Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического анализа (модуль «Определенный интеграл и несобственные интегралы»). Учебное пособие
.pdf
71
Функция
xyy
0x
2
3
xy
xxxy
2
3
2
3
2
1
2
3
xy
4
9
11
2
4
0
2
3
4
0
2
4
9
1
3
2
9
4
4
9
11 xdxxdxyl
b
a
11010
27
8
14
4
9
1
27
8
2
3
11010
27
8
l
OABCO
32
2xy
20
22
yx
AO
l
BA
l
BA
AO
lll
2
x
y
0
2524
A
B
C
,2
,20
32
22
xy
yx
4;2A
4;2 C
определена для всех
. Поскольку точки, указанные в
условии задачи, лежат в первой четверти, то
а
.
Следовательно,
(ед.).
Ответ:
(ед.).
Задача 3. Вычислить длину периметра фигуры
участков кривых
и
(см. рисунок 27).
. Отсюда
,
, состоящого из
Решение: для вычисления длины дуги достаточно вычислить длины дуг
в силу симметрии фигуры относительно оси Ox, тогда
.
Рисунок 27
и
Найдем точки пересечения заданых кривых, решив систему уравнений
получим
,
.
72
Найдем длину дуги
AO
2
2
3
1,2
2
3
,2 yxyxy
x
2
9
1
11010
27
4
2
9
1
2
0
dxxl
AO
BA
l
20
2arctg
220arctglBA
25411010
27
8
arctgl
25411010
27
8
arctgl
sin2
dl
2
1
22
0 0
22
2
2
cos2sin2sin2sin2
2
dd
l
02 d
22
0
22l
22l
3
sin
3
a
.3
3
cos
3
sin
3
1
3
cos
3
sin3
22
aa
dadaal
3
0
246
3
0
2
2
2
3
3
cos
3
sin
3
sin
3
cos
3
sin
3
sin
. Для нее
.
Следовательно,
Так как
центральному углу
Окончательно получаем, что
Ответ:
V Вычисление длин дуг плоских кривых в полярной системе координат
Задача 1.Найти длину дуги кривой
Решение: для решения задачи воспользуемся формулой
.
есть длина дуги окружности радиуса
, то
.
(ед.).
.
, соответствующей
(ед.).
. В
силу симметрии фигуры, ограниченной данной кривой, найдем сначала половину
длины кривой:
(ед.).
Тогда
Ответ:
Задача 2. Найти длину всей кривой
Решение: так как
(ед.).
(ед.).
при изменении от 0 до
, то длина дуги
73
2
3
3
2
sin
2
3
23
2
cos1
2
1
3
sin
3
0
3
0
3
0
2
aa
dada
(ед.).
2
3 al
R
22
xRy
Ox
RxR
22
yRx
Oy
2
1
2
1
2
1
2
122
x
x
x
x
x
x
dxyydlydSS
22
22
2
2
22
22
11,
xR
R
xR
x
y
xR
x
xRy
2
22
22
4222 RxRRdxdx
xR
R
xRS
R
R
R
R
R
R
x
22
yRx
22
22
2
2
22
22
11,
yR
R
yR
y
x
yR
y
yRx
2
22
22
2
4212 Rdy
yR
R
yRdyxxS
R
R
R
R
x
.sin
,cos
tRy
tRx
2
0
22
22
sincossin22
2
1
2
1
dttRtRtRdtyxyS
t
t
x
Ответ:
(ед.).
VI Вычисление площади поверхности вращения
Задача 1. Вычислить площадь поверхности шара радиуса
как тело вращения.
Решение: поверхность шара образуется вращением дуги кривой
(полуокружности) вокруг оси
(полуокружности) вокруг оси
Применим формулу
, рассматривая его
,
или дуги кривой
.
, найдем
,
(или
Если окружность задана параметрическими уравнениями
то, применив соответствующую формулу, получим:
.
)
.
74
2
0
2
2
0
2cos2sin2 RtRRdttR
(кв. ед.). Следовательно
2
4 RS
x
Rr
2
0
2
0
2
2
2
2
sin2sin2 dRRRdrrrS
x
,2cos2
2
2
0
2
RR
2
4 RS
x
2
4 RS
x
xO
2
2
39 xxy
x
y
0
3
ds
y
xxy 3
3
1
30 x
2
1
2
1
2
1
2
122
x
x
x
x
x
x
dxyydlydSS
x
x
x
x
y
x
x
xxy
2
1
4
1
11,
2
1
3
3
1
2
2
3
0
3
0
3
0
2
32
3
13
3
2
1
3
3
1
2 dxxxdxxxdx
x
x
xxS
x
(кв. ед.).
Если окружность задана в полярных координатах уравнением
применяя формул
Ответ:
Задача 2. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси
петли кривой
т.е.
(кв. ед.).
(см. рисунок 28).
, то
(кв. ед.).
Решение: запишем уравнение верхней части кривой
.
Применим формулу
Находим искомую площадь:
Рисунок 28
при
, найдем
.
75
33
33
3
0
2
3
xx
x
(кв. ед.).
3S
Ox
OABCO
2
xy
2
yx
2
2
,yxxy
0;0O
1;1B
0
A
B
C
x
y
1
1
21
SSS
1
S
OCB
2
S
OAB
1
S
2
yx
xy
x
y
2
1
dx
x
dx
x
xS
1
0
1
0
1
2
14
2
4
1
12
Ответ:
Задача 3. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг
оси
замкнутого контура
Решение:
Найдем точки пересечения заданных парабол, для этого составим систему
уравнений
(кв. ед.).
, образованного кривыми
решим ее и получим
и
и
(см. рисунок 29).
.
Искомая площадь
вращением дуги
.
Вычислим площадь
. Тогда
, а
Рисунок 29
, где
- площадь поверхности, образованной
- площадь поверхности, образованной вращением дуги
. Для этого из уравнения
получаем
и
76
155
63
2
44
1
51
10
4
1
4
1
14
5
1
2
3
5
1
22
11
tdtt
tx
tx
dtdx
t
x
tx
(кв.ед.).
2
S
2
xy
xy 2
tdttsht
tx
tx
dttdxtx
dxxxS ch
2
1
1sh
4
1
2
2Arsh1
00
ch
2
1
,sh
2
1
412
2Arsh
0
22
22
11
1
0
22
2
2Arsh
0
2
2Arsh
0
2Arsh
0
22
12ch
4
1
4
12ch
2
1
12ch
2
1
4
chsh
4
dttdtttdttt
2Arsh
0
2Arsh
0
2Arsh
0
4sh
4
1
32
14ch
32
114ch
2
1
16
ttdttdtt
52ln
32
1
16
59
52ln
32
1
16
59
6
155
21
SSS
6
52ln
3248
567
6
52ln
3248
567
S
Теперь вычислим площадь
(кв.ед.).
. Из уравнения
получаем
и
Следовательно,
Ответ:
4.9 Вопросы для самоконтроля
вычислению некоторой величины.
1. Изложите общую схему применения определенного интеграла к
криволинейной трапеции в декартовой системе координат.
2. С помощью общей схемы выведите формулу для отыскания площади
(кв. ед.).
(кв. ед.).
77
3. Выведите формулу для отыскания площади криволинейного сектора в
3,1,082 yyyx
4
7
,0,sin2,sin xxxyxy
x
y1
1,3 xx
xy
2
9x
322 xxy
.0,2,0 yxx
xey2
1,
2
1
xx
,yx
4,1 yy
25
22
yx
052 y
.0252 y
2
5 xy
.1 xy
,
3
x
y
04 yx
2
xy
xy
2
xxy 82
12182 xxy
.sin23
,cos32
ty
tx
.sin
,cos
tby
tax
полярной системе координат.
4. Выведите формулу для отыскания объёма тела вращения.
5.Выведите формулы для отыскания длины дуги в декартовой и полярной
системах координат.
6. Выведите формулу для отыскания площади поверхности вращения.
4.10 Задачи для самостоятельного решения
I. Найти площади фигур, ограниченных линиями:
1.
2.
3. ветвью гиперболы
4. параболой
и прямой
5. параболой
6. кривой
7. кривой
, прямыми
8. окружностью
9.
и
и осью ординат.
, прямыми
и прямыми
и осью ординат.
и прямыми
.
и осью абсцисс.
.
и осью абсцисс.
и
10. части гиперболы
11. параболами
и
12. параболами
13.
14. эллипсом
отсекаемой от нее прямой
.
и
.
.
78
15. лемнискатой Бернулли
2cos
22
ar
2
4 xxy
xy ln
Ox
ex
3
xy
Oy
8y
3sina
3
cosa
0,cossin
2
aa
3cos2a
a
cos32,sin2
.cos4,cos14
0,4,1,6 yxxxy
Oy
00,0,
xyxey
x
322
,4 xyxy
Ox
ayayx 2,
222
ayxaxay 2,0,
2
1
2
2
2
2
b
y
a
x
Oy
222
ayx
4,0,1,
3
yxxxy
.4y
122 yx
2x
ty
tx
3
3
sin
cos
Ox
.
II Найти площадь плоских фигур в полярной системе координат
1. ограниченную параболой
2. ограниченную кривой
3. ограниченную кривой
, осью
, осью
4. ограниченную кривой
5. ограниченную кривой
6. ограниченную замкнутой кривой
7. ограниченную кривой
8. ограниченную кривыми
9. ограниченную кривыми
и осью абсцисс.
и прямой
и прямой
.
.
и лежащую вне круга
.
.
.
.
.
III Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной
линиями:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
вокруг оси Ox и
вокруг оси
вокруг оси Oy.
вокруг оси
вокруг оси Oy.
вокруг прямой
вокруг прямой
.
вокруг оси Oy.
.
вокруг оси Ox.
.
.
10.
вокруг оси
.
79
IV Найти длину дуги плоской кривой:
2
3
2
2
xy
Ox
2
3
3
2
yx
0y
3y
teytex
tt
cos,sin
0t
2
t
0;
2
,sin16r
xxy 0,sin
,
2
4
,
3
2
3
t
y
t
x
220 t
Ox
cos110r
1.
2.
3.
4.
, отсеченной осью
от
до
от
.
.
до
.
.
V Вычислить площадь поверхности вращения:
1. дуги синусоиды
2. дуги кривой
вокруг оси Ox.
вокруг оси
.
3. кардиоида
вокруг полярной оси.
80
5 Уравнения некоторых кривых в полярных координатах
M
OM
a2
M
O
90OMD
OMD
cos2a
Рассмотрим уравнения некоторых кривых, которые удобнее задавать в
полярной системе координат, чем в декартовой. Многие из этих кривых находят
широкое применение в механике. Они интересны и в историческом отношении.
5.1 Окружность радиуса a с центром на полярной оси, проходящая через
полюс
Координатами точки
30).
; из прямоугольного треугольника
выглядит уравнение рассматриваемой окружности в полярных координатах.
будут угол и длина отрезка
Рисунок 30
получим:
(см. рисунок
. Так
5.2 Окружность радиуса a с центром в полюсе
Пусть теперь полюс находится в центре окружности (см. рисунок 31). Как
будет выглядеть уравнение окружности в этом случае?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]