06.2019
Формат 6084 1/16
Бумага офсетная
Печать ризографическая
5,58 усл. печ. л.
6,0 уч.-изд. л.
Тираж 100 экз.
Заказ
Издательство Казанского национального исследовательского
технологического университета
Отпечатано в офсетной лаборатории Казанского национального
исследовательского технологического университета
420015, Казань, К. Маркса, 68
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]