Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического анализа (модуль «Определенный интеграл и несобственные интегралы»). Учебное пособие
.pdf
51
O
M
b
sin
cos
y
x
x
y
tg
yx
22
;F
ОADВсектплОACBсектплSпл .....
B
O
A
C
D
b
Рисунок 7
Прямоугольные и полярные координаты при соответствующем выборе
координатных систем, если совместить начало декартовой системы координат с
полюсом полярной системы, окажутся, связаны следующими формулами:
а)
б)
Уравнение вида
системе координат. Пусть нужно найти площадь фигуры, ограниченной двумя
линиями, заданными в полярной системе координат.
Такую площадь можно представить в виде алгебраической суммы площадей
криволинейных секторов (см. рисунок 8)
‒ переход от декартовых координат к полярным.
‒ переход от полярных координат к декартовым.
=0 или
задает линию на плоскости в полярной
.
Рисунок 8
52
Рассмотрим криволинейный сектор в полярной системе координат (см.
B
O
A
b
f
AB
f
f
f
n
,,,,
210
i
i
1i
i
i
i
i
i
i
Q
2
2
1
i
n
i
i
n
i
i
i
n
fQ
2
11
2
2
1
2
1
2
2
f
0max
i
QdfQ
i
n
i
i
n
n
n
i
2
2
1
0max
2
1
lim
2
1
lim
OAB
рисунок 9) и найдем его площадь.
Рисунок 9
Пусть
непрерывная при
- дуга кривой, заданной уравнением
.
Пусть сектор ограничен кривой
. Разобьем площадь этого сектора радиусами – векторами
на n частей. Пусть
соответствующего какому – либо углу
рассмотрим круговой сектор с радиусом
будет равна
.
Сумма
,
- функция,
и радиусами – векторами
- это длина радиуса – вектора,
, заключенному между
и центральным углом
и
. Его площадь
даст площадь ступенчатой фигуры,
и
. Теперь
составленной из маленьких круговых секторов. Эта сумма станет интегральной
суммой для функции
, то
на промежутке
. Если теперь
и это площадь
криволинейного сектора
.
53
4.4 Объемы тел вращения
xfy
ba;
x
y
a
b
A
B
aABb
ax
bx
Ox
xfy
2
yS
dxx
)(xV
)(xV
xfy
dx
dxydv2
b
a
dxyV
2
pxy 22
ax
Ox
Рассмотрим график функции
, непрерывной на отрезке
(см.
рисунок 10).
Рисунок 10
Криволинейную трапецию
и
будем вращать вокруг оси
, ограниченную графиком функции, прямыми
. Как, пользуясь описанной выше
схемой, при помощи определенного интеграла найти объём получившегося тела
вращения?
Объём тела вращения рассматриваем как функцию от х. Любое плоское
сечение этого тела, соответствующее абсциссе x, будет кругом, радиус которого
равен соответствующей ординате
Площадь такого сечения ‒ это площадь круга.
- приращение
. Тогда функция
.
. Придадим значению х
, задающая объем тела вращения, также
получит приращение. Главной частью этого приращения, т.е. дифференциалом
функции
будет круг радиуса
ординаты х):
формулой
, будем считать объем маленького цилиндра, основанием которого
, а высотой – отрезок, равный
(приращению
. Весь же объём тела вращения тогда определяется
.
Пример 1. Вычислить объём тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
и
, вокруг оси
.
54
Решение: тело, объём которого требуется найти – это параболоид вращения
x
y
0
a
.2
2
0
0
papxdxpxV
a
a
.
2
paV
xfy
)(xf
ba;
l
x
0
y
a
b
xfy
x
xx
x
y
A
B
C
D
E
(см. рисунок 11).
Применив только что выведенную формулу, получим:
Рисунок 11
Ответ:
4.5 Длина дуги плоской кривой в прямоугольных координатах
Пусть кривая задана уравнением
отрезке
, где функция
. Найти длину соответствующего отрезка графика функции. Пусть
непрерывна на
–
Рисунок 12
55
Применяя рассмотренную ранее схему, будем рассматривать длину дуги
dxx
dxxAB
dyyBC
dllyxAC
22
dxydx
dx
dy
dydxdl
2
2
2
22
11
DE
b
a
dxyl
2
1
ty
tx
dtyxdtydtxdl
22
22
2
1
22
t
t
dtyxl
xf
sin
cos
y
x
sincos ff
d
dx
cossin ff
d
dy
222
2
22
sinsincos2cos ffff
d
dy
d
dx
кривой как функцию независимой переменной х. Найдем дифференциал dl этой
функции, соответствующий приращению
длине отрезка АС:
,
Итак, дифференциал длины дуги отыщется следующим образом:
Значит, длину всего отрезка дуги
.
Если кривая задана параметрически:
отыскивается так:
. Будем считать, что он равен
,
.
можно выразить интегралом:
, то дифференциал длины дуги
.
.
Формула для отыскания длины дуги принимает вид:
4.6 Длина дуги плоской кривой в полярной системе координат
Пусть в полярных координатах задано уравнение кривой
полярный радиус, а
- полярный угол.
Запишем формулы перехода от полярных координат к декартовым:
. Эти уравнения можно рассматривать как параметрические, где
параметром будет переменная
. Применим тогда уже известную формулу.
,
.
, где
-
,
56
222
2
cossincos2sin ffff
22
22222
2
)cos(sin)cos(sin ffff
22
dl
2
1
22
xfy
)(xf
ba;
x
y
0
a
b
A
B
x
xx
dl
xS
dxx
dl
dyy
,2
2
22
2
22
dlydl
dyy
dl
dyyy
dS
dxydl
2
1
b
a
b
a
b
a
dxyydlydSS
2
122
dtyxyS
t
t
2
1
22
2
; следовательно,
.
4.7 Площадь поверхности вращения
Пусть кривая задана уравнением
отрезке
. Рассмотрим криволинейную трапецию aABb. Требуется найти
, где функция
непрерывна на
площадь поверхности тела вращения, которое получится, если вращать эту
криволинейную трапецию вокруг оси Ох (см. рисунок 13).
Рисунок 13
Искомую площадь будем рассматривать как функцию
независимой
переменной. Дифференциалом этой функции, соответствующим приращению
независимой переменной
усеченного кругового конуса с образующей
Значит,
Если кривая задана параметрически, то
, будем считать площадь боковой поверхности
и радиусами оснований y и
где
.
.
.
57
Пример 2. Определить площадь боковой поверхности параболоида,
Ox
pxy 22
x
0x
ax
pxy 2
x
p
y
2
2
x
px
x
p
y
2
2
4
2
11
2
a
aa
pxpdxpxpdx
x
px
pxS
0
2
3
00
2
1
2
3
2
222
2
2
22
2
3
2
3
2
3
2
ppa
p
S
2
3
2
3
2
3
2
ppa
p
3,0,042 xyyx
.2x
хOу
042 yx
0;4A
2;0B
25,0 xy
3,0 xy
.2x
11
MNNM
dxxfS
b
a
25,0 xxf
2,3 ba
25,1132232
4
1
2
4
25,0
2
2
2
3
2
2
3
x
x
dxxS
образованного вращением вокруг оси
соответствующей изменению
Решение:
,
от
до
,
.
Ответ:
.
4.8 Примеры решения задач
дуги параболы
.
,
.
I. Вычисление площадей плоских фигур
Задача 1. Вычислить площади фигуры, ограниченной прямыми
Решение: построим на плоскости
и
и
по формуле (1)
Находим
(кв. ед.).
и
прямую
. Выразим y через x и получим
Получим фигуру
, где
(рисунок 14) и вычислим ее площадь
,
по двум точкам
. А также прямые
.
58
x
y
0
2
432AB
M
N
1
M
1
N
Рисунок 14
S
05,042 yxyx
0y
05
042yxyx
3
2
y
x
3;2M
0
042yyx
0
4
y
x
0;4A
050
yx
y
0
5
y
x
0;5C
x
y
025
4
A
C
M
042 yx
05 yx
3
N
Ответ:
Задача 2. Вычислить площади фигуры, ограниченной прямыми
Решение: для построения фигуры (см. рисунок 15) найдем точки пересечения
заданных прямых:
а)
б)
в)
11,25 (кв. ед.)
и
.
;
;
.
Рисунок 15
59
Разобьем треугольник
AMC
AMN
NMC
x
042 yx
x
05 yx
AMN
042 yx
y
25,0 xy
25,0 xxf
.2,4 ba
NMC
05 yx
y
5 xy
5 xxf
.5,2 ba
922242
4
1
2
4
1
25,0
2
4
2
2
2
4
2
xxdxxS
AMN
5,425525
2
1
5
2
1
5
5
2
22
5
2
2
xxdxxS
NMC
5,135,49
NMCAMN
SSS
5,13S
42 xy
0yOx
x
y
0
224
на два треугольника
и
, так как при
изменении
от A до N площадь ограничена прямой
от N до C ‒ прямой
Для треугольника
, т.е.
; выразим
Вычислим площадь каждого из треугольников
Сложим полученные результаты и получим площадь фигуры
.
имеем:
,
через x и получим
(кв. ед.).
, а при изменении
; выразим
через x и получим
Для треугольника
, т.е.
,
(кв.ед.),
(кв.ед.).
имеем:
осью
16).
Ответ:
Задача 3. Вычислить площади фигуры, ограниченной параболой
(кв. ед.)
и
.
Решение: построим фигуру ограниченную заданными линиями (см. рисунок
Рисунок 16
60
Найдем точки пересечения параболы с осью
Ox
0y
042 x
.2x
Oy
Oy
3
1
502402
3
1
4
3
4
33
2
0
2
0
3
2
1
x
x
dxxS
3
2
10
3
1
522
1
SS
3
2
10S
2
xy
xy 2
xyxy2
2
,2
,0
0202,2
22
x
x
xxxxxx
.4
,0
y
y
x
y
0
2
412
3
1
3
2
xy
xy 2
: полагая что
, получаем
и тогда
Так как данная фигура симметрична относительно оси
, вычислим площадь фигуры, расположенной справа от оси
результат удвоим:
ед.),
Ответ:
(кв. ед).
(кв. ед.).
Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
прямой
.
Решение: изобразим фигуру, площадь которой необходимо найти (см. рисунок
17).
и полученный
(кв.
и
Определим точки пересечения заданных линий, для этого решим систему
.
Получаем:
Рисунок 17
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]