Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического анализа (модуль «Определенный интеграл и несобственные интегралы»). Учебное пособие
.pdf
31
4. Объясните, как с помощью интегральной теоремы о среднем и следствии из
5
4
3
;4 dxx
1
0
4
;
13x
dx
3
0
3
;13 dxx
5
4
2
;16dxxx
5
2
3
2
;
2x
dx
;
13
22
5
2
x
xdx
;
25
0
1
x
dx
2
0
3
;sin xdxx
2,0
0
5
;dxxe
x
2
0
2cos xdxe
x
1
0
2
;4 dxx
2
0
cos310 x
dx
нее, можно оценивать и сравнивать определенные интегралы.
2.7 Задачи для самостоятельного решения
Вычислите следующие определенные интегралы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Оценить интеграл:
7.
8.
9.
10.
.
11.
12.
.
32
3 Интеграл Римана и
xfy
ba;
RI
n
i
ii
n
xfI1lim
xfy
ba;
xfy
ba;
n
i
ii
n
xfI
n
1
0
lim
суммы Дарбу. Определенный интеграл как функция верхнего
предела
Необходимое условие интегрируемости функций. Определение верхней и
нижней сумм Дарбу. Свойства сумм Дарбу. Достаточное условие существования
определенного интеграла. Классы интегрируемых функций. Определенный интеграл
как функция верхнего предела.
3.1 Необходимое условие интегрируемости функции. Интеграл Римана и
суммы Дарбу
Наша следующая цель – выяснить условия существования определенного
интеграла Римана.
Напомним, что функция
отрезке
, если существует конечный предел
(Римановых) сумм на этом отрезке:
Этот предел называется интегралом Римана.
Сформулируем и докажем теорему, дающую нам необходимое условие
интегрируемости функции.
Теорема 1. Если функция
ограничена на этом отрезке.
Доказательство: доказательство этой теоремы проведем «от противного».
называется интегрируемой по Риману на
ее интегральных
.
интегрируема на отрезке
, то она
Предположим, что функция
интегрируема на отрезке
ограничена на нем. По определению интегрируемой функции, существует конечный
предел
.
, но не
33
По определению предела это значит, что для всякого
0
0
ix
ni
ii
xfI
1
n
xf
ba;
ba;
ii
xx ,
1
xf
iii
xx ,
1
ii
xf
a b
x
y
xfy
ba;
найдется такое
, что если
Отсюда следует, что множество интегральных сумм, для которых
ограничено. Выберем одну из таких интегральных сумм. Поскольку, по
предположению, функция
отрезков, на которые разбит отрезок
отрезок
соответствующего выбора точки
сумме можно сделать сколь угодно большим по абсолютной величине. Но вместе с
этим слагаемым сколь угодно большой по абсолютной величине станет и
интегральная сумма (см. рисунок 3).
, на котором функция
, то
.
не ограничена на отрезке
, обязательно найдется такой частичный
окажется неограниченной. Путем
слагаемое
, среди частичных
в интегральной
,
Рисунок 3
Но интегральная сумма выбиралась из ограниченного множества
интегральных сумм, значит, она не может быть сколь угодно большой по
абсолютной величине. Возникло противоречие, которое доказывает утверждение
теоремы.
Таким образом, функция
на этом отрезке, что и требовалось доказать.
, интегрируемая на отрезке
, ограничена
34
Однако ограниченность функции на отрезке - условие необходимое, но не
xfy
ba;
M
Mxfm
bxa
ba;
i
m
i
M
xf
ii
xx ;
1
n
i
ii
xms
1
n
i
ii
xMS
1
xf
xf
i
ii
mf
ii
Mf
ax
bx
Ox
xf
достаточное для ее интегрируемости.
Рассмотрим теперь функцию
такой функции существуют такие положительные числа m и
если
всяком разбиении отрезка
Обозначим через
границы значений функций
. Функция будет ограниченной и на каждом из частичных отрезков при
.
и
соответственно точные нижнюю и верхнюю
в частичном отрезке
, ограниченную на отрезке
, что
и составим две
. Для
суммы:
и
.
Эти суммы называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу.2
В частном случае, когда функция
непрерывна, нижняя и верхняя суммы
Дарбу являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм,
,
соответствующих данному разбиению. В этом случае функция
в каждом
частичном отрезке достигает своих точных нижней и верхней границ, и точки
можно выбрать так, чтобы выполнялось равенство
или
. И
тогда можно говорить о геометрическом смысле сумм Дарбу: нижней сумме
соответствует ступенчатая фигура, содержащаяся в криволинейной трапеции,
ограниченной прямыми
и
, осью
и графиком функции
. Верхней
сумме Дарбу соответствует ступенчатая фигура, содержащая в себе эту
криволинейную трапецию (см. рисунок 4).
*
Гастон Дарбу (1842-1917) – французский математик, работы которого были посвящены математическому анализу,
дифференциальным уравнениям, дифференциальной геометрии, аналитической механике.
35
a b
x
y
0
iii
Mfm
0
ii
xx
iiiiii
xMxfxm
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
ii
xMxfxm
111
Ss
s
i
i
i
f
i
m
i
M
S
ba;
Рисунок 4
В общем случае из самого определения верхней и нижней границ для
множества значений функции следует выполнение неравенств
Умножив все члены обоих этих неравенств на
; просуммировав все такие произведения по
неравенства для сумм:
При фиксированном разбиении соответствующие ему суммы
постоянными числами, в то время как
произвольности выбора точек
можно сделать
сколь угодно близкими как к
. Но легко видеть, что за счет выбора точек
останется переменной величиной ввиду
, так и к
можно сделать сколь угодно близкой к s или
, или
, а значит, и сумму
. А тогда предыдущие
, получим:
, получим
.
и S будут
неравенства приводят к следующему общему замечанию: при данном разбиении
промежутка
суммы Дарбу s и S служат, соответственно, точной нижней и
.
точной верхней границами для всех интегральных сумм, соответствующих этому
разбиению.
С помощью сумм Дарбу мы выясним условия, при которых римановы суммы
имеют конечный предел, т.е. условия существования определенного интеграла. Для
этого потребуется доказать некоторые свойства сумм Дарбу.
36
Свойства сумм Дарбу.
ba;
x
k
x
1k
x
1
kk
xxx
S
S
1;kk
xx
kkk
xxM
1
S
)(
1
xxMxxM
k
k
k
k
k
M
k
M
xf
xx
k
;
1;k
xx
1;kk
xx
k
k
MM
k
k
MM
kkk
k
xxMxxM
xxMxxM
kkkk
k
11
kkkk
k
k
k
xxMxxMxxM
11
SS
ba;
1
s
1
S
ba;
2
s
2
S
21
Ss
3
s
3
S
Свойство 1. Если к имеющимся точками разбиения отрезка
добавить
новые точки, то нижняя сумма Дарбу может от этого только возрасти, а верхняя –
только уменьшиться.
Доказательство: для доказательства этого свойства достаточно ограничиться
присоединением к уже имеющимся точкам разбиения отрезка еще одной точки
Пусть эта точка попадает между точками
Если через
обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней верхней суммы S
она будет отличаться только тем, что в сумме
слагаемое
, а в новой сумме
этому промежутку соответствует уже
сумма двух слагаемых:
верхние границы значений функции
соответственно в промежутках
. Так как эти промежутки являются частями промежутка
и
, так что
промежутку
, где
и
отвечало
- это точные
, ясно, что
.
и
.
,
, так что
.
Складывая эти неравенства почленно, получим:
.
Отсюда и следует, что
. Что и требовалось доказать.
Свойство 2. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней
суммы, хотя бы отвечающей и другому разбиению промежутка.
Доказательство: разобьем промежуток
и составим для этого разбиения суммы Дарбу
произвольным образом на части
и
.
Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с первым, разбиение
промежутка
. Ему также будут соответствовать его суммы Дарбу,
и
.
,
Требуется доказать, что
. Для доказательства объединим точки деления
обоих разбиений и получим новое, третье разбиение, которому будут
соответствовать свои суммы Дарбу,
и
. Это разбиение мы получим из первого,
37
добавив к имеющимся точкам деления новые точки. На основании доказанного
31
ss
23
SS
33
Ss
21
Ss
s
*
sup Is
SI
*
S
*
I
SI inf
*
*
*
II
SIIs
*
*
.
(1)
0lim
0
Ss
i
x
.
(2)
sSxi:00
Ixfdxxf
i
b
a
n
i
i
x
n
n
x
n
ii
1
00
limlim
,:00 Ix
ni
I
n
i
нами первого свойства сумм Дарбу, справедливо неравенство
.
Сопоставим теперь второе и третье разбиения, таким же образом заключим,
что
. Но
, поэтому из полученных неравенств следует неравенство
, что и требовалось доказать.
Из доказанных свойств сумм Дарбу следует, что все множество нижних сумм
Дарбу
будет ограничено сверху, например, любой верхней суммой S.
Ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю границу. То есть
существует
Тогда все множество верхних сумм
, причем
какова бы ни была верхняя сумма S.
будет ограниченным снизу числом
Ограниченное снизу множество обязательно имеет точную нижнюю границу, то
есть существует число
. Очевидно, что
. Сопоставляя все
сказанное, получим:
.
Теперь, с помощью сумм Дарбу, мы легко сформулируем условие
существования определенного интеграла:
Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось условие
Перепишем условие (2) на языке
Доказательство:
1 Необходимость. Пусть существует определенный интеграл
или
. Эти неравенства будут выполняться, как бы мы ни выбирали
:
. Тогда
.
в пределах соответствующих промежутков.
Но нижняя и верхняя суммы Дарбу при данном разбиении промежутка
являются для множества интегральных сумм соответственно точной нижней и
38
точной верхней границами. Поэтому для них при любом разбиении будут
ISsI
nnn
Is
n
x
n
i
0
lim
IS
n
x
n
i
0
lim
0lim
0
nn
x
n
sS
i
SIIs
*
*
*
*
II
SIs
1
s
Ss
i
x
s
0
s
I
I
i
iii
wmM
i
n
i
n
i
iiii
xwxmMsS
0 0
0lim
0
0
n
i
ii
x
xw
i
.
(3)
xf
ba;
xf
ba;
выполняться неравенства:
. Это означает, что
и
. Отсюда следует выполнение условия (2).
2 Достаточность: предположим, что условие (2) выполняется, и
. Тогда из условия (1)
сразу следует, что
, и,
если обозначить их общее значение буквой I, то неравенство (1) примет вид:
. (
Пусть
разбиению, а
промежутка. Тогда
Согласно условию (2), если предположить все
).
и S - нижняя и верхняя суммы, соответствующие какому – либо
- одна из интегральных сумм, отвечающих тому же разбиению
.
достаточно малыми, суммы
и S отличаются меньше, чем на произвольно взятое
справедливо и относительно заключенных между
значит,
является пределом для , т.е. определенным интегралом.
Если обозначить колебание значений функции в каждом
промежутке
, то получим:
и S чисел и I:
. Но в таком случае это
-ом частичном
условие существования определенного интеграла будет переписано так:
Перечислим классы интегрируемых функций.
1. Если функция
2. Если ограниченная функция
непрерывна в промежутке
в промежутке
, то она интегрируема.
имеет только
,
. Тогда
конечное число разрывов первого рода, то она интегрируема.
3. Монотонная ограниченная функция всегда интегрируема.
39
3.2 Определенный интеграл как функция верхнего предела
xf
ba;
xa;
x
ba;
b
x
dttfxФ
x
a
,
(1)
хФ
хФ
xf
ba;
хФ
hx
hx
ba;
хФ
dttfdttfdttfhxФ
hx
x
x
a
hx
a
dttfxФhхФ
hx
x
hxФhхФ
xf
hxx ;
m
M
m
M
ba;
h
0 xФhxФ
xФhxФ
xФ
tf
xt
xФ
xfxФ
Если функция
интегрируема и в промежутке
предел интегрирования
выражение
которое, очевидно, является функцией от x.
Здесь мы обозначили переменную интегрирования буквой t, чтобы не путать
ее с верхним пределом x, который для функции
независимой переменной.
Рассмотрим свойства функции
Свойство 1. Если функция
интегрируема в промежутке
, где
определенного интеграла переменной
- любые значения из
:
интегрируема в промежутке
, то она будет
. Заменив
, получим
будет играть роль
, то
функция
Доказательство: придадим x произвольное приращение
не выходило за пределы промежутка
:
К этому интегралу применим теорему о среднем значении:
функций
границами ее значений
существуют, так как интегрируемая функция на отрезке ограничена.
Если теперь устремить
будет непрерывной функцией от x в этом промежутке.
. Получим новое значение функции
. Значит,
, содержится между нижней и верхней границами значений
в промежутке
и
к нулю, то, очевидно,
, что и доказывает непрерывность функции
,
и
на всем промежутке
, а следовательно, и между
.
с тем, чтобы
.
. Эти границы
или
Свойство 2. Если функция
функция
имеет производную, равную
непрерывна в точке
.
, то в этой точке
40
Это важное предложение для функции, непрерывной во всем промежутке,
hxФhхФ
h
xФhxФ
Mm
tf
xt
00
h
txxt ,
xftf
xftfxf
xfxf
xf
,limlim
00
xf
h
xФhxФ
xФ
hh
xf
ba;
ba;
x
xf
ba;
xf
dttfdttf
x
b
b
x
xf
x
впервые строго доказал О.Л. Коши в 1823 г.
Доказательство: так как
, где
Но функция
что при
неравенство можно переписать так:
Но в таком случае будут иметь место и неравенства
Теперь ясно, что
доказать.
К чему мы пришли?
и
.
непрерывна при
будет выполняться неравенство
(теорема о среднем), то
.
. Это значит, что
.
что и требовалось
, такое
. Это
или
Если предположить, что функция
то она интегрируема на этом промежутке и доказанное утверждение применимо к
любой точке промежутка
Производная от интеграла (1) по переменному верхнему пределу
равна значению
Иными словами, для непрерывной в промежутке
существует первообразная. Примером ее является определенный интеграл (1) с
переменным верхним пределом.
Доказанные утверждения легко распространяются на случай интеграла с
переменным нижним пределом, так как
Производная от этого интеграла по x, очевидно, равна -
подынтегральной функции на этом пределе.
.
непрерывна во всем промежутке
функции
.
, если
- точка
везде
всегда
,
непрерывности функции.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]