Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического анализа (модуль «Определенный интеграл и несобственные интегралы»). Учебное пособие
.pdf
61
По формуле
dxxfS
b
a
2
0
3
2
2
0
2
3
2
x
xdxxxS
3
4
3
8
402
3
1
02
32
3
4
S
0997
2
yx
02795
2
yx
1
9
7
2
xy
3
9
5
2
xy
xOy
x
y
0
33813
1
9
7
2
xy
3
9
5
2
xy
3
9
5
1
9
7
2
2
xy
xy
.3x
Oy
находим площадь фигуры:
кв.ед.
Ответ:
(кв. ед.).
Задача 5. Вычислить площади фигуры, ограниченной параболами
и
.
Решение: запишем уравнения парабол в виде
построим эти кривые на плоскости
(рисунок 18).
и
и
Для нахождения точек пересечения парабол решим систему
откуда получим:
Так как фигура симметрична относительно оси
площади, взяв пределы интегрирования от 0 до 3, и результат удвоим:
Рисунок 18
,
, найдем половину ее
62
3
0
3
0
32
3
0
22
1
27
2
2
9
2
21
9
7
3
9
5
xxdxxdxxxS
42603
27
2
032
3
8422
1
SS
(кв. ед.).
8S
2
2 yyx
0xOy
2
2 yyx
02
2
x
yyx
2y
1y
xOy
x
y
0
1
1
2
2
2 yyx
1
2
3
3
3
2
2
1
2
32
1
2
2
21
3
1
21
2
1
212
32
22
yy
ydyyyS
5,43
2
3
6
5,4S
(кв. ед.),
Ответ:
(кв. ед.).
Задача 6. Вычислить площади фигуры, ограниченной параболой
и осью
.
Решение: найдем точки пересечения параболы
для этого решим систему
Построим фигуру, ограниченную заданными кривыми на плоскости
рисунок 19).
. Получим:
и
и оси ординат,
.
(см.
Площадь этой фигуры равна:
Ответ:
(кв. ед.).
Рисунок 19
(кв. ед.).
63
II Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат
axy 42
axy
ax
Ox
cos1
p
p
ap 2
0;a
x
y
0
a
ABF
axy
axy 42
cos1
2a
4
2
2
4
4
2
4
2
2
2
sin4
2
cos1
2
2
1 d
ad
a
S
FABF
8
1
22
22
11
2
1
1,
2
8
,
4
2
sin2
2
ctg
dtta
t
ctgt
d
dt
ctgt
8
1
3
2
3
ctg
t
ta
Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
прямыми
и
лежащей в первой четверти.
Решение: введем полярную систему координат, поместив полюс в фокус
параболы F и направив полярную ось в положительном направлении по оси
Известно, что уравнение параболы записывается в виде
параметр параболы, который в нашем случае равен
координаты
.
, а фокус F имеет
, где
и
.
‒
Тогда уравнение параболы примет вид
и
(см. рисунок 20).
Следовательно,
Рисунок 20
, а уравнения прямых:
64
3
1
1
83
1
8
32
ctgctga
.
21
2
2
2
2
1
4
sin
4
cos1
8
ctg
2
3
4
12
3
4
21
3
1
21
2
3
2
aaS
FABF
2
3
4
122aS
FABF
.cos5 r
5
2
22
r
0
2
5
5
2
2
2
2
2
2
2
2
2sin
4
25
2
2cos1
2
25
cos5
2
1
ddS
4
25
sinsin
2
1
224
25
4
25
S
3cos2a
a
Учитывая, что
, получаем
(кв. ед.).
Ответ:
(кв. ед.).
Задача 2. Вычислить площади фигуры, ограниченной кривой
Решение: графиком заданной кривой является окружность радиуса
проходящая через полюс и симметричная относительно полярной оси,
(см. рисунок 21).
,
Тогда
Ответ:
Задача 3. Вычислить площади фигуры, ограниченной кривой
лежащей вне круга
(кв. ед.).
.
Рисунок 21
(кв. ед.).
и
65
Решение: так как функция
3cos2a
3
2
T
x
a2
L
0
a
M
N
03cos
3
2
63
2
6
kk
,2,1,0 k
66
,
6
52
2
3
6
7
a
MLNM
S
M
N
aa 3cos2
cos3j=
1
2
N
9
1
M
9
2
9
9
9
9
22
2
1
3cos2
2
1
dadaSSS
OMNOOMLNOMLNM
6
3
92
1
6cos1
2
9
9
2
9
9
2
aada
6
3
9
2
aS
MLNM
имеет период
, то при
изменении
рисунок 22).
При этом для
тогда
радиус – вектор описывает три равных лепестка кривой (см.
Рисунок 22
допустимыми являются значения для которых
для всех
Следовательно, для одного из
,
лепестков
, а двух других ‒
Вырежем из лепестков части принадлежащие кругу
площадь которой равна утроенной площади
Найдем полярные координаты точек
точке
‒
,
.
, тогда точке
соответствует полярный угол
и
.
, для этого решим уравнение
Из рисунка
(кв. ед.).
соответственно.
, получим фигуру,
,
Ответ:
(кв. ед.).
66
III Вычисление объёмов тел вращения
xy sin
x0
Ox
Ox
Ox
.
2
b
a
x
dxyV
0 000
2
2cos1
2
2cos1
2
1
sin xdxdxdxxxdxV
x
2
2sin
2
1
2
2
0
0
xx
Oy
.
b
a
y
xydxV
0
cossinsin
sin
xxdxvxdxdv
dxduxu
xdxxxydxV
b
a
y
0
0
0
sin1coscos xxdxxx
2
2
x
V
2
y
V
Oy
2
xy
2
8 yx
yyx
y
yx
2
2
1
8
x
.8
,
2
xy
xy
Задача 1. Вычислить объёмы тел, образуемых вращением фигуры,
ограниченной одной полуволновой синусоиды
вокруг: а) оси
и б) оси Oy.
Решение: а) для нахождения объёма тела, образованного вращением
криволинейной трапеции вокруг оси
, воспользуемся формулой
Получаем
(куб. ед.).
б) Для нахождения объёма тела, образованного вращением криволинейной
трапеции вокруг оси
воспользуемся формулой
и отрезком
оси
(куб. ед.).
Ответ: а)
б)
(куб. ед.),
(куб. ед.).
Задача 2. Вычислить объём тела (см. рисунок 23), полученного вращением
вокруг оси
Решение: очевидно, что функция
фигуры, ограниченной параболами
и
.
на отрезке от начала
координат до точки пересечения парабол. Найдем ординаты этих точек решив
систему уравнений методом исключения переменной
:
67
Получим
.4,0
21
yy
dyyxyxV
4
0
2
1
2
2
5
24
320
4
2
4
320264
52
4
0
52
4
0
4
yy
dy
y
y
2
x
y
1
1
2
4
xy 82
2
xy
0
5
24
V
Oy
1
2
2
2
2
b
y
a
x
by 2
d
c
y
dyxV
2
bdbc 2,2
2
x
.1,1
2
2
22
2
2
2
2
b
y
ax
b
y
a
x
b
b
b
b
b
b
d
c
y
y
b
yady
b
y
ady
b
y
adyxV
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
3
1
11
bbab
b
babb
b
bba
3
16
416
3
1
422
3
1
22
23
2
2
33
2
2
Следовательно,
(куб.ед.).
Рисунок 23
Ответ:
(куб.ед.).
Задача 3. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси
криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой
Решение: для вычисления объёма воспользуемся формулой
Из условия задачи пределы интегрирования будут:
из уравнения гиперболы
:
и прямыми
.
.
. Определим
Подставив полученное
выражение в формулу для вычисления объёма получим:
68
ba
2
3
28
(куб. ед.).
baV
2
3
28
Ox
,cos1
,sin
tay
ttax
20 t
b
a
x
dxyV
2
dttadttataV
x
2
0
3
3
2
0
2
cos1cos1cos1
2
0
3
2
0
323
4
cos33cos
cos32cos1
2
3
1coscos3cos31 dt
tt
ttadtttta
2
0
3
2
0
3
3sin
12
1
sin
4
15
2sin
4
3
2
5
3cos
4
1
cos
4
15
2cos
2
3
2
5
ttttadtttta
323
55 aa
32
5 aV
ay 2
axy 42
ax
x
y
0
a
a2
a2
a
a
a2
x0
A
B
C
D
Ответ:
Задача 4. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси
циклоиды
Решение: для нахождения объёма тела вращения воспользуемся формулой
(куб. ед.).
. Тогда получим
(куб. ед.).
арки
.
Ответ:
(куб. ед.).
Задача 5. Найти объём тела, образованного вращением вокруг прямой
фигуры, ограниченной параболой
Решение: фигура изображена на рисунке 24.
и прямой
.
Рисунок 24
69
Если перенести начало координат в точку
aO 2;0
axay 42
2
axay 421
OCD
axay 422
OAB
dxyyV
a
0
2
1
2
2
aa
dxaxadxaxaaxa
0
2
0
22
164242
a
a
xadxxa
0
2
3
2
3
0
2
3
3
32
16
3
3
32
a
3
3
32
aV
xy sinln
3
1
x
3
22
x
xy lnsin
;0x
x
y
0
32
3
2
A
B
, то в новой системе
координат уравнение параболы запишется следующим образом:
Тогда
для кривой
, а
для кривой
Следовательно, искомый объём равен
(куб. ед.).
Ответ:
(куб. ед.).
IV Вычисление длин дуг плоских кривых
.
.
25).
Задача 1. Найти длину кривой
и
.
Решение: Изобразим часть графика функции
между точками с абсциссами
при
(рисунок
Рисунок 25
70
Воспользуемся формулой
b
a
dxyl
2
1
:12y
x
x
x
x
xyxy
sin
cos
cos
sin
1
sinln,sinln
xx
x
x
x
y
sin
1
sin
cos
1
sin
cos
11
2
2
2
2
3
2
;
3
x
AB
3ln2
3
1
ln3ln
6
ln
3
ln
2
ln
sin
1
3
2
3
3
2
3
tgtg
x
tgdx
x
l
3ln2l
32
xy
0;0
8;4
b
a
dxyl
2
1
x
y
0
8;4M
, предварительно определив
,
Найдем длину дуги
Ответ:
(ед.).
Задача 2. Вычислить длину дуги полукубической параболы
заключенной между точками
Решение: будем вычислять длину дуги по формуле
, так как
.
:
(ед.).
,
и
(см. рисунок 26).
.
Рисунок 26
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]