Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Их приложения к механике, физике и теплотехнике. Учебно-методическое пособие
.pdf
-31-
2.2.6. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса
Ротором (или вихрем) векторного поля a называется векторная
функция
k
y
P
x
Q
j
x
R
z
P
i
z
Q
y
R
RQP
zyx
kji
arot
−
+
−
+
−
=
=
.
Ротор характеризует завихренность поля
a
в данной точке.
Для векторного поля
( ) ( ) ( ) ( )
kzyxRjzyxQizyxPzyxF ,,,, ++=
интеграл
=++
LL
dlnFdzRdyQdxP
, взятый по кривой
L
в пределах
рассматриваемой области , называется линейным интегралом от
вектора
F
вдоль кривой
L
. В случае замкнутой кривой этот интеграл
называется циркуляцией вектора
F
вдоль L.
Ротор
Frot
связан с циркуляцией вектора формулой Стокса
=
SL
dsnFrotdlnF
,
где
−S
некоторая поверхность, ограниченная замкнутым конту-
ром
L
, смысл которой в том, что циркуляция вектора F вдоль за-
мкнутого контура
L
равна потоку вихря (ротора) через поверхность,
ограниченную этим контуром.
В скалярной форме формула Стокса имеет вид
( ) ( ) ( )
=++
L
dzzyxRdyzyxQdxzyxP ,,,
−
+
−
+
−
=
S
dxdy
y
P
x
Q
dzdx
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
R
.
Физический смысл формул Стокса и Остроградского–Гаусса име-
ют важное применение в механике, гидродинамике, электродинамике.
-32-
Физический смысл формулы Стокса: циркуляция векторного
поля
a
вдоль замкнутого контура равна потоку ротора векторного
поля
a
через поверхность, натянутую на этот контур.
Чтобы циркуляция была отлична от нуля для малого контура,
окружающего некоторую точку поверхности, поле
a
должно повора-
чиваться (или иметь завихрение) вблизи этой точки. Из формулы Сток-
са следует, что тогда и
arot
вблизи этой точки будет отличен от нуля.
Это наглядно показывает, что
arot
характеризует завихрение поля a в
данной точке. Отсюда и происходит название «вихрь», или «ротор».
Заметим, смысл формул Стокса и Остроградского–Гаусса уни-
версален и не зависит от физической природы векторной величины
a
.
Строго говоря, в этих формулах не заключено никакого физического
закона; они лишь представляют собой удобные инвариантные преобразования, широко применяющиеся в теоретической физике.
Векторные и скалярные поля могут порождать друг друга. Так, ска-
лярное поле
( )
zyxuu ,,=
порождает векторное поле (поле градиента):
k
z
u
j
y
u
i
x
u
ugradF
+
+
==
,
векторное поле
( ) ( ) ( ) ( )
kzyxRjzyxQizyxPzyxF ,,,, ++=
порождает скалярное поле
z
R
y
Q
x
P
Fdivu
+
+
==
и векторное
(вихревое) поле:
RQP
zyx
kji
Frot
=
.
Поле F, для которого
0=Fdiv
, называется соленоидальным.
В таком поле поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.
Поле F, для которого
0=Frot
, называется потенциальным.
Поле градиента некоторого скалярного поля
u
является потенциаль-
ным полем, функция
u
в этом случае называется потенциалом век-
торного поля
F
.
-33-
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти силу притяжения, действующую на точку
( )
0,0,2A
со сто-
роны сферы радиуса 1 с плотностью распределения масс
( ) ( )
3
22
2
2,,
++−= zyxzyx
.
2. Найти поток векторного поля
( ) ( )
kyzjyxixF 224 ++−+=
через
внешнюю сторону поверхности
25
222
=++ zyx
.
3. Найти поток векторного поля
( ) ( )
kzjyxiyxF +++−= 2
через
полную поверхность пирамиды
0,0,0/42 ====+− zyxzyx
.
4. Найти поток векторного поля
( )
kzjyiyxF ++−=22
через пол-
ную поверхность цилиндра
1,0,1
22
===+ zzyx
.
5. Найти поток векторного поля
( ) ( )
kxjzyiyxF ++++=
через бо-
ковую поверхность цилиндра
2,0,4
22
===+ zzyx
.
6. Найти поток векторного поля
kzjyixF ++=
через боковую по-
верхность конуса
22
yxz +=
, ограниченного плоскостью
1=z
.
7. Найти поток векторного поля
kzjyixF
222
++=
через полную
поверхность внешней стороны куба
azayax 0,0,0
.
8. Найти поток векторного поля
( ) ( ) ( )
kzyjzyxiyxF +++−+−= 22
через треугольник
ABC
, где
( ) ( ) ( )
3,0,0,0,2,0,0,0,1 CBA
.
9. Найти поток векторного поля
( )
kxzjyxixyF +−+= 22
через
внутреннюю сторону поверхности сферы
16
222
=++ zyx
.
10. Найти циркуляцию векторного поля
( ) ( )
kzjyxizyxF 452 +−++−=
по контуру
0,422==+ zyx
.
11. Найти циркуляцию векторного поля
( ) ( ) ( )
kxzjzyizyxF 2322 −+−++−=
по контуру
0,2
22
==+ yzzx
.
-34-
12. Найти циркуляцию векторного поля
kzxjyzixyF ++=
по контуру
0,2
22
=−=+ xyzy
.
13. Найти циркуляцию векторного поля
kzjyixF 2−+=
по конту-
ру треугольника с вершинами
( ) ( ) ( )
1,0,0,0,1,0,0,0,1 CBA −
.
14. Найти циркуляцию векторного поля
( ) ( ) ( )
kyxjzyizyxF −+++−+= 2
по контуру треугольника с вершинами
( ) ( ) ( )
4,0,0,0,3,0,0,0,2 CBA −
.
15. Найти циркуляцию векторного поля
( ) ( ) ( )
kyxjzxizyF +++++=
по окружности
0,
2222
=++=++ zyxazyx
, пробегаемой против
часовой стрелки, если смотреть со стороны положительной оси
ox
.
16. Найти циркуляцию векторного поля
jxiyF
+−=
по окруж-
ности
taytax sin,cos ==
в положительном направлении.
17. Найти поток радиуса-вектора точки
( )
zyxM ,,
через внешнюю
сторону поверхности прямого кругового цилиндра радиуса
R
, если
начало координат лежит в центре нижнего основания цилиндра,
−h
его высота.
18. Показать, что
( )
0=gradurot
.
19. Найти
( )
Frotdiv
.
20. Найти
( )
Fdivgrad
.
Замечание. Если в задаче не указано направление обхода контура, то
считается, что контур обходится в положительном направлении, т. е.
против часовой стрелки.
Ответы
1.
3
4
. 2.
3
2000
. 3.
3
64
. 4.
3
. 5.
16
. 6. 0 . 7.
4
3a
. 8.
3
7
−
.
9.
3
512
. 10.
24
. 11.
3
. 12. . 13. 0. 14. 23. 15. 0. 16.
2
2 a
.
17.
hR
2
.
-35-
3. ПРИЛОЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
К МЕХАНИКЕ И ТЕПЛОТЕХНИКЕ
3.1. Применения поверхностных интегралов первого рода
в механике
С помощью поверхностного интеграла первого рода определя-
ются те же механические параметры, отнесенные к материальной поверхности, что и для материальной кривой и объемного тела: масса
поверхности, статические моменты, координаты центра масс поверхности, моменты инерции, сила притяжения материальной точки материальной поверхностью.
Пусть
– материальная поверхность с поверхностной плотно-
стью
),,( zyx
в точке
),,( zyxM
. Тогда механические парамет-
ры данной поверхности определяются следующим образом.
1. Масса поверхности:
dSzyxM
= ),,(
.
2. Статические моменты поверхности относительно координат-
ных плоскостей
OyzOxzOxy ,,
:
dSzyxzM
xy
= ),,(
,
dSzyxyM
xz
= ),,(
,
dSzyxxM
yz
= ),,(
.
3. Координаты центра масс поверхности:
M
M
xyz=
0
,
M
M
yxz=
0
,
M
M
zxy=
0
.
4. Моменты инерции поверхности относительно осей
Ox
,
Oy
, Oz:
( )
dSzyxzyI
x
+= ),,(
22
( )
dSzyxzxI
y
+= ),,(
22
( )
dSzyxyxI
z
+= ),,(
22
.
5. Моменты инерции поверхности относительно плоскостей
Oyz
,
Oxz
,
Oxy
:
dSzyxxI
yz
= ),,(
2
dSzyxyI
xz
= ),,(
2
dSzyxzI
xy
= ),,(
2
.
-36-
6. Момент инерции поверхности относительно начала коорди-
нат:
( )
dSzyxzyxI
++= ),,(
222
0
.
7. Сила притяжения материальной точки
( )
0000
,, zyxM
массы
0
m
материальной поверхностью
:
( )
zyx
FFFF ,,=
,
где
dSzyx
r
xx
GmF
x
−
= ),,(
3
0
0
,
dSzyx
r
yy
GmF
y
−
= ),,(
3
0
0
,
dSzyx
r
zz
GmF
z
−
= ),,(
3
0
0
,
( )
000
,, zzyyxxr −−−=
– радиус-вектор точки поверхности отно-
сительно точки
0
M
,
),,( zyx
– поверхностная плотность , G – гра-
витационная постоянная.
Пример 1. Найти массу поверхности сферы, если ее поверхност-
ная плотность в каждой точке равна расстоянию этой точки от вертикального диаметра.
Решение. Взяв за начало координат центр сферы и направив ось
Oz
по вертикали, перейдем к сферическим координатам и
, по-
лагая
cossinRx =
,
sinsinRy =
,
cosRz =
, где
R
– ради-
ус сферы. Тогда
ddRdS sin
2
=
,
sin
22
Ryx =+=
– по-
верхностная плотность.
Тогда масса поверхности:
32
2
0 0
23
sin RddRdSm
S
===
.
Пример 2. Найти положение центра масс верхней полусферы,
если ее поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию
этой точки от вертикального диаметра.
Решение. Если ось
Oz
направить по вертикали, то по соображе-
ниям симметрии станет ясно, что
0==mmyx
.
-37-
Вычислим статический момент:
4
2
0 0
24
3
2
cossin),,( RddRdSzyxzM
S
xy
===
.
Общая масса сферы найдена в предыдущей задаче
32
Rm=
,
следовательно,
32
2/1
2
1
Rm=
. Значит,
R
m
M
z
xy
m
3
4
2/1
==
.
Итак, координаты центра полусферы:
R
3
4
,0,0
.
Пример 3. Вычислить момент инерции относительно оси Oz
однородной сферической оболочки
2222
azyx =++
,
0z
плот-
ности
0
.
Решение. Имеем
( )
dSyxI
z
+=
22
0
. Напишем параметри-
ческое уравнение данной полусферы:
uaux sincos),(
==
,
uauy sinsin),(
==
,
uauz cos),( ==
2
0
u
,
20
.
222222222
222
sincossincoscos),(),(),( aauauauuuE
u
uu
=++=++=
uauauauuuG
22222222
222
sinsincossinsin),(),(),( =+=++=
0sinsincoscossinsincoscos
22
=+−=++= uuauuaF
uuu
,
откуда
uaFEG sin
22
=−
.
Выразим подынтегральную функцию в переменных
,u
; полу-
чим
uayx sin
222
=+
. Вычисляем интеграл
z
I
по формуле (4.8):
4
0
2
0
2/
0
34
0
222
0
3
4
sinsinsin aduduaduduauaI
g
z
===
.
Пример 4. Дан прямой круговой цилиндр радиуса R и высоты
h
. Предполагая его боковую поверхность однородной
)( const=
,
найти притяжение, испытываемое со стороны поверхности центром
основания.
-38-
Решение. Если принять центр основания за начало координат,
а ось цилиндра – за ось
Oz
, то очевидно
0==yxFF
. Представив
цилиндр параметрически:
cosRx =
,
sinRy =
,
zz =
, имеем
RdzddS =
, так что
( )
+
−=
+
=
22
2
0 0
2/3
22
11
2
hR
R
R
zR
zRdzd
F
z
.
Сила притяжения направлена вертикально вверх.
3.2. Физические приложения поверхностного интеграла
второго типа
Уравнения Максвелла – фундаментальные уравнения классиче-
ской электродинамики, описывающие электромагнитные явления в
любой среде (и в вакууме). Они связывают величины, характеризующие электромагнитное поле, т. е. напряженность электрического поля
E
, электрическую индукцию D, напряженность магнитного поля
H
и магнитную индукцию
B
с источниками поля, то есть с распреде-
лением в пространстве электрических зарядов и токов.
Электрические и магнитные свойства среды описываются с
помощью трех величин:
– относительная диэлектрическая проница-
емость,
– относительная магнитная проницаемость, – удельная
проводимость среды.
1. Закон электромагнитной индукции в интегральной форме
( )
t
dlE
L
−=
показывает, что переменное магнитное поле возбуждает вихревое
электрическое поле. Циркуляция напряженности
E
этого поля вдоль
замкнутого контура
L
проводника численно равна и противоположна
по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность,
ограниченную контуром. Здесь
dSB
S
n
=
– магнитный поток сквозь
поверхность, ограниченную этим контуром.
-39-
Из формулы Стокса
( ) ( )
dSnErotdlE
SL
=
можно получить
первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме:
t
B
Erot
−=
.
2. Закон полного тока. Циркуляция вектора напряженности маг-
нитного поля постоянного электрического тока вдоль замкнутого контура пропорциональна алгебраической сумме токов, охватываемых
этим контуром:
( )
=
k
k
L
IdlH
.
Ток считается положительным, если из конца вектора плотности тока, направленного по оси проводника в сторону тока, обход контура
L
происходит против часовой стрелки. Иначе токи считаются
отрицательными. Токи, которые не охватываются контуром L, не да-
ют вклада и циркуляцию
H
.
Для магнитного поля в вакууме закон полного тока можно записать в следующей форме:
( )
=
k
k
L
IdlB
0
,
где
( )
LdlB
– циркуляция вектора магнитной индукции
B
вдоль за-
мкнутого контура
L
.
Закон полного тока утверждает, что магнитное поле создается
упорядоченно движущимися электрическими зарядами – токами проводимости. Согласно Максвеллу, источником возникновения вихревого магнитного поля является также переменное электрическое поле,
магнитное действие которого характеризуется током смещения.
Плотность тока смещения:
t
D
j
CM
=
.
-40-
Тогда ток смещения через произвольную поверхность:
t
dSnD
t
dSn
t
D
dSnjI
D
SSS
CM
CM
=
=
==
, где
=
S
D
dSnD
– поток вектора электрического смещения через по-
верхность S.
Обобщенный закон полного тока. Циркуляция вектора напря-
женности магнитного поля электрического тока вдоль замкнутого
контура пропорциональна алгебраической сумме токов, охватываемых
этим контуром, и тока смещения:
( )
+=
k
CMk
L
IIdlH
.
Это второе уравнение Максвелла в интегральной форме.
С помощью формулы Стокса
( )
dSnHrotdlH
SL
=
и соот-
ношения для полного тока
( )
dSnjjII
S
CM
k
CMk
+=+
, где
j
–
плотность тока проводимости,
t
D
j
CM
=
– смещения, можно запи-
сать второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме:
t
D
jHrot
+=
.
3. Теорема Остроградского–Гаусса. Поток смещения сквозь
произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме свободных электрических зарядов, охватываемых этой
поверхностью:
==
k
k
S
nD
qdSD
.
Поток электрического смещения
D
сквозь произвольную
замкнутую поверхность, не охватывающую свободных зарядов, равен
нулю.
Теорема Остроградского–Гаусса для напряженности электрического поля:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]